Relaciones y funciones

KhanAcademyEspañol

25 May 201307:47

Summary

TLDREl guion del video explica qué es una relación y qué la convierte en una función. Se describe cómo una relación relaciona elementos de dos conjuntos, el dominio y el rango, y cómo, para ser una función, cada elemento del dominio debe relacionarse con un único elemento del rango. Se ilustra con ejemplos, incluyendo una relación que no es una función porque un elemento del dominio está relacionado con múltiples elementos del rango, lo que causa ambigüedad. El video utiliza dibujos y ejemplos prácticos para aclarar los conceptos.

Takeaways

🔑 Una relación es un conjunto de parejas ordenadas que conecta elementos de dos conjuntos distintos: el dominio y el rango.
🔑 Para que una relación sea considerada una función, cada elemento del dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento del rango.
🔑 Se ilustra cómo representar relaciones y funciones mediante parejas ordenadas y cómo interpretarlas en términos de dominio y rango.
🔑 Se explica que en una función, no puede haber dos parejas con el mismo elemento en el dominio y elementos diferentes en el rango.
🔑 Se da un ejemplo de una relación que no es una función, donde un elemento del dominio está relacionado con más de un elemento en el rango.
🔑 Se resalta la importancia de que en una función, un elemento del dominio se 'envía' a un único elemento del rango, y viceversa.
🔑 Se describe el proceso para identificar el dominio de una relación dada, que consiste en listar los primeros elementos de cada pareja ordenada.
🔑 Se describe el proceso para identificar el rango de una relación dada, que consiste en listar los segundos elementos de cada pareja ordenada.
🔑 Se ejemplifica cómo se puede determinar si una relación dada es o no una función al observar si hay ambigüedad en la asignación de elementos del dominio al rango.
🔑 Se enfatiza que una función es una relación especial en la que la asignación de elementos del dominio al rango es única y sin ambigüedades.

Q & A

¿Qué es una relación en matemáticas?
-Una relación en matemáticas es un conjunto de parejas ordenadas que relacionan elementos de un conjunto, llamado dominio, con elementos de otro conjunto, llamado rango.
¿Qué características deben tener las parejas ordenadas para que una relación se considere una función?
-Para que una relación se considere una función, cada elemento del dominio debe estar relacionado con un único elemento en el rango.
¿Cómo se representa una relación en símbolos?
-Una relación se representa con llaves, donde se colocan parejas ordenadas, por ejemplo, {(1,2), (2,2), (3,-7)}.
¿Qué es el dominio en una relación?
-El dominio es el conjunto de elementos que se relacionan, es decir, los elementos que se encuentran a la izquierda en las parejas ordenadas.
¿Qué es el rango en una relación?
-El rango es el conjunto de elementos con los que se relacionan los elementos del dominio, es decir, los elementos que se encuentran a la derecha en las parejas ordenadas.
¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función?
-La diferencia principal es que en una función, cada elemento del dominio se relaciona con exactamente un elemento del rango, mientras que en una relación esto no es necesario.
¿Cómo se determina si una relación dada es una función?
-Se determina si una relación es una función verificando si para cada elemento en el dominio hay un único elemento en el rango asociado a él.
¿Qué pasa si un elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango?
-Si un elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango, la relación no es una función porque no cumple con la condición de que cada elemento del dominio se relacione con un único elemento del rango.
¿Cómo se identifican los elementos del dominio y del rango en una relación dada?
-Los elementos del dominio se identifican como los primeros elementos de las parejas ordenadas, y los elementos del rango son los segundos elementos de las parejas.
¿Qué significa que una relación no sea una función debido a la ambigüedad en la asignación de elementos?
-Significa que hay al menos un elemento en el dominio que se relaciona con más de un elemento en el rango, lo que impide determinar unívocamente a qué elemento del rango se asigna un elemento del dominio específico.

Outlines

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📚 Introducción a las relaciones y funciones

El primer párrafo introduce la noción de relación y función matemática. Se explica que una relación es un conjunto de parejas ordenadas que conecta elementos de un conjunto, denominado dominio, con elementos de otro conjunto, llamado rango. Se ilustra cómo se relacionan estos elementos, y se menciona que una relación se convierte en función si cada elemento del dominio está relacionado con exactamente un elemento del rango. Se utiliza el ejemplo de una caja que recibe un elemento del dominio y produce un único elemento del rango para representar visualmente la idea de una función.

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🔍 Determinando si una relación es una función

El segundo párrafo se centra en el proceso de determinar si una relación dada es una función. Se describe cómo se identifican los elementos del dominio y del rango a partir de las parejas ordenadas en la relación. Se ejemplifica con la relación dada, donde se asignan números a los elementos del dominio y se observan las asignaciones correspondientes en el rango. Se destaca que la relación no es una función si algún elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango, como ocurre con el número -2, que se relaciona tanto con el 4 como con el 6. Esto muestra que la relación no cumple con la definición de función, ya que no es una asignación única del dominio al rango.

Mindmap

Keywords

💡Relación

Una relación en matemáticas es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos. En el video, se describe cómo una relación asigna elementos del dominio a elementos del rango, como cuando se asigna el número 1 del dominio al número 2 del rango. Este concepto es fundamental para entender cómo se construyen y analizan las funciones.

💡Dominio

El dominio es el conjunto de todos los elementos de entrada en una relación o función. En el video, se ejemplifica cómo se toman elementos del dominio (como -3, -2, 0, y 3) para analizarlos dentro de la relación dada. Es crucial porque determina las posibles entradas que una función o relación puede aceptar.

💡Rango

El rango es el conjunto de todos los elementos de salida que resultan de aplicar una relación o función a los elementos del dominio. En el video, el rango incluye valores como 2, 4, 5, 6, y 8, que son los resultados de las asignaciones hechas desde el dominio. Entender el rango es clave para saber qué valores puede generar una función.

💡Función

Una función es un tipo especial de relación donde cada elemento del dominio se asigna a un único elemento del rango. El video explica que, para que una relación sea considerada una función, no puede haber ambigüedad en las asignaciones (es decir, un elemento del dominio no puede estar relacionado con más de un elemento del rango).

💡Parejas ordenadas

Las parejas ordenadas son pares de valores que muestran la correspondencia entre un elemento del dominio y un elemento del rango en una relación o función. En el video, se presentan como ejemplos las parejas (1, 2), (2, 2), y (3, -7). Son fundamentales para expresar matemáticamente cómo los elementos de dos conjuntos están relacionados.

💡Ambigüedad

La ambigüedad en el contexto de funciones se refiere a la situación en la que un elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango, lo que impide que la relación sea una función. En el video, se muestra cómo el valor -2 en el dominio se asigna a dos valores diferentes (4 y 6) en el rango, lo que crea ambigüedad y rompe la definición de función.

💡Asignación

La asignación es el proceso de relacionar un elemento del dominio con un elemento del rango en una relación o función. En el video, se describe cómo se asignan valores específicos del dominio a valores en el rango, como cuando el valor 1 se asigna al 2. Es un concepto clave para entender cómo funcionan las relaciones y funciones.

💡Caja de función

La 'caja de función' es una metáfora utilizada en el video para ilustrar cómo una función procesa un elemento del dominio y lo convierte en un único elemento del rango. La caja representa el mecanismo interno de la función que garantiza que cada entrada tenga una única salida, reforzando la idea de que una función no puede tener ambigüedad en sus asignaciones.

💡Simbolitos

El término 'simbolitos' en el video se refiere a la representación simbólica o notacional de las relaciones y funciones, como el uso de llaves y parejas ordenadas. Es importante para formalizar matemáticamente las ideas discutidas y para permitir un análisis más riguroso de las relaciones y funciones.

💡Relación no función

Una relación que no es función es aquella en la que al menos un elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango, lo que viola la definición de función. En el video, se presenta un ejemplo donde el valor 1 se asigna tanto al 2 como al 4, lo que impide que la relación sea considerada una función.

Highlights

Definición de relación: se relaciona elementos de dos conjuntos, el dominio y el rango.

Relación de elementos individuales: un elemento del dominio se relaciona con un elemento del rango.

Ejemplo de relación: el número 1 del dominio está relacionado con el número 2 del rango.

Múltiples relaciones posibles: un elemento del dominio puede estar relacionado con uno o más elementos del rango.

Representación simbólica de relaciones: se utilizan parejas ordenadas en llaves.

Definición de función: una relación en la que cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del rango.

Función como una caja: un elemento del dominio entra y sale un único elemento del rango.

Ejemplo de relación que no es función: el número 1 del dominio está relacionado con dos números del rango (2 y 4).

Identificación del dominio de una relación: se toman las primeras entradas de las parejas ordenadas.

Identificación del rango de una relación: se toman las segundas entradas de las parejas ordenadas.

Ejemplo de relación con conflicto en el rango: el número -2 del dominio está relacionado con dos números del rango (4 y 6).

Conclusión de que la relación no es función: debido a la ambigüedad en la relación del -2.

Importancia de la unicidad en las funciones: un elemento del dominio debe mapearse a un único elemento del rango.

Visualización de relaciones y funciones: se usan dibujos y colores para diferenciar entre relaciones válidas y no válidas.

Explicación de los problemas en las relaciones no funcionales: elementos del dominio relacionados con múltiples elementos del rango.

Resumen final: la relación proporcionada no es una función debido a la ambigüedad en la asignación del dominio al rango.