Barisan dan Deret Bagian 3 - Barisan Geometri Matematika Wajib Kelas 11

Summary

This educational video script delves into the concept of geometric sequences, a type of series where each term is found by multiplying the previous term by a constant ratio. The tutorial begins by defining geometric series and illustrates how to identify the common ratio by dividing consecutive terms. It proceeds with examples to calculate the ratio and further explains how to determine any term in the sequence using the formula 'U_n = a * r^(n-1)'. The script also covers finding the middle term and the sequence's properties when numbers are inserted between two numbers to form a geometric series. Practical problems are solved step-by-step, enhancing understanding and providing a comprehensive grasp of geometric series.

Takeaways

• 📚 The video discusses the concept of geometric sequences, which are series where each term is obtained by multiplying the previous term by a constant ratio.
• 🔢 The video provides a clear definition of a geometric sequence and introduces the symbol 'r' to represent the common ratio.
• 📈 The presenter demonstrates how to identify the common ratio 'r' by dividing any term in the sequence by its preceding term, showing that the result remains constant.
• 📝 Examples are given to illustrate the calculation of the common ratio, such as dividing the second term by the first, and the third by the second, to find 'r'.
• 🧮 The video includes a problem-solving segment where the presenter calculates the common ratio for a given geometric sequence and uses it to find specific terms.
• 🔍 The presenter explains how to determine the 'n'th term of a geometric sequence using the formula UN = a * r^(n-1), where 'a' is the first term and 'r' is the common ratio.
• 🔑 The video highlights the importance of understanding the properties of geometric sequences, such as the middle term and the insertion of terms to maintain the sequence's geometric nature.
• 📐 The presenter discusses the formula for finding the middle term of a geometric sequence and provides a step-by-step approach to solving related problems.
• 📘 The video concludes with a series of practice problems that apply the concepts and formulas discussed, reinforcing the viewer's understanding of geometric sequences.
• 🌟 The video ends with a reminder of the key learnings and a promise to continue exploring related topics in future videos.

Q & A

What is the definition of a geometric sequence?

A geometric sequence is a sequence where each term after the first is found by multiplying the previous term by a constant called the common ratio, symbolized by 'r'.

How do you determine the common ratio of a geometric sequence?

The common ratio 'r' of a geometric sequence can be determined by dividing any term by the preceding term. For example, if you have a sequence 3, 6, 12, then the common ratio is 2 because each term is twice the previous one (6/3 = 12/6 = 2).

What is the general formula for finding the nth term of a geometric sequence?

The general formula for finding the nth term (U_n) of a geometric sequence is U_n = a * r^(n-1), where 'a' is the first term and 'r' is the common ratio.

How can you find the middle term of a geometric sequence with an odd number of terms?

The middle term of a geometric sequence with an odd number of terms can be found using the formula U_n = √(U_1 * U_last), where U_1 is the first term and U_last is the last term of the sequence.

What is the formula for finding the nth term when a geometric sequence is formed by inserting 'n' numbers between two given numbers?

If 'n' numbers are inserted between two numbers 'a' and 'p' to form a geometric sequence, the common ratio 'r' of the sequence is given by the formula r = √(P/a)^(1/(n+1)), where 'n' is the number of terms inserted.

How do you verify if a given sequence is a geometric sequence?

To verify if a sequence is geometric, divide each term by the previous term. If the result is a constant value for all divisions, then the sequence is geometric.

What is an example of a geometric sequence provided in the script?

An example of a geometric sequence provided in the script is 3, 6, 12, 24, where the common ratio is 2.

How can you find the 9th term of the geometric sequence 2, 4, 8, ...?

To find the 9th term (U_9) of the sequence 2, 4, 8, ..., use the formula U_n = a * r^(n-1). Here, the first term 'a' is 2 and the common ratio 'r' is 2. So, U_9 = 2 * 2^(9-1) = 2 * 2^8 = 2^9.

What is the process to determine if a sequence with terms 3, 6, and 2x + 10 is a geometric sequence?

To determine if the sequence 3, 6, and 2x + 10 is geometric, set up the equation based on the common ratio 'r' where 6/r = (2x + 10)/6. Solve for 'x' and substitute back to check if the resulting sequence maintains the same ratio.

How do you calculate the middle term of a geometric sequence if the first term and the last term are known?

The middle term of a geometric sequence can be calculated using the formula U_middle = √(U_1 * U_last), where U_1 is the first term and U_last is the last term of the sequence.

Outlines

00:00

📘 Introduction to Geometric Sequences

The paragraph introduces the concept of geometric sequences, building upon the previously learned arithmetic sequences. It defines a geometric sequence as a series where each term is obtained by multiplying the previous term by a constant ratio, denoted by 'r'. The paragraph provides examples to illustrate the concept, showing how to calculate the common ratio by dividing any term by its preceding term. It also discusses how to verify if a sequence is geometric by checking if the ratio is consistent across all terms.

05:01

🔍 Exploring the Properties of Geometric Sequences

This section delves deeper into the properties of geometric sequences. It explains how to determine the common ratio using algebraic manipulation and provides a method to find the nth term of a geometric sequence using the formula 'U_n = a * r^(n-1)'. The paragraph also explores the concept of the middle term in a geometric sequence and how it relates to the sequence's properties. It concludes with a practical example of solving for the nth term using the derived formulas.

10:03

🧮 Practical Problems on Geometric Sequences

The paragraph focuses on solving practical problems related to geometric sequences. It demonstrates how to apply the formulas for the nth term and the middle term to find specific terms within a sequence. The examples include calculating the 9th term of a sequence and finding the 7th term given the first and fifth terms. The paragraph also explains how to find the middle term when a certain number of terms are inserted between two numbers to form a geometric sequence.

15:05

🎓 Conclusion and Farewell

In the final paragraph, the speaker wraps up the discussion on geometric sequences and invites viewers to watch the next video for further learning. It serves as a conclusion to the topic and a transition to future educational content.

Keywords

💡Geometric Sequence

A geometric sequence is a sequence of numbers where each term after the first is found by multiplying the previous one by a fixed, non-zero number called the common ratio. This concept is central to the video's theme as it is used to explain the properties and calculations related to sequences where each term is a constant multiple of the term before it. For example, the sequence 3, 6, 12, 24 is a geometric sequence with a common ratio of 2.

💡Common Ratio (r)

The common ratio (r) in a geometric sequence is the factor by which each term is multiplied to get the next term. It is a fundamental concept in the video, used to define and identify geometric sequences. The script provides examples of calculating the common ratio by dividing a term by its preceding term, such as dividing 6 by 3 to get a common ratio of 2.

💡Arithmetic Sequence

An arithmetic sequence is a sequence of numbers with a constant difference between consecutive terms. While the main focus of the video is on geometric sequences, the arithmetic sequence is mentioned in the context of contrasting it with geometric sequences. The video script refers to previous lessons where arithmetic sequences were discussed, highlighting the difference in the way terms are generated in arithmetic versus geometric sequences.

💡Series

In the context of the video, a series is the sum of the terms of a sequence. The script touches upon the concept of a series as it relates to sequences, particularly when discussing the sum of terms in geometric progressions. Understanding series is crucial for comprehending the cumulative effect of the terms in a sequence.

💡Term

A term in a sequence refers to an individual number in the sequence. The video script uses the term 'term' frequently, especially when discussing the properties of geometric sequences, such as how each term is derived from the previous one by multiplying it by the common ratio.

💡Ratio

The ratio, in the context of the video, is the relationship between two numbers, specifically how one number is a multiple of another. It is used to describe the relationship between consecutive terms in a geometric sequence. The script provides examples of finding the ratio by dividing one term of a sequence by another.

💡Factorial

A factorial, denoted by an exclamation mark (!), is the product of all positive integers up to a given number. The video script refers to factorials in the context of calculating terms in a sequence, particularly when explaining the formula for the nth term of a geometric sequence.

💡nth Term

The nth term of a sequence refers to the term in the position indicated by the integer n. The video script discusses how to calculate the nth term in a geometric sequence using the formula involving the first term, the common ratio, and the position of the term in the sequence.

💡Suku Tengah

In the video, 'Suku Tengah' refers to the middle term in a sequence with an odd number of terms. The concept is explained with an example where the middle term is calculated as the square root of the product of the first and last terms. This is a specific case for sequences with an odd number of terms where the middle term can be found using this method.

💡Root

A root of a number is a value that, when an operation such as multiplication or exponentiation is applied to it, yields the original number. In the video, roots are used in the context of finding the middle term of a geometric sequence and in solving equations related to the terms of the sequence.

💡Exponent

An exponent is used to indicate the number of times a base number is multiplied by itself. In the video, exponents are used to express the nth term of a geometric sequence, where the first term is raised to the power of the term's position minus one, multiplied by the common ratio.

Highlights

Introduction to geometric sequences and their definition.

Explanation of the constant ratio property in geometric sequences.

How to identify a geometric sequence by the division of consecutive terms.

Example of finding the common ratio of a geometric sequence.

Demonstration of calculating the ratio using division and multiplication methods.

Solving a problem to determine the common ratio of a geometric sequence given the first three terms.

Using algebraic manipulation to find the value of 'x' in a geometric sequence problem.

Verification of whether a sequence is geometric by checking the ratio of consecutive terms.

General formula for finding the nth term of a geometric sequence.

Explanation of the formula for the middle term of a geometric sequence with an odd number of terms.

Method to determine the common ratio when terms are inserted between two numbers to form a geometric sequence.

Solution to a problem involving finding the 9th term of a geometric sequence.

Calculation of the 7th term of a geometric sequence given the first and fifth terms.

Finding the middle term of a geometric sequence with a given first term and last term.

Problem-solving approach to insert five numbers between 3 and 192 to form a geometric sequence and find the 6th term.

Conclusion of the video with a summary of the key points covered on geometric sequences.

Transcripts

Hai assalamualaikum warahmatullahi

wabarakatuh Masih bersama saya ini

Handayani di channel metlife pada dua

video sebelumnya kita sudah belajar

barisan aritmetika dan juga deret

aritmatika dan sekarang kita lanjutkan

materi tersebut masih tentang barisan

dan deret dan pada video ini kita akan

belajar barisan geometri tertutup Oke

selama kita akan belajar barisan

geometri kita pahami dulu definisinya

barisan geometri atau disebut juga

barusan ukur adalah barisan yang hasil

bagi setiap Suku dengan suku sebelumnya

hasilnya adalah tetap hasil bagi

tersebut disebut dengan rasio biasa

disimbolkan er Oke ini definisinya untuk

lebih jelas misalkan kita punya

satu U2 U3 sampai UN ini suku-suku

barisan geometri karena ini barisan

geometri maka haruslah berlaku suatu

suku dibagi suku sebelumnya hasilnya

tetap berarti kalau U2 dibagi suku

sebelumnya kita bagi dengan ustadz to

hasilnya akan sama dengan U3 dibagi suku

sebelumnya dibagi U2 hasilnya juga akan

sama dengan u4d Bagio 3 dan seterusnya

sampai UN dibagi UN min 1 ya Nah sebagi

ini ini yang disebut dengan rasio atau

biasa disembuhkan er contoh misalkan

kita punya beberapa barisan geometri dan

kita akan mencari rasio dari barisan

tersebut ini barisan geometri pertama 3

6 12 24 dan seterusnya Coba Rasanya

berapa kita bagi aja suatu suku dengan

suku sebelumnya teman-teman bisa Suku

ke-2 dengan suku pertama boleh suku ke-3

dibagi suku

Hai atau Suku tiga suku ke-4 dibagi suku

ke-3 juga boleh ya 6 dibagi tiga kan dua

12 dibagi enam juga 2 24 dibagi 12 ini

dua ini yang disebut dengan rasio jadi

rasionya r = 2 atau selain dengan cara

membagi WhatsAppnya gini coba dari tiga

keenam ini kali berapa boleh juga dengan

cara-cara seperti itu ya tiga keenam

kali berapa oh ini kali dua nih rasanya

itu boleh jiwa kita sebut sebagai

pengali 6 ke-12 ini kali berapa ini kali

dua Oh berarti rasanya adalah dua jelas

saya coba

di bagian B10 55 atau 25/4 rasanya

berapa coba

25 dibagi 10 5 Pro 10 ya enggak 5/10

atau kita Sederhanakan satu per dua ini

rasionya atau boleh juga dari 10 kelima

ini kali berapa kali setengah dapat ini

rasionya Oke lagi

CaCO3 atau 4948 2716 dan seterusnya ini

rasanya berapa dari 3/4 ke-98 kali

berapa coba dari tiga ke-9 itu kan kali

tiga bawahnya dari empat ke-8 ini kali

dua oke rasionya adalah 3 per 23 enggan

Hai Nah untuk lebih jelas tentang

definisi barisan geometri kita coba

contoh soal lagi jika X min 2 3 x min 6

dan 2 x + 10 adalah Tiga suku pertama

suatu barisan geometri Tentukan rasio

barisan tersebut jadi ini suku

pertamanya ini Uh satunya temen-temen 3x

min 6 ini U2 nya suku ke-2 dan 2 SMA 10

ini suku ke-3 karena ini barisan

geometri maka haruslah berlaku

definisinya ya O2 dibagi U1 harus sama

dengan U3 dibagi U2 oke

Hai nah ini Tinggal kita ganti aja udah

banyak kita ganti dengan tega X min 6 us

satunya kita ganti dengan X min 2 U3 nya

2 x + 10 Danu 2-nya 3x Min

Hai kemudian ini kita kali silam 3 SD 6

kali 3x min 6 dan 2 x + 10 kali x min 2

seperti ini

Hai kemudian kita kalikan aja ya biasa

3S kali 3x 3 x * min 6 enam kali 3x min

6 kali enam dan luas tanah juga Sama ini

kita kalian biasa Nah sekarang ini

tinggal kita kurangi aja ruas kiri kita

kurangi dengan luasan menjadi luasannya

kita jadikan nol temen-temen 9 x kuadrat

dikurangi 2X kuadrat itu 7S kuadrat

dikurangi 36 dikurangi 6 jadi mind42 X

kemudian 36 dikurangi negatif 20plus 56

sama dengan nol nah ini kita faktorkan

oh ya bisa disederhanakan dulu ya ini

kita bagi dulu dengan

kwartet dibagi 7 x kuadrat min 42x

begitu Jumin 6x dan 56 dibagi 7 itu

delapan Ya ini sekarang kita faktorkan

menjadi X min 2 kali x min 4 ini gua

akan saya jelasin cara memakai toran

bagi teman-teman yang masih bingung

silahkan cari aja di channel ini

bagaimana cara memfaktorkan bentuk

kuadrat Nah dari sini kita peroleh X min

2 = 0 maka x y adalah 2 dan X min 4 = 0

maka x adalah positif empat nilai x yang

memungkinkan tapi belum tentu memenuhi

ya sekarang kita subtitusi aja kita

masukkan nilai x ini ke U1 U2 dan U3 U1

nya X min dua-duanya 3 SD 6 Danu tiganya

2 x + 10 pertama kita ganti X yang

dengan 2x mengganti dengan 22 dikurangi

duakan nol kemudian 3 SD 6 ganti XL

dengan 23 kali dua itu 66 dikurangi 60

juga kemudian 2

10 ganti XL dengan dua dua kali 244 plus

1014 ternyata ini bukan barisan geometri

Kenapa bukan barisan geometri

teman-teman cek 14 dibagi nol itu tidak

terdefinisi no dibagi nol itu bilangan

tak tentu Jati ini tidak memenuhi untuk

x = 2 sekarang x = 4 SD kurangnya 24

dikurangi dua berarti 23 sman6 esnya

ganti dengan empat tiga kali empat 1212

dikurangi 6 itu enam 2x + 10x nya ganti

dengan empat dua kali 488 plus 1018 ini

barisan geometri yang enggak Nah

sekarang kita cari rasionya 6 dibagi dua

ya kita bagi dengan suku sebelumnya itu

Kan hasilnya 3-18 dibagi enam hasilnya

tiga juga Oh ternyata rasio dari barisan

geometri ini adalah 3R =

hai oke nah kita akan belajar bagaimana

cara menentukan suku ke-n suatu barisan

geometri Oke sekarang kita akan belajar

bagaimana cara menentukan suku ke-n

barisan geometri saya ga akan langsung

ngasih rumusnya tapi kita akan mencoba

menemukan rumus tersebut kita kembali ke

definisi barisan geometri bahwa barisan

geometri jika suatu suku kita bagi

dengan suku sebelumnya itu hasilnya

tetap itu yang disebut dengan rasio ini

tadi kita udah bahas ya Nah teman-teman

perhatikan U2 dibagi U1 itu kan nilainya

sama dengan er Nah dari sini kita

peroleh berarti U2 itu sama dengan uh

satu kali er ya enggak

Hai nah seandainya u1000 suku pertama

kita misalkan uh satunya sebagai au1

sebagai ah maka ini bisa kita tulis

menjadi aru2 itu = a * er Nah sekarang

lihat O3 dibagi U2 Ini hasilnya er juga

kan U3 dibagi U2 hasilnya juga er dari

sini kita peroleh berarti U3 itu sama

dengan dua kali er ya enggak Nahwu 2-nya

tadi kita udah dapet O2 itu = a * er nah

ini kita subtitusi kita ganti 2-nya

dengan akal Ir maka U3 = r * r atau RR

kuadrat

Hai Nah sekarang empat dibagi U3 Ini

hasilnya er juga

Hai dari sini kita peroleh U4 = U tiga

kali er ya enggak U3 nya U3 itu kan sama

dengan air kuadrat U3 nya ini kita ganti

dengan air kuadrat kemudian dikalikan er

air kuadrat kali er sama dengan air

pangkat tiga Nah dari tiga contoh ini

kita udah dapet polanya nah disini Pada

saat n-nya 2 ternyata ^ rasionya adalah

satu yang enggak pada saat NY itu 3 ^

rasionya adalah dua pada saat n-nya

4pangkat rasionya adalah tiga dapatnya

polanya ternyata pangkat dari rasio itu

adalah n dikurangi satu misalnya

teman-teman mau nyari u55 jelas er ^

sebelum 54 gitu ya enggak Nah dari sini

kita peroleh perumus umumnya UN itu = a

r pangkat n dikurang yg satu ini rumus

UN barisan geometri

Hai nah selain rumus ini ada dua rumus

penting lainnya tentang barisan geometri

yang pertama suku tengah ya suku tengah

itu rumusnya seperti ini teman-teman

akar dari ak-56 dimana UN ini adalah

suku terakhir nah suku Tengah ini hanya

ada pada barisan geometri dengan banyak

suku ganjil ya Jadi kalau banyak sukunya

itu genap maka enggak ada suku tengahnya

ageh ini sebuah Tengah kemudian sisipan

jika diantara bilangan a dan P

disisipkan n buah bilangan dan ternyata

membentuk sebuah barisan atau deret

geometri maka rasio dari barisan atau

deret geometri tersebut adalah nah ini

rasionya akar dari akar pangkat N + 1

dari

Hai Nah sekarang kita akan coba bahas

beberapa soal terkait tiga rumus ini

hai hai

Hai togel sama kita coba bahas soal

pertama suku ke-9 dari barisan 2 4 8 dan

seterusnya adalah yang untuk mencari Un

dari barisan geometri kita perlu suku

pertama dan rasio rumusnya a kali r

pangkat n min 1 itukan jadi untuk

mencari u99 itu = Ar ^ 9 kurang 18 dan

disini hanya itu suku pertamanya akan

dua ini hanya ini rasanya berapa Empat

dibagi dua ini rasionya juga 2/8 dibagi

empat juga oleh rasanya adalah dua jadi

U9 = WAnya itu 22 kali r-nya juga dua

jadi 2 ^ 8 = A2 ini kan Bapak suatu ya

21 kali 2 ^ 8 = 2 pangkat 9 Nah biar

gampang ngitungnya ini saya jadikan aja

2 ^ 9 nya sebagai dua pangkat 3

dipangkatkan lagi 32 pangkat tiga kan 8

Khan dipangkatkan tiga berarti 838

pangkat dua kali 8 Gan 64 kali 8438 32

sini 3628 48 tambah tiga 51 512

jawabannya adalah C Oke sekarang kita

bahas soal nomor 2 suatu barisan

geometri mempunyai U1 = 3 dan u5 =

48.sub ke-7 barisan bilangan tersebut

adalah nah ini U1 = 31 itu sama aja

dengan nilai a jadi A5 dengan tiga

kemudian u5 = 40875 itu sama aja dengan

Arpa ngkat 4 ya air pangkat-4 nilainya

48 Oke sekarang kita akan mencari

rasionya kita gunakan bagian ini

akhir-akhir ^ 4 = 48.net raia nya kan

udah ada tiga jadi tiga kali er

pangkat-4 nilainya adalah 48 maka er ^ 4

= 48 kita bagi 3 16 jadi er ^ 4 = 16 ini

berapa pangkat 4 2 ^ tempatkan gay

karena pangkatnya udah sama berarti

airnya jelas airnya adalah dua rasionya

adalah dua Nah sekarang kita cari suku

ke-7 u7 = Ar pangkat-6 aanya nilainya

adalah tiga kemudian airnya adalah 22

dipangkatkan 6 = 3 kali 2pangkat 62

pangkat-6 itu

a = 3 kali empatnya 12 kesini 13 kali 6

18 plus satu 19 192 jawabannya adalah e

Oke sekarang kita bahas contoh ketiga

diketahui barisan geometri dengan suku

pertama = 3 berarti nilai Anya a = 3 dan

suku terakhir 768 ini un-nya 768

ditanyakan suku Tengah barisan tersebut

kita akan mencari suku Tengah suku

tengah itu = akar dari a * UN akar dari

suku pertama kali seputar akhir jadi

suku tengahnya = akar dari tiga kali 768

768 = akar tiga kali 8 24-4 kesini dua

ya Iya kali 6 18 plus 2 20g

ini 23 kali tujuh 2121 Plus 2 23 jadi

akar dari 2304 akar dari 2304 adalah 48

jadi jawabannya adalah deh oke kita

bahas soal terakhir soal nomor 4 di

antara bilangan tiga dan 192 disisipkan

bilangan lima buah bilangan sehingga

bilangan-bilangan tersebut membentuk

barisan geometri suku ke-6 barisan

tersebut adalah nah konsepnya seperti

ini jika diantara a&p Sisfo

Hai ada npe disisipkan n buah bilangan

agan2 bilangan sehingga membentuk

barisan atau deret geometri maka rasio

dari barisan tersebut adalah akar dari P

dibagi a&e indeks akar ini adalah N + 1

gini teman-teman ya Jadi pada soal ini

antara tiga dan 192 berarti tiga ini

hanya ya tanya = 3 dan ip-nya kayaknya

sama dengan 192 disisipkan lima buah

bilangan ini n-nya n y = 5 berarti kita

bisa nyari rasio barisan yang terbentuk

Hai Oke jadi rasionya R = akar enakan di

sini lima sementara indeks itu n tambah

satu berarti lima tambah 16 ya kemudian

pepper a192 atau tiga 192 pertigaan

kayak gini akar index6 192 dibagi3 19

segitiga itu enam Ada sisa satu berarti

ini 1212 bagi 34 akar pangkat 6 dari 64

itu sama dengan dua ya Atau bagi

teman-teman yang masih bingung ini

gimana sih cara menyelesaikan akar

patnam boleh juga 64 ^ dijadikan pangkat

ini Pak 16 detik 64 itu kan 26 ya 26

dipangkatkan 16 bilangan berpangkat

dipangkatkan lagi pernyataan dikali jadi

2 ^ 6 kali 162 pangkat-1 Oke jadi

Jawabannya dua rasionya itu dua Nah

kau udah dapat rasionya kita akan nyeri

Abadi sini suku ke-6 kita nyari u6

Hai u6 = arpad berapa pangkat-5 ya

enggak isinya Anya hanya tadi tiga jadi

tiga kali r-nya kita udah dapet dua ya 2

^ 5 = 3 kali dua pangkat lima itu 32-3

kali 3296 jadi jawabannya adalah c96 Oke

sampai sini dulu video kita kali ini

mengenai barisan geometri Sampai ketemu

di video berikutnya seorang tua high

wabarakatuh

hai hai