Matematika SMA - Relasi dan Fungsi (1) - Pengertian Relasi dan Fungsi, Domain Fungsi (A)

Summary

This educational video script offers a comprehensive exploration of functions and relations. It explains the concepts of domain, codomain, and range using set theory and visual diagrams. The script guides viewers through identifying functions from given graphs, using vertical line tests, and determining the range of specific functions. It also delves into finding the domain of functions with various forms, including linear, rational, irrational, and logarithmic expressions. The tutorial is designed to help viewers understand the foundational principles of functions and their applications in mathematics.

Takeaways

• 😀 The video is an educational tutorial focusing on the concept of functions in mathematics, particularly the difference between relations and functions.
• 📚 The tutorial explains that a function is a specific type of relation where each element of the domain maps to exactly one element in the codomain.
• 🔍 The video uses diagrams with arrows to illustrate the mapping from one set to another, highlighting the concepts of domain, codomain, and range.
• 📈 The script discusses how to determine if a given diagram represents a function by ensuring each element in the domain is mapped to exactly one element in the codomain.
• 📝 The tutorial provides a method to check for functions using vertical lines that intersect the graph; if a line intersects the graph at only one point, it's a function.
• 🧮 An example function is defined and used to calculate its values for specific inputs, demonstrating how to find the range of a function.
• 📉 The video explains how to determine the domain of a function by considering the conditions under which the function is defined, such as avoiding division by zero or taking even roots of negative numbers.
• 📐 It covers various types of functions, including linear, rational, irrational, and those involving square roots and logarithms, and provides guidelines for finding their domains.
• 📑 The tutorial emphasizes the importance of understanding the natural domain of a function, which is the set of all real numbers for which the function is defined.
• 🎓 The video concludes with a reminder to like, share, and subscribe for more educational content, encouraging viewers to engage with the channel.

Q & A

What is the main topic discussed in the video?

The main topic discussed in the video is the concept of functions, specifically focusing on the relationship between sets and how functions map elements from one set to another.

What are the notations used for domain and codomain in the context of functions?

The domain of a function is denoted by DF, and the codomain is denoted by KF.

What is the difference between a relation and a function in terms of mapping?

In a relation, an element from the domain can be paired with more than one element in the codomain or may not have a pair at all. In contrast, a function requires each element of the domain to be paired exactly once with an element in the codomain.

How can you determine if a given diagram represents a function?

A diagram represents a function if, for every element in the domain (x-axis), there is exactly one corresponding element in the codomain (y-axis). This can be checked using a vertical line test, where a vertical line drawn through the diagram should intersect the graph at no more than one point for it to be a function.

What is the range of the function defined as h(t) = 2t^2 + 5 for t = 0, 1, 2, 3?

The range of the function h(t) = 2t^2 + 5 for the given values of t is {5, 7, 13, 23}.

What is the domain of a linear function?

The domain of a linear function is all real numbers, as there are no restrictions on the input values that can be used.

What conditions must be met for the domain of a rational function?

For a rational function, the denominator must not be equal to zero, and the expression under any square root in the function must be non-negative.

How do you determine the domain of a function involving square roots or radicals?

The domain of a function involving square roots or radicals includes all real numbers for which the expression under the radical is non-negative.

What is the domain of a logarithmic function?

The domain of a logarithmic function includes all real numbers for which the argument (the function inside the logarithm) is positive and not equal to one.

What is the significance of the vertical line test in determining whether a graph represents a function?

The vertical line test is significant because if a vertical line intersects the graph of a relation at more than one point, it does not represent a function, as a function requires a unique output for each input.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Functions and Relations

The script begins with an introduction to the topic of functions and relations in the context of set theory. It explains the concept of a function as a mapping from one set (domain) to another (codomain), with specific emphasis on the difference between a relation and a function. A relation allows for multiple pairings or no pairing at all, whereas a function requires each element of the domain to be paired exactly once with an element in the codomain. The script uses diagrams with arrows to illustrate these concepts, highlighting the importance of understanding the domain, codomain, and range in function mapping. It also introduces the idea of a function as a special type of relation where each element in the domain has a unique corresponding element in the codomain.

05:00

🔍 Evaluating Functions and Determining Range

This section of the script delves into the practical application of functions, specifically focusing on determining the range of a function given a set of input values. It introduces a function H(t) defined as 2t squared plus 5 and walks through the process of calculating the function's output for specific values of t (0, 1, 2, 3). The script then explains how to identify the range of the function by listing the outputs obtained from these inputs. The discussion serves as a practical guide to understanding how functions operate and how to work with them in a mathematical context.

10:04

📐 Determining the Domain of Functions

The script continues with a focus on determining the domain of various functions, which is crucial for understanding the set of all possible input values for which the function is defined. It covers different types of functions, including linear, rational, irrational, and those involving square roots and logarithms. For each type, the script outlines the conditions that the input values must satisfy to be included in the domain. For example, for rational functions, the denominator must not be zero, and for logarithmic functions, the argument (the value inside the logarithm) must be greater than zero. The explanation is designed to help viewers understand the constraints on input values for different function types.

15:07

🎓 Conclusion and Engagement

In the final paragraph, the script concludes with a call to action for viewers to like, share, and subscribe to the channel for more educational content. It encourages viewers to engage with the material and apply the concepts learned in their studies. The script ends on a positive note, thanking viewers for their time and promising more informative videos in the future.

Keywords

💡Function

A function in mathematics is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs with the property that each input is related to exactly one output. In the context of the video, functions are discussed in relation to mapping elements from one set (domain) to another (codomain), with the specific requirement that each element in the domain maps to exactly one element in the codomain. This is exemplified in the video by explaining that a function is a type of relation where every element in the domain has a unique corresponding element in the codomain.

💡Domain

The domain of a function is the set of all possible input values (often 'x' values) for the function. In the video, the domain is described as the 'area of origin' or 'starting area' from which elements are mapped to another set. The script uses a set A with elements a, b, c, d, and e to illustrate the domain, where each element in set A is mapped to elements in set B.

💡Codomain

The codomain of a function is the set of all output values that the function could possibly produce, which may or may not be the same as the actual set of outputs (the range). The video script refers to the codomain as the 'area of destination' or 'area of friends', indicating where the elements from the domain are mapped. For instance, set B with elements 1, 2, 3, 4, and 5 is used to represent the codomain in the script.

💡Range

The range of a function is the set of all actual output values that result from applying the function to its domain. In the video, the range is defined as the 'area of results', which includes the elements from the codomain that are actually mapped to by the function. The script explains that not all elements in the codomain necessarily have to be part of the range, as long as every element in the domain is mapped to at least one element in the codomain.

💡Relation

A relation in mathematics is a set of ordered pairs, where each pair consists of an element from the first set and an element from the second set. The video script contrasts relations with functions, noting that while both are mappings from one set to another, a relation does not require each element in the domain to map to a unique element in the codomain. The script uses diagrams to illustrate how some elements in the domain can map to multiple elements in the codomain in a relation.

💡Mapping

Mapping refers to the process of pairing elements from one set to elements in another set according to a defined rule or function. The video script uses diagrams with arrows to represent mappings from set A to set B. It explains that in a function, each element in the domain must be mapped to exactly one element in the codomain, whereas in a relation, this one-to-one mapping is not mandatory.

💡Diagram

A diagram in the context of the video refers to a visual representation of the mapping of elements from one set to another. The script describes how certain diagrams with arrows can represent both relations and functions, depending on whether each element in the domain is mapped to exactly one element in the codomain. The diagrams are used to illustrate the concepts of functions and relations visually.

💡Vertical Line Test

The vertical line test is a graphical method to determine if a curve represents a function. If every vertical line intersects the curve at no more than one point, then the curve passes the vertical line test and is a function. The video script explains the vertical line test by drawing vertical lines next to various graphs and checking for intersections, using this test to identify which graphs represent functions.

💡Natural Domain

The natural domain of a function is the largest set of input values for which the function is defined. The video script discusses how to find the natural domain by considering the conditions under which certain expressions are defined. For example, the script explains that for a rational function, the denominator cannot be zero, thus determining the domain where the function is valid.

💡Logarithmic Function

A logarithmic function is a function of the form y = log_b(x), where x is the argument, b is the base, and y is the output. The video script touches on the domain of logarithmic functions, stating that the argument (x) must be greater than zero and the base (b) must be positive and not equal to 1. The script uses this information to determine the domain for a logarithmic function within a given problem.

Highlights

Introduction to the concept of functions and their deeper understanding in relation to sets.

Explanation of domain, codomain, and range in the context of functions.

Visual representation of functions using arrow diagrams.

Difference between relations and functions in terms of pairing of set members.

Criteria for determining if a given arrow diagram represents a function.

Use of vertical line test to identify functions in graphs.

Detailed analysis of six different graphs to determine which are functions.

Definition of a specific function and calculation of its range for given values.

Explanation of how to find the domain of a function.

Discussion on the domain of linear functions and the requirement for real number inputs.

Domain determination for rational functions based on the condition that the denominator cannot be zero.

Domain considerations for irrational functions where the function inside the radical must be non-negative.

Domain calculation for logarithmic functions with conditions on the base and the argument.

Practical examples of determining domains for various types of functions.

Final summary and call to action for viewers to like, share, and subscribe.

Transcripts

halo halo teman-teman Jumpa lagi bersama

called di channel lagu rules kali ini

kita akan belajar tentang fungsi yang

akan dibahas lebih dalam tentang relasi

dan fungsi sebelumnya jangan lupa

subscribe channel lagu Rasya tombolnya

di sebelah kanan bawah jangan lupa juga

Klik tombol loncengnya supaya bisa dapat

notifikasi video terbaru dari Le guru

les di sebelah kanan atas akan ada link

playlist supaya teman-teman bisa belajar

tentang fungsi dari awal sampai akhir

misal terdapat himpunan a yang

anggotanya a b c d dan e dan himpunan B

yang anggotanya 1 2 3 4 dan 5 yang

digambarkan dengan diagram panah dan

kita sebut ini adalah diagram yang

menggambarkan fungsi yang memetakan

himpunan a ke himpunan b himpunan a

disebut domain atau daerah asal yang

dinotasikan dengan DF = a = a b c

cie di dalam kurung kurawal himpunan b

disebut kodomain atau daerah kawan yang

dinotasikan dengan KF = b = 1 2 3 4 5 di

dalam kurung kurawal sedangkan 2 3 4 dan

5 dari himpunan b adalah range atau

daerah hasil dari fungsi yang memetakan

himpunan a ke himpunan b yang

dinotasikan dengan RF = 2 3 4 5 di dalam

kurung kurawal dimana RF adalah elemen

dari himpunan b relasi dan fungsi

sama-sama merupakan hubungan dari suatu

himpunan ke himpunan lain yang

membedakannya adalah cara memasangkan

anggota himpunan daerah asal daerah

kawan nya untuk relasi setiap anggota

himpunan daerah asal atau domain boleh

punya pasangan lebih dari satu atau

boleh juga tidak memiliki pasangan

Sedangkan untuk fungsi setiap anggota

himpunan daerah asal atau domain

yang diharuskan punya pasangan dan punya

Tepat satu dipasangkan dengan daerah

kawannya disini terdapat beberapa

diagram panah keempatnya merupakan

relasi karena menghubungkan anggota

himpunan a ke himpunan b tapi Jika

diperhatikan dari diagram pertama yang

paling kiri selain merupakan relasi

diagram ini juga merupakan fungsi karena

setiap anggota domain nya dipetakan ke

anggota codomain Tepat satu kali

begitupun diagram yang kedua

disebelahnya meskipun ada satu anggota

di kodomain yang tidak memiliki pasangan

dia tetap dikatakan sebagai fungsi

sedangkan diagram ketiga terdapat satu

anggota dari domain dipasangkan lebih

dari satu kali ke kodomainnya sehingga

diagram tersebut bukan merupakan fungsi

begitupun dengan diagram yang keempat

terdapat satu anggota domain yang tidak

dipasangkan ke kodomainnya jadi diagram

yang keempat juga bukan merupakan fungsi

langsung ke soal yang pertama Grafik

manakah dari gambar berikut yang

merupakan fungsi

glamor ini kita anggap domain ini adalah

setiap titik di sumbu x dan kodomain

adalah setiap titik di sumbu y jika kita

perhatikan pada poin a-sketch titik di

sumbu x dipetakan Tepat satu kali ke

titik di sumbu y misal titik Adi sini

dipetakan ke titik di sumbu y yaitu

Disini di titik Eva dan misal titik B di

sini dipetakan ke titik Y di sini yaitu

FB karena setiap titik di sumbu x

dipetakan Tepat satu kali ke titik di

sumbu y artinya gambar pada poin a.kor

upakan fungsi Khalid akan beri tanda

lingkaran selanjutnya kita ke gambar

yang point D terlebih dahulu misal kita

pilih satu titik di sumbu x yaitu a maka

titik a ini akan dipetakan ke titik di

sumbu y

Hai yaitu Eva dan dipetakan sekali lagi

ke titik di sumbu y yaitu Minerva karena

satu titik dari sumbu x atau satu

anggota dari domain dipetakan sebanyak

dua kali atau lebih dari satu artinya

grafik ini bukanlah fungsi akan kali

diberi tanda silang di sini selanjutnya

kita ke Point b disini setiap titik di

sumbu x dipetakan Tepat satu kali pada

titik di sumbu y bisa dilihat titik yang

pertama dipetakan ke titik yang ini

titik yang kedua dipetakan ke sini titik

yang ketiga dipetakan ke sini karena

setiap titik di sumbu x dipetakan Tepat

satu kali ke titik di sumbu y artinya

grafik ini adalah fungsi selanjutnya

kepoin cek misal kita pilih salah satu

titik di sumbu x yang ini akan dipetakan

ke titik di sumbu y di sebelah

Hai meskipun titik yay ini juga

merupakan hasil pemetaan dari titik X

yang sebelah sini dia tetap memenuhi

syarat sebagai fungsi karena setiap

titik di sumbu x dipetakan Tepat satu

kali pada titik di sumbu y jadi grafik

pada poin C juga merupakan fungsi

selanjutnya gambar point.exe jika kita

pilih satu titik di sumbu x maka dia

juga akan ditetapkan Tepat satu kali ke

titik di sumbu y bisa dilihat titik yang

tadi kita pilih di sumbu x tidak

dipetakan ke titik lain di sumbu y

selain titik ini artinya gambar pada

point merupakan fungsi selanjutnya untuk

gambar di point of jika kita pilih satu

titik di sumbu x misalnya disini maka

titik tersebut akan dipetakan beberapa

kali ke titik di sumbu y yaitu disini

disini disini dan disini satu titik di

sumbu x di petak

empat kali atau lebih dari satu kali ke

titik di sumbu y artinya gambar pada

poin F bukanlah fungsi atau teman-teman

bisa Gunakan cara lain dengan membuat

garis vertikal yang sejajar dengan sumbu

y misal dibuat garis di sebelah sini

Jika garis ini memotong grafik hanya di

satu titik maka grafik tersebut adalah

fungsi kita coba lagi di Point b misal

kita buat garis vertikal di sini bisa

dilihat hanya satu kali memotong grafik

di titik ini sehingga grafik pada Point

b adalah fungsi kita coba gambar yang c

bisa garisnya disini dia hanya memotong

grafik di satu titik artinya gambar yang

c juga merupakan fungsi lain halnya

dengan gambar di Point D jika kita buat

garis vertikal di sini maka garis

tersebut akan memotong grafik di dua

titik yaitu di titik ini dan titik ini

sehingga grafik lingkaran bukanlah

merupakan fungsi untuk grafik yang e

kita buat garis vertikal di sini juga

hanya memotong grafik satu kali di titik

ini artinya grafik e-marine pakan fungsi

Sedangkan untuk grafik F jika kita buat

garis vertikal di sini maka garisnya

akan memotong grafik.di lebih dari satu

titik yaitu titik ini disini disini dan

disini artinya grafik F bukanlah fungsi

jadi dari keenam gambar ini yang

merupakan fungsi adalah grafik a-b-c dan

e-care setiap titik di sumbu x dipetakan

Tepat satu kali pada titik disembunyi

selanjutnya soal yang kedua fungsi Hadi

definisikan sebagai hal yang memetakan

teh kedua tag wadrat + 5 Tentukan range

untuk t = 0 1 2 3 artinya disini kita

punya fungsi hate yaitu 2T kuadrat + 5

selanjutnya kita akan mencari h0 H1 H2

dan H3

Khan old artinya nol akan

disubstitusikan ke fungsi hate sehingga

2 dikali nol kuadrat + 5 yaitu lima

untuk H1 menjadi dua dikali 1 kuadrat +

5 yaitu 7 untuk H2 artinya dua dikali

dua kuadrat + 5 yaitu 13 dan untuk H3

artinya 2 dikali tiga kuadrat + 5 yaitu

23 sehingga Range adalah 5713 dan

Hai soal yang ketiga Tentukan domain

untuk setiap fungsi berikut disini kita

akan mencari domain natural untuk

mencari domain natural kita harus

mengetahui sarat syarat yang diperlukan

dari setiap persamaannya di video

sebelumnya kita sudah pernah bahas Jadi

kalian hanya akan mengingatkan sekilas

saja untuk y = FX atau fungsi linier

maka berapapun nilai esnya akan memenuhi

atau bisa kita katakan domain dari

fungsi linier adalah x elemen riil

sehingga untuk fungsi yang pertama

domain nya adalah DF = X dimana x elemen

real jika persamaannya adalah fungsi

rasional atau bentuk pecahan maka ada

syarat yang harus dipenuhi yaitu

penyebutnya tidak sama dengan nol disini

penyebutnya adalah GX maka GX tidak sama

dengan nol misalkan fungsi yang kedua di

sini efeknya adalah 7 Min 3x dan GX nya

adalah 2x Min 4

22 X min 4 atau penyebutnya tidak boleh

sama dengan nol artinya 2x tidak sama

dengan empat sehingga X tidak = 2 selain

x = 2 berapapun nilai esnya akan

memenuhi fungsi tersebut sehingga

domainnya bisa kita tulis sebagai X

dimana x tidak = 2x elemen grill

selanjutnya jika persamaannya dalam

bentuk fungsi irrasional atau bentuk

akar maka syaratnya adalah fungsi yang

di dalam akar haruslah lebih besar sama

dengan nol untuk fungsi yang ketiga

disini efeknya adalah 6 in 9x artinya 6

Min 9x haruslah lebih besar sama dengan

nol sehingga Min 9 x lebih besar sama

dengan min 6 akan kita hilangkan tanda

negatifnya jadi tanda ketaksamaan nya

akan dibalik sehingga 9x kurang dari = 6

jadi x kurang dari sama dengan 2/3

artinya domain nilai x yang memenuhi

adalah semua nilai x elemen real yang

kurang dari 2/3 sehingga jika dituliskan

menjadi DF = X dimana x kurang dari sama

dengan 2/3 x elemen real dan untuk

persamaan rasional yang penyebutnya

berbentuk akar tentu saja penyebutnya

haruslah lebih besar sama dengan nol

sekaligus tidak boleh sama dengan nol

karena disini penyebutnya adalah akar GX

maka GS lebih dari nol untuk persamaan

yang keempat penyebutnya adalah akar 2 x

min 8 sehingga dua x min 8 haruslah

lebih dari nol jadi 2x lebih dari

delapan sehingga X lebih dari empat

artinya domain yang memenuhi adalah

semua nilai x bilangan real yang lebih

dari empat sehingga jika dituliskan

menjadi DF = X

Hai dimana x lebih dari 4x elemen real

jika persamaannya dalam bentuk akar dan

rasional maka syaratnya adalah fungsi

rasionalnya harus lebih dari sama dengan

nol dan penyebutnya tidak sama dengan

nol sehingga untuk fungsi yang kelima X

min satu per dua x min 5 haruslah lebih

besar sama dengan nol karena bilangan di

dalam akar harus lebih besar sama dengan

nol disini pembuat nol nya adalah x = 1

dan x = 5 atau dua selanjutnya kita buat

garis bilangan ada titik 1 dan titik 5/2

yang keduanya sama-sama penuh karena

tandanya lebih besar sama dengan jika

kita substitusikan titik yang paling

mudah titik nol di sini ke fungsi maka

akan didapat 0 min 1 yaitu negatif dan 2

dikali 0 Min 57 negatif sehingga negatif

karena gatif ada

Pak positif Karena pangkat x nya

sama-sama satu atau ganjil maka tanda

disini akan berganti menjadi negatif dan

positif Karena tanda kita samanya adalah

lebih besar sama dengan maka yang akan

kita pilih adalah daerah yang bertanda

positif sehingga nilai x yang memenuhi

adalah X yang kurang dari = 1 dan X

lebih dari = 5 atau dua jangan lupa

syarat yang kedua yaitu GX atau

penyebutnya tidak sama dengan nol disini

penyebutnya adalah 2x Min 5 yang tidak

boleh sama dengan nol sehingga 2 x tidak

= 5 jadi X tidak = 5 atau dua akan kita

dapatkan irisan dari kedua syarat ini

yaitu x kurang dari sama dengan satu dan

X lebih dari lima per 2 jadi domain dari

fungsi yang kelima adalah DF = X dimana

x kurang dari sama dengan

satu atau snack Dih dari 5/2 X elemen

real persamaan yang selanjutnya adalah

persamaan logaritma untuk teman-teman

yang sudah mempelajari persamaan

logaritma pasti sudah tahu bahwa basis

tidak boleh negatif tidak boleh nol dan

tidak boleh satu sehingga jika basisnya

berbentuk fungsi maka fungsi tersebut

harus lebih dari nol dan tidak sama

dengan 1 dan untuk numerusnya harus

lebih dari nol sehingga jika numerusnya

berbentuk fungsi maka fungsi tersebut

harus lebih dari nol Jadi jika

persamaannya adalah y = FX blogs maka FX

harus lebih dari nol dan FX tidak boleh

sama dengan satu serta GX harus lebih

dari nol untuk fungsi yang keenam

basisnya adalah x + 2 maka x + 2 harus

lebih dari 0 dan x + 2 juga tidak boleh

sama dengan satu artinya X harus lebih

besar dari mie

2 dan X tidak = min 1 Syarat yang ketiga

yaitu numerusnya harus lebih dari nol

disini numerusnya adalah 2 min x

sehingga 2 min x harus lebih dari nol

maka x kurang dari dua dari ketiga

syarat ini akan kita dapatkan irisannya

yaitu X berada diantara minus 2-2 dan X

tidak = min 1 sehingga jika kita tulis

domain dari fungsi ini adalah x dimana x

diantara min 2 dan 2 serta X tidak = min

1 dan X elemen real

Prima kasih untuk teman-teman yang sudah

menonton video ini sampai akhir Selamat

belajar ya jangan lupa like dan share

video ini agar semakin banyak

teman-teman lain yang merasakan

manfaatnya jangan lupa juga subscribe

dan follow instagram lagu rules sampai

jumpa divideo selanjutnya dadaa