Una función NO es UNA MÁQUINA | ¿QUÉ es UNA FUNCIÓN? ▶ ¿Por qué son TAN IMPORTANTES LAS FUNCIONES? 🚀

Summary

Este video profundiza en el concepto de funciones, una herramienta fundamental en matemáticas para modelar relaciones entre variables y analizar su comportamiento. Se explica qué es una relación y cómo se transforma en una función, destacando la importancia del dominio y el rango. A través de ejemplos, se ilustra cómo las funciones reales de variables reales se relacionan con los números reales y cómo las reglas de correspondencia definen la gráfica de una función. Además, se muestra la aplicación de las funciones en diversas disciplinas como la física, la economía y la biología, resaltando su capacidad para predecir fenómenos y tomar decisiones informadas.

Takeaways

• 📚 La función es una herramienta fundamental en matemáticas para modelar relaciones entre variables y se aplica en física, ingeniería, economía y otras disciplinas.
• 🔗 Una relación en matemáticas es un conjunto de pares ordenados que relacionan elementos de un conjunto con uno o más elementos de otro conjunto.
• 🎯 El dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el rango es el conjunto de las segundas componentes.
• 👉 Una función es una relación especial donde cada elemento del primer conjunto está relacionado con un único elemento del segundo conjunto.
• 📉 Las funciones reales de variable real se refieren a aquellas que relacionan números reales del primer conjunto con números reales del segundo conjunto.
• ✅ La regla de correspondencia define cómo cada elemento de un conjunto se relaciona con un elemento del otro conjunto en una función.
• 📊 Las gráficas de funciones son útiles para visualizar la relación entre los conjuntos y pueden representar diferentes tipos de funciones, como lineales, cuadráticas o cúbicas.
• 🚫 Algunas funciones tienen restricciones en su dominio, como la función que relaciona el inverso de x, que no puede aceptar cero como entrada.
• 🌟 Las funciones son esenciales en la modelación de fenómenos complejos y permiten realizar predicciones y tomar decisiones informadas en diversas áreas del conocimiento.
• 🌐 Las aplicaciones de las funciones abarcan campos tan diversos como la ciencia, la tecnología, la ingeniería, la economía y la informática.

Q & A

¿Qué es una relación en matemáticas según el guion del video?

Una relación en matemáticas es una regla de correspondencia que relaciona elementos de un conjunto con uno o más elementos de otro conjunto. Se representa mediante un conjunto de pares ordenados.

¿Cuál es la diferencia entre un dominio y un rango en una relación?

El dominio de una relación es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el rango es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados.

¿Qué es una función y cómo se diferencia de una relación general?

Una función es una relación especial en la que cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) solo se relaciona con un único elemento en el segundo conjunto (conjunto de llegada).

¿Por qué son importantes las funciones en las matemáticas y sus aplicaciones?

Las funciones son fundamentales en las matemáticas porque permiten modelar relaciones entre variables y analizar su comportamiento. Tienen aplicaciones en física, ingeniería, economía, biología y muchas otras disciplinas.

¿Qué es una función real de variable real y cómo se representa en un plano cartesiano?

Una función real de variable real es una que relaciona elementos del primer conjunto, que son todos los números reales, con elementos del segundo conjunto, que también son números reales. Esto se representa en un plano cartesiano donde el eje horizontal corresponde a los valores de x y el eje vertical a los valores de y.

¿Cómo se define la regla de correspondencia en una función y cuál es su importancia?

La regla de correspondencia en una función es la fórmula matemática que determina cómo cada elemento del primer conjunto se relaciona con un elemento del segundo conjunto. Es crucial para entender cómo se transforman los valores de entrada en valores de salida.

¿Qué significa el dominio de una función y cómo se determina?

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (x) que la función puede aceptar. Se determina por la regla de correspondencia y las restricciones que esta impone, como por ejemplo, que no puede incluir valores que causen divisiones por cero.

¿Cuál es la relación entre la regla de correspondencia de una función y su gráfica?

La regla de correspondencia de una función determina cómo se distribuyen los puntos en su gráfica. Cada par ordenado (x, y) que cumple con la regla de correspondencia se representa como un punto en el plano cartesiano.

¿Cómo se representa gráficamente una función que relaciona cada elemento con su doble?

Una función que relaciona cada elemento con su doble se representa gráficamente como una línea recta en el plano cartesiano con una inclinación de 45 grados, pasando por los puntos (-1, -2), (0, 0), (1, 2), etc.

¿Qué fenómenos pueden modelarse usando funciones y para qué sirven estos modelos?

Se pueden modelar una gran variedad de fenómenos usando funciones, como el movimiento de cuerpos celestes, la propagación de enfermedades, etc. Estos modelos sirven para hacer predicciones, tomar decisiones informadas y entender mejor procesos complejos.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Funciones

El primer párrafo introduce el concepto de función en matemáticas, destacando su importancia como herramienta para modelar relaciones entre variables en diversas disciplinas como la física, ingeniería, economía y biología. Se explica que una función es una relación especial que asigna a cada elemento de un conjunto (dominio) un único elemento del otro conjunto (rango). Se utiliza el ejemplo de estudiantes y sus cursos favoritos para ilustrar cómo se establece una relación y se definen los conjuntos de partida y llegada. Además, se menciona la representación de una relación mediante pares ordenados y cómo estos pueden transformarse en funciones al imponer la condición de que cada elemento del primer conjunto solo esté relacionado con un único elemento del segundo conjunto.

05:02

🔢 Funciones y sus Componentes

El segundo párrafo profundiza en la definición de función, explicando que es una relación donde cada elemento del conjunto de partida se relaciona con un único elemento del conjunto de llegada. Se introducen los conceptos de dominio y rango de una función, y se ejemplifica con una función llamada F, que relaciona a estudiantes con sus cursos favoritos. Se enfatiza que el dominio son las primeras componentes de los pares ordenados y el rango son las segundas, y se explica que estos pueden o no coincidir con los conjuntos de partida y llegada respectivamente.

10:05

📉 Funciones y sus Representaciones

El tercer párrafo explora el concepto de funciones reales de variable real, donde tanto el dominio como el rango son conjuntos de números reales. Se describe cómo se representa a los elementos de estos conjuntos mediante las letras x e y, respectivamente, y se introduce la regla de correspondencia matemática, que relaciona a x con y a través de una fórmula. Se utilizan ejemplos para ilustrar cómo se establecen estas relaciones, como la identidad (y = x) y la multiplicación por una constante (y = 2x), y se discute la idea de la 'máquina' como una analogía para comprender cómo funciona la regla de correspondencia.

15:07

📐 Análisis de Dominio y Rango

El cuarto párrafo se centra en el análisis del dominio y rango de funciones, dependiendo de su regla de correspondencia. Se examinan diferentes funciones y se explica cómo determinar los valores posibles de entrada (dominio) y salida (rango). Se mencionan casos donde la función acepta cualquier número real como entrada, y otros donde hay restricciones, como la división por cero. Se resalta la importancia de entender estos conjuntos para aplicar correctamente las funciones en contextos más complejos.

20:07

📈 Gráficas de Funciones

El quinto párrafo aborda la representación gráfica de funciones en el plano cartesiano, donde el eje horizontal representa los valores de x y el vertical los valores de y. Se describen las gráficas de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, y se muestra cómo se obtienen a partir de la regla de correspondencia de cada función. Se ejemplifican con funciones como la identidad, la multiplicación por una constante, la función cuadrada y la función al cubo, y se grafican en el plano cartesiano para ilustrar su comportamiento.

25:08

🌟 Aplicaciones y Importancia de las Funciones

El sexto y último párrafo del script resalta la importancia de las funciones en la modelación de fenómenos complejos y en la toma de decisiones informadas. Se menciona su aplicación en campos como la astronomía, la epidemiología, la ingeniería, la economía e informática. Se destaca cómo las funciones permiten a los científicos simular situaciones y predecir eventos futuros, y se invita al espectador a seguir explorando el canal y suscribirse para obtener más contenido relacionado.

Keywords

💡Función

Una función en matemáticas es una relación especial entre dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto (dominio) está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto (rango). En el video, se explica que una función es una herramienta fundamental para modelar relaciones y analizar comportamientos en diversas disciplinas como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, la función 'FX igual a x al cuadrado' modela la relación de los números reales con sus cuadrados, siendo el dominio y el rango todos los números reales.

💡Relación

Una relación en matemáticas es cualquier conjunto de pares ordenados que conecta elementos de dos conjuntos. En el video, se establece una relación entre los cursos favoritos de un grupo de personas y los cursos disponibles, ilustrando cómo se pueden establecer conexiones entre conjuntos distintos. Esto sirve de base para entender la noción más especializada de una función.

💡Dominio

El dominio de una relación o función es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que conforman la relación. En el video, se menciona que el dominio de una función puede ser cualquier número real, pero puede tener restricciones, como en el caso de la función 'FX igual a 1 sobre x', donde el dominio excluye el cero, ya que no se puede dividir por cero.

💡Rango

El rango de una relación o función es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados. En el video, se describe cómo el rango de la función 'FX igual a x al cuadrado' es un intervalo de números reales mayores o iguales a cero, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo.

💡Regla de correspondencia

La regla de correspondencia es la fórmula o procedimiento que determina cómo cada elemento del dominio está relacionado con un elemento del rango en una función. En el video, se usan varias reglas de correspondencia para ilustrar diferentes tipos de funciones, como 'FX igual a x', 'FX igual a dos veces x', y 'FX igual a x al cuadrado', cada una modelando relaciones específicas entre conjuntos de números reales.

💡Conjunto

Un conjunto en matemáticas es una colección de elementos considerados como un solo objeto. En el video, se usan conjuntos para representar grupos de personas y sus cursos favoritos, así como para definir los dominios y rangos de las funciones. Los conjuntos son fundamentales para entender la estructura sobre la cual se construyen las relaciones y funciones.

💡Variables

Las variables son símbolos que representan valores que pueden cambiar. En el contexto del video, las variables son usadas para representar los elementos de los conjuntos en las funciones, como 'x' para los valores de entrada y 'y' para los valores de salida. Las variables son esenciales para expresar la dependencia entre los elementos de los conjuntos en una función.

💡Modelado

El modelado en matemáticas se refiere a la creación de modelos que representan sistemas o fenómenos del mundo real. En el video, se destaca la importancia de las funciones como herramientas de modelado para entender y predecir comportamientos en diversas disciplinas, desde la física hasta la biología y la economía.

💡Parábola

Una parábola es la gráfica de una función cuadrática, que tiene la forma de una 'U' invertida. En el video, se menciona el ejemplo de la función 'FX igual a x al cuadrado', cuyo gráfico representa una parábola, ilustrando cómo las funciones pueden describir formas geométricas y relaciones en el plano cartesiano.

💡Punto ordenado

Un par ordenado en matemáticas es una pareja de números que se usa para representar una posición en un plano cartesiano. En el video, los pares ordenados son el resultado de aplicar la regla de correspondencia de una función, y su conjunto forma los gráficos de las funciones, como líneas rectas y parábolas.

Highlights

Exploraremos el concepto de función, una herramienta fundamental en matemáticas para modelar relaciones entre variables.

Las funciones son esenciales en campos como la física, ingeniería, economía y biología.

Se define una relación matemática como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.

El conjunto de partida y el conjunto de llegada son conceptos clave en las relaciones matemáticas.

Se explica la diferencia entre el dominio y el rango de una relación.

Una función es una relación especial donde cada elemento del primer conjunto está relacionado con un único elemento del segundo conjunto.

Las funciones reales de variables reales son aquellas que relacionan números reales del primer conjunto con números reales del segundo conjunto.

La regla de correspondencia define cómo se relacionan los elementos de los conjuntos en una función.

Se ilustra la regla de correspondencia con ejemplos de funciones que relacionan elementos de manera directa o mediante operaciones como la multiplicación o la elevación al cuadrado.

Se introduce la idea de que una función puede ser visualizada como una máquina que toma una entrada y produce una salida según la regla de correspondencia.

Se discuten los conceptos de dominio y rango en el contexto de las funciones y cómo varían según la regla de correspondencia.

Se analizan ejemplos específicos de funciones y se determinan sus dominios y rangos correspondientes.

Se grafican las funciones en el plano cartesiano para visualizar la relación entre los conjuntos de entrada y salida.

Se muestra cómo las gráficas de funciones pueden ser líneas rectas, parábolas o funciones cúbicas, dependiendo de la regla de correspondencia.

Se enfatiza la importancia de las funciones en modelar fenómenos complejos y en la toma de decisiones informadas en ciencia y tecnología.

Se invita a los espectadores a interactuar con el canal a través de suscripciones, likes, comentarios y membresías.

Transcripts

el día de hoy vamos a profundizar en un

concepto importante para las matemáticas

y que son una herramienta fundamental

para poder modelar relaciones entre

distintas variables y que permiten

analizar su comportamiento esta poderosa

herramienta tiene una gran variedad de

aplicaciones en la física la ingeniería

la economía la biología y muchas otras

disciplinas Más hoy estudiaremos que es

una función y por qué son tan

importantes

[Música]

empecemos analizando Qué es una relación

en matemáticas para ello supongamos que

tenemos dos conjuntos un conjunto a

cuyos elementos son Carlos David Chantal

y Carolina y otro conjunto de cuyos

elementos son inglés física matemática

literatura y arte dados estos dos

conjuntos a y b vamos a relacionar

elementos del conjunto a con uno o más

elementos del conjunto B mediante una

regla de correspondencia por ejemplo

supongamos que la regla mediante la cual

vamos a relacionar los elementos del

conjunto a con los elementos del

conjunto B sea cual es el curso favorito

de cada una de las personas Al conjunto

a también lo conoceremos como conjunto

de partida y Al conjunto de lo

llamaremos conjunto de llegada

supongamos que a Carlos le gusta inglés

y literatura podemos señalar esto

mediante unas flechas de esta forma

establecemos la relación entre Carlos y

los cursos que le gusta por otro lado a

David por ejemplo le gusta el curso de

física a shantal le gusta también el

curso de física y a Carolina no le gusta

Ninguno de los cursos mencionados y una

vez hemos establecido la relación del

curso favorito entre los elementos de

ambos conjuntos podemos representar esta

relación de la siguiente manera la

relación r es igual al conjunto formado

por los siguientes pares ordenados

Carlos coma inglés Carlos coma

literatura David coma física y Chantal

coma física y los otros dos conceptos

importantes que también debemos conocer

son los llamados dominio y Rango El

dominio de una relación el cual vamos a

denotarlo por d sub r o dominio de r es

un conjunto formado por las primeras

componentes de los pares ordenados de la

relación Es decir El dominio de r es el

conjunto formado por Carlos David y

shantal y por otro lado el rango de una

relación el cual lo denotaremos por r

sub r o si no Ram Dr es un conjunto

formado por las segundas componentes de

los pares ordenados de la relación Es

decir el rango es el conjunto formado

por inglés literatura y física y algo

importante es que El dominio de la

relación no siempre es igual al conjunto

de partida sino más bien es un

subconjunto de este que en algunos casos

podría coincidir pero no siempre y el

rango es un subconjunto del conjunto de

llegada que también en algunos casos

podría ser igual pero no siempre y ahora

que ya entendimos Qué es una relación en

matemática veamos que es una función y

para ello nuevamente utilizaremos de

ejemplo ambos conjuntos que vimos en la

relación el conjunto ha formado por los

estudiantes y el conjunto formado por

algunos cursos una función es una regla

que designa a cada elemento del conjunto

a un único elemento del conjunto B

mediante una regla de correspondencia

supongamos que la regla de

correspondencia sea otra vez el curso

favorito la diferencia entre una función

y una relación Es que la función exige

una condición especial que a cada

elemento del primer conjunto solo se

relacione un único elemento del otro no

dos ni tres o más Solamente un único

elemento para este caso sería como decir

que cada estudiante solo puede elegir un

curso favorito y no dos o más en el caso

anterior a Carlos le gustaba inglés y

literatura sin embargo para este caso

solo podré elegir un único curso Así que

Carlos se queda solamente con inglés

David elige física nuevamente shantal

elige física y Carolina lo piensa

nuevamente y elige arte como podemos ver

en esta nueva situación cada alumno

elige solamente un único curso y no dos

o más Solamente un único curso y esta

característica extra es la que convierte

a una relación en una función es decir

una función sigue siendo una relación

pero cumple una condición extra que cada

elemento del primer conjunto se

relaciona con un solo elemento en el

otro conjunto para este caso podemos

decir que nuestra función llamada F es

igual al conjunto de pares ordenados

formados por los siguientes elementos

Carlos coma inglés David coma física

shantal coma física y Carolina coma arte

y dado que una función es una relación

el concepto de dominio y Rango es el

mismo El dominio es el conjunto formado

por las primeras componentes de los

pares ordenados de la función es decir

Carlos David y Carolina y el rango es el

conjunto formado por las segundas

componentes de los pares ordenados de la

función es decir inglés física y arte y

ahora que ya comprendimos el concepto de

función hablemos de las llamadas

funciones reales de variables real pero

Qué significa esto para este caso

supongamos que tenemos dos conjuntos los

elementos del primer conjunto serán

todos los números reales y los elementos

del segundo conjunto serán también todos

los números reales se llama función real

de variable real porque relacionará

elementos del primer conjunto que son

todos los números reales con elementos

del otro conjunto que también son

números reales es decir es una función

que va de Los Reales hacia Los reales y

cuando hablamos de números reales nos

referimos a los números positivos

negativos los números decimales y los

irracionales es todos los números que

conocemos todos los elementos del primer

conjunto de manera general los podremos

representar por la letra x y todos los

elementos del segundo conjunto los

podemos representar por la letra y por

lo tanto la función asociará a cada

número x un único elemento y del otro

conjunto y esta relación se dará a

través de la famosa regla de

correspondencia que para este caso será

escrita como una fórmula matemática que

dependa del valor del elemento del

primer conjunto y que representaremos de

la siguiente manera el elemento y será

igual a f de X ahora expliquemos en más

detalle Qué significa la famosa regla de

correspondencia y para entender mejor

Qué es la regla de correspondencia

veamos Este ejemplo supongamos que

tenemos dos conjuntos cuyos elementos

son todos los números reales en la

Gráfica yo solamente coloque algunos

pero tienes que imaginar que ya están

presentes todos los Reales desde menos

infinito hasta más infinito entre estos

dos conjuntos estableceremos una función

F la cual va a relacionar elementos del

primer conjunto con un único elemento

del otro conjunto pero para saber cómo

se relacionan los elementos de ambos

conjuntos es que se establece la regla

de correspondencia supongamos que la

regla de correspondencia es esta FX es

igual a x pero como y es igual a FX esto

significa que y es igual a x lo que nos

quiere decir esta regla es que cada

elemento del primer conjunto se

relaciona con un elemento idéntico a

este pero del segundo conjunto por eso y

es igual a x Por ejemplo si tomamos

menos 2 del primer conjunto la regla nos

dice que lo relacionemos con el mismo

elemento pero del otro conjunto es decir

con menos 2 si tomamos menos 1 Entonces

el elemento con el cual se relaciona es

también con -1 si tomamos el cero

Entonces lo relacionamos con el cero del

otro conjunto si tomamos uno lo

relacionamos con uno del otro conjunto Y

si tomamos dos lo relacionamos con dos

del otro conjunto y así con cada uno de

los elementos del primer conjunto que

dicho sea de paso son infinitos Así que

tendrías que hacer estas infinitas

relaciones siguiendo esta regla Esto es

lo que significa que FX sea igual a x

veamos otra regla de correspondencia

nuevamente tenemos dos conjuntos cuyos

elementos son todos los números reales y

establecemos una función que relacionará

sus elementos mediante la regla FX es

igual a dos veces x dado que y es igual

a f de X esto significa que la regla se

puede escribir como y es igual a 2x que

significa que cada elemento del primer

conjunto se relacionará con el doble de

este pero en el otro conjunto Por

ejemplo si tomamos el elemento menos 2

según esta regla debe relacionarse con

el doble de este es decir el doble de -2

que es -4 por lo tanto relacionamos el

elemento menos 2 con el elemento menos 4

ahora si tomamos menos uno lo tenemos

que relacionar con el doble es decir el

doble de -1 que es -2 por lo tanto

relacionamos el -1 con el -2 Y si

tomamos el cero el doble de 0 es 0 por

lo tanto relacionamos el cero con el 0 y

así con cada uno de los infinitos

elementos del primer conjunto

relacionando cada elemento del primer

conjunto con el doble de este en el otro

conjunto Esto es lo que significa que FX

sea igual a 2x o lo mismo que y es igual

a dos veces x y ahora vamos podemos

entender de mejor manera Cómo funciona

la regla de correspondencia y dejar en

claro que una función no es una máquina

como usualmente se suele explicar pero

si una función no es una máquina

Entonces por qué utilizamos esta idea

pues la idea de la máquina está bien

pero para entender Cómo funciona la

regla de correspondencia veamos el

porqué por ejemplo aquí tenemos FX que

podemos imaginar que funciona como si

fuera una máquina la cual tomará un

número de entrada desde el lado

izquierdo y nos devolverá otro número de

salida desde el lado derecho el número

que ingresa la máquina se representa por

x y el número que sale de la máquina

será F de x o y bien supongamos que la

regla de correspondencia de una función

sea F de X es igual a tres veces x

podemos verlo de la siguiente manera

desde el lado izquierdo de la máquina

ingresará un número y la máquina lo

triplicará es decir multiplicará por 3 y

arrojar el resultado por el lado derecho

de esta máquina muy bien veamos a la

máquina en acción si enviamos el número

uno a la máquina la máquina tomará s1 y

lo multiplicará por 3 convirtiéndolo en

3 si ingresar el número 15 la máquina lo

triplicará y arrojaría el número 45 muy

bien Ahora supongamos que la regla

cambia y ahora FX es igual a dos veces x

+ 3 lo que hará la máquina en este caso

es ingresa el número lo multiplica por 2

para luego sumarle 3 bien veamos si

enviamos el 10 a la máquina primero lo

duplicará es decir 2 por 10 que es 20 y

luego se le sumará 3 es decir 20 + 3 que

es 23 por lo tanto la máquina devolverá

el número 23 ahora supongamos que F de X

es igual a x al cuadrado en este caso la

máquina tomará un valor de entrada y

para al cuadrado Por ejemplo si metemos

el número 5 a la máquina esta máquina

elevará este número al cuadrado y lo

convertirá en 25 muy bien como vimos en

los ejemplos una buena forma de entender

cómo funciona la regla de

correspondencia es pensar como si fuese

una máquina pero la función en sí misma

no es una máquina ya que la función es

una relación entre los elementos de

ambos conjuntos en el que la regla de

correspondencia es quién te dice cómo

vas a relacionar estos elementos por

ejemplo en el último caso la regla nos

decía que el elemento 5 se relaciona con

el cuadrado de este es decir con 25 muy

bien sigamos utilizando la idea de la

máquina para comprender acerca del

dominio y Rango de funciones según su

regla de correspondencia y aquí tenemos

a la función cuya regla de

correspondencia es F de x y que podemos

imaginar que funciona como si fuera una

máquina que toma valor de entrada al

cual llamaremos x y lo relaciona con un

elemento y muy bien Ahora podemos

hacernos la siguiente pregunta si es

posible que la máquina acepte cualquier

valor de entrada o habrá algún valor que

la máquina No acepte y para entender

esto analicemos los siguientes casos

primero veamos el ejemplo de una función

cuya regla de correspondencia es F de X

es igual a x Por ejemplo si ingresa el

número 100 la máquina o la regla de

correspondencia lo relacionará con el

mismo número es decir con 100 si ingresa

el número 0.6 la función lo relaciona

con el mismo o sea con 0.6 si ingresa el

número pi la función lo relaciona con el

mismo o sea con el valor de pi si

analizamos podemos darnos cuenta que

cualquier número real puede entrar en la

máquina ya que no hay ninguna

restricción puede ser positivo o

negativo un número decimal o un

irracional como el número por ejemplo

por lo tanto diremos que los valores de

entrada puede ser cualquier número real

y esto es lo que llamaremos El dominio

de la función Cuáles son los posibles

valores de entrada para este caso El

dominio de la función es el conjunto de

todos los números reales y por otro lado

si analizamos los posibles valores de

salida también nos daremos cuenta que

son todos los números reales y esto es

lo que conoceremos como el rango de la

función es decir el rango de esta

función es el conjunto conformado por

todos los números reales bien veamos

otra regla de correspondencia analicemos

el caso de FX es igual a x al cuadrado

para este caso la función toma un valor

de entrada y lo relaciona con su

cuadrado Por ejemplo si tomamos un

número negativo como -4 la función lo

relaciona con su cuadrado O sea -4 al

cuadrado que es igual a 16 que es

positivo si tomamos cero la función lo

relaciona con 0 al cuadrado que es 0 Y

si tomamos un número positivo como 4 la

función lo relaciona con su cuadrado que

es 16 bien si nos dimos cuenta la

función acepta como valores de entrada a

números positivos el 0 y números

negativos es decir los valores de

entrada puede ser cualquier número real

por lo tanto para esta función El

dominio si es igual a todos los números

reales pero los valores de salida tienen

un comportamiento diferente ya que si

entre un número positivo la función lo

relaciona con su cuadrado que es

positivo si ingresa el cero lo relaciona

con cero y si ingresa un número positivo

lo relaciona con su cuadrado que también

es positivo es decir los valores de

salida nunca serán negativos solo serán

números positivos mayores o iguales a

cero es decir el rango de esta función

es igual a un intervalo que va desde el

0 hasta el infinito es decir mayores o

iguales a 0 Y por último analicemos otra

función cuya regla de correspondencia es

F de X es igual a 1 sobre x si tomamos

el número menos 10 la función lo

relacionará con -0.1 Y si tomamos el

valor de 10 positivo la función lo

relacionará con 0.1 de manera general si

probamos con otros valores positivos o

negativos no habrá ningún problema

siempre habrá un número con el cual

estará relacionado pero sucede algo

interesante si tomamos el número 0

Porque si tomamos el cero esta función

lo relaciona con uno entre cero pero

esta división es indeterminada ya que la

división por 0 no existe en matemática

por lo tanto no existiría el elemento

con el cual tendría que relacionar al

cero por lo tanto los números que pueden

ingresar a la máquina pueden ser

cualquier número siempre y cuando no sea

cero ya que para este número la máquina

nos arrojaría error Por lo tanto los

valores de entrada x deben ser

diferentes de cero por lo tanto El

dominio de esta función sería igual al

conjunto formado por los Reales menos 0

es decir todos los positivos y negativos

excepto el valor de 0 y con los valores

de salida pasará algo similar que con el

número 0 no podrá ser nunca un valor de

salida por lo tanto el rango de esta

función será igual al conjunto formado

por todos los Reales menos el cero en

resumen El dominio será el conjunto

formado por todos los posibles valores

de entrada de la función y el rango

estará formado por todos los posibles

valores de salida de la función y estos

dependerán de cómo sea la regla de

correspondencia por lo tanto cada caso

será diferente y se tendría que analizar

de manera distinta y ahora Como cada

regla de correspondencia de las

funciones tendrá asociada una gráfica

Para ello grafiquemos el plano

cartesiano donde el eje horizontal

representará los valores que toma x y el

eje vertical los valores que toma FX o y

muy bien empecemos con la función cuya

regla de correspondencia es F de X es

igual a x que relaciona cada elemento

con el mismo por ejemplo si x vale menos

4 lo relacionará con y = -4 con estos

valores de entrada y salida formaremos

El par ordenado -4, -4 y lo ubicamos en

el plano cartesiano si x vale -2 lo

relaciona con -2 y formamos el par

ordenado menos 2, -2 que también

ubicaremos en el plano cartesiano si x

es 0 lo relaciona con cero formando El

par ordenado 0,0 que ubicamos en el

plano cartesiano si x es 2 lo relaciona

con dos formando El par ordenado 2,2 que

también ubicamos en el plano cartesiano

sin embargo tenemos que tomar en cuenta

que los valores de entrada no poseen

restricción por lo tanto los valores de

X pueden ser todos los números reales

desde menos infinito hasta más infinito

para la animación supongamos que

considero solamente desde x igual a

menos 4 al tomar los infinitos valores

que hay entre -4 y 4 obtendríamos

infinitos pares ordenados que si los

graficamos todos en nuestro plano

cartesiano se obtendrá un conjunto

infinito de puntos que formará una línea

recta tal como vemos aquí en la

animación por lo tanto esta línea no es

más que un conjunto infinito de pares

ordenados que cumplen con la regla de

correspondencia F de X es igual a x es

una línea recta que va desde menos

infinito hasta más infinito y ahora la

función con regla de correspondencia FX

es igual a dos veces x la cual relaciona

cada elemento del primer conjunto con el

doble de este pero en el otro conjunto

Por ejemplo si tomamos -2 la función lo

relaciona con su doble que es -4

formamos el par ordenado y lo graficamos

en el plano cartesiano si tomamos menos

1 la función lo relaciona con su doble

que es -2 formamos el par ordenado -1,

-2 y lo graficamos en el plano

cartesiano si tomamos 0 la función lo

relaciona con su doble que también es

cero y formamos el par ordenado 0,0 y lo

graficamos Y si tomamos uno la función

lo relaciona con su doble que es 2

formamos El par ordenado 1,2 y lo

graficamos muy bien tengamos en cuenta

que tenemos que hacer esto para todos

los posibles valores de entrada que van

desde menos infinito hasta más infinito

para efecto de la animación

desde menos 3 e iremos relacionando con

el doble el resultado es un conjunto

infinito de pares ordenados que forman

una línea recta que tiene una

inclinación mayor a la que vimos en el

caso anterior veamos el caso de la

función cuadrática FX es igual a x al

cuadrado esta función relaciona cada

elemento con su cuadrado Por ejemplo si

tomamos el número menos 3 lo relaciona

con su cuadrado que es menos 3 al

cuadrado que nos da 9 con ello formamos

El par ordenado menos 3,9 y lo

graficamos en el plano cartesiado para

el valor de -2 la función lo relaciona

con su cuadrado que es

-2², 4 y formamos el par ordenado menos

2,4 y lo ubicamos en el plano cartesiano

para el valor de -1 la función lo

relaciona con su cuadrado que es 1

formando El par ordenado

-1,1 y que ubicamos en el plano

cartesiano para 0 la función lo

relaciona con su cuadrado que también es

cero formando El par 0,0 y que ubicamos

en el plano cartesiano para uno la

función lo relaciona con uno formando El

par ordenado 1,1 ubicamos este par en el

plano cartesiano para el valor de 2 la

función lo relaciona con su cuadrado que

es 4 formando El par ordenado 2,4 y que

también ubicaremos en el plano

cartesiano y para el valor de 3 la

función lo relaciona con su cuadrado que

es 9 formando El par ordenado 3,9 y que

también ubicamos en el plano cartesiano

si hacemos esto para todos los números

reales obtendremos un conjunto infinito

de pares ordenados que formarán la

siguiente gráfica la cual es conocida

como una parábola

y Qué pasa si tenemos la función cuya

regla es FX es igual a x al cubo esta

función relacionará cada elemento con el

cubo de este elemento para el valor de

-2 la función lo relaciona con su cubo

que es -2 al cubo el cual nos da -8 con

ello formamos El par ordenado menos 2,

-8 y lo ubicamos en el plano cartesiano

para el valor de -1.5 la función lo

relaciona con su cubo que es menos

3.375 formamos el par ordenado -1.5 coma

menos

3.375 y ubicamos en el plano cartesiano

para el valor de -1 la función lo

relaciona con su cubo que es -1 formamos

el par ordenado -1 - 1 y lo ubicamos en

el plano cartesiano para el valor de 0

la función lo relaciona con su cubo que

es cero formamos El par ordenado y

reubicamos en el plano cartesiano para

el valor de la función lo relaciona con

su cubo que es 1 formamos El par

ordenado 1,1 y lo ubicamos en el plano

cartesiano para el valor de 1.5 la

función lo relaciona con su cubo que es

3.375 formamos el par ordenado menos 1.5

coma

3.375 y lo ubicamos en el plano

cartesiano y para el valor de 2 la

función lo relaciona con su cubo que es

2 al cubo 8 formamos El par ordenado 2,8

y ubicamos en el plano cartesiano al

realizar esto para todos los posibles

valores de x o sea todos los Reales

obtendremos este conjunto infinito de

puntos que genera esta gráfica

característica de una función cúbica Y

por último veamos el caso de la función

con regla de correspondencia F de X es

igual a 1 entre x por ejemplo para el

valor de -3 la función lo relaciona con

1 entre -3 que nos da -0.3

rupestres formamos El par ordenado y lo

graficamos en el plano cartesiano para

el valor de -2 la función lo relacionara

con 1 entre -2 que nos da -0.5 formamos

el par ordenado -2, -0.5 y lo ubicamos

en el plano cartesiano para el valor de

-1 la función lo relaciona con uno entre

-1 que nos da -1 y formamos el par

ordenado menos uno coma menos uno y

ubicamos en el plano cartesiano para el

valor de -0.8 la función lo relacionará

con -1.25 formamos el par ordenado menos

0.8 menos 1.25 y lo ubicamos en el plano

cartesiano para el valor de -0.5 la

función lo relaciona con 1 entre -0.5

que es igual a -2 formamos el par

ordenado menos 0.5 menos 2 y lo ubicamos

en el plano cartesiano para el valor de

menos 0.3 la función lo relacionará con

-3.333 formamos el par ordenado -0.3

coma menos

3.33333 y ubicamos esto en el plano

cartesiano y para el valor de -0.1 la

función lo relaciona con uno entre -0.1

que es menos 10 formamos El par ordenado

menos 0.1 menos 10 y lo ubicamos en el

plano cartesiano al ubicar los infinitos

valores posibles para las entradas

obtenemos el siguiente conjunto infinito

de puntos

Y si hacemos lo mismo para los valores

de X mayores que 0 obtenemos la Gráfica

como vemos en la animación Y por qué son

tan importantes las funciones las

funciones nos permiten modelar una gran

variedad de fenómenos desde el

movimiento de los cuerpos celestes en el

universo hasta la propagación de una

enfermedad en una población es

fascinante como una simple ecuación

puede capturar la esencia de un proceso

tan complejo además las funciones nos

permiten hacer predicciones y tomar

decisiones informadas los científicos

pueden utilizar modelos matemáticos

basados en funciones para simular

situaciones y entender mejor lo que

podría suceder en el futuro y no solo

eso sino que las funciones También

tienen aplicaciones en Campos tan

diversos como la ingeniería la economía

y la informática En definitiva las

funciones son una herramienta poderosa y

esencial en la ciencia y la tecnología

moderna y muchas gracias por llegar

hasta esta parte del video Recuerda que

puedes apoyar este canal suscribiéndote

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contribuir con este proyecto Muchas

gracias por tu atención y nos vemos en

el próximo video

[Música]