Concepto intuitivo de límite

Summary

El guión explica el concepto intuitivo de Límite en matemáticas, que describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente 'x' se acerca a un valor dado sin llegar a serlo. Se menciona que una función se compone de una variable independiente y su resultado, y se puede graficar en un plano bidimensional. Se introduce la notación del límite y se explica cómo se comporta la función cuando 'x' se acerca a un valor específico 'c'. Se discuten los conceptos de 'delta' y 'epsilon', y se enfatiza la importancia de entender que los límites no siempre tienen una solución clara, como se demuestra con ejemplos gráficos y numéricos.

Takeaways

• 😀 Un límite es un concepto intuitivo que describe el comportamiento de una función cuando se acerca a un valor dado en x, pero nunca llega a ser ese valor.
• 📚 Una función se define por una variable independiente (x) y una dependiente (f(x)), donde la variable independiente se asigna valores y la función produce un resultado.
• 📈 Para entender una función, se pueden crear tablas de valores y graficar los pares ordenados en un plano de dos dimensiones.
• 🔍 La notación de un límite se escribe como 'lim' seguido de la variable independiente x que 'tiende' a un valor específico (c), y el resultado (l) al que se acerca.
• 📍 Al aplicar límites, se considera cómo se comporta la función cuando x se acerca a un número de referencia (c), sin llegar a ser ese número.
• 🔢 Se pueden acercar al valor de referencia (c) tomando valores cercanos por la izquierda o por la derecha, lo que se refleja gráficamente en la aproximación vertical al valor l.
• 📏 La diferencia entre el valor de x elegido y el límite (c) se mide en valores absolutos y es crucial para entender la aproximación al límite.
• 🔄 Los límites pueden no existir en puntos específicos, como se muestra en el ejemplo donde, al acercarse a un punto, la función no tiene un valor definido en ese punto.
• 📉 A veces, los límites no tienen solución o el comportamiento de la función no es el esperado, lo que se puede indicar con un signo de pregunta en la gráfica.
• 🔍 Para calcular límites, se pueden tomar valores de x que se acerquen a un número dado y observar a qué valor tiende la función, lo que se demuestra con ejemplos numéricos en la transcripción.

Q & A

¿Qué es un límite en matemáticas y cómo se relaciona con una función?

Un límite es el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado, pero nunca llega a ser ese valor. Se relaciona con una función porque describe cómo la función se comporta cerca de un punto específico, sin necesariamente evaluar la función en ese punto.

¿Qué son los elementos importantes en una función?

Los elementos importantes en una función son la variable independiente (generalmente x), la variable dependiente (a menudo denotada como f(x) o y), y la relación que se establece entre ellas a través de una ecuación.

¿Cómo se representa gráficamente una función y sus parejas ordenadas?

Una función se representa gráficamente en un plano de dos dimensiones donde el eje vertical representa la variable dependiente (f(x) o y) y el eje horizontal representa la variable independiente (x). Las parejas ordenadas se grafican como puntos en este plano.

¿Qué significa 'x tiende a un valor c' en el contexto de los límites?

Cuando decimos que 'x tiende a un valor c', nos referimos a que la variable independiente x se acerca arbitrariamente cercano al valor c, pero nunca llega a ser igual a c.

¿Cuáles son los tres elementos importantes en la notación de un límite?

Los tres elementos importantes en la notación de un límite son la función, la variable independiente que se acerca a un valor específico (c), y el valor hacia donde tiende el resultado de la función (l).

¿Qué es la diferencia entre acercarse a un valor por la izquierda y por la derecha en el contexto de los límites?

Al acercarse a un valor por la izquierda se toma valores de x menores que el valor de referencia c, mientras que al acercarse por la derecha se toman valores mayores. Esto afecta cómo se comporta la función en los límites.

¿Qué es la diferencia 'δ' y 'ε' en el contexto de los límites?

La diferencia 'δ' (delta) se refiere a la diferencia entre el valor de x y el valor de referencia c, mientras que 'ε' (epsilon) se refiere a la diferencia entre el valor de la función y el límite l. Estos conceptos ayudan a definir la precisión con la que se acerca x a c y el resultado de la función a l.

¿Qué significa que un límite no tenga solución en un punto específico?

Significa que, a pesar de que la variable independiente se acerca al valor de referencia, el comportamiento de la función en ese punto no se puede predecir de manera consistente, o el límite no existe porque la función no converge a un único valor.

¿Cómo se determina el límite de una función cuando x se acerca a un valor específico?

Para determinar el límite de una función cuando x se acerca a un valor específico, se evalúa cómo se comporta la función para valores de x que se acerquen a ese valor, tanto por la izquierda como por la derecha, y se busca un valor l al que converge el resultado de la función.

¿Por qué es importante entender los límites en matemáticas?

Los límites son fundamentales en matemáticas porque permiten describir el comportamiento de funciones en puntos donde no se puede evaluar directamente, como en puntos de discontinuidad o en los extremos de un dominio. También son esenciales en áreas como el cálculo y el análisis matemático.

Outlines

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📚 Concepto Intuitivo de Límite

Este párrafo introduce el concepto de límite en matemáticas, explicando cómo se comporta una función cuando la variable independiente 'x' se acerca a un valor dado, pero nunca llega a ser exactamente ese valor. Se menciona que una función se escribe generalmente como 'f(x)' y se compone de una variable independiente 'x' y un resultado 'f(x)'. Se describe el proceso de crear una tabla de valores y cómo estos pueden ser graficados en un plano bidimensional. Además, se introduce la notación del límite y se explica que el objetivo es determinar el comportamiento de la función a medida que 'x' se acerca a un valor específico, representado como 'c'.

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🔍 Análisis del Comportamiento de la Función

En este párrafo se profundiza en el análisis del comportamiento de una función cuando 'x' se acerca a un valor 'c'. Se discute cómo se toman valores cercanos a 'c', tanto por la izquierda como por la derecha, y cómo estos valores afectan el resultado vertical 'l'. Se introduce la noción de diferencia entre el valor elegido y el límite, representada como 'x - c', y cómo esta diferencia se mide en términos de magnitud sin considerar el signo. Se menciona el concepto de 'delta' y 'epsilon', que son las diferencias horizontales y verticales respectivamente, y se enfatiza la importancia de entender que los límites no siempre tienen una solución clara, como en el caso de un vacío en el gráfico.

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📈 Determinación del Límite de una Función

Este párrafo explica el proceso de determinar el límite de una función cuando 'x' tiende a un valor específico. Se utiliza un ejemplo práctico donde se calcula el límite de la función '3x + 5' cuando 'x' se acerca a 2. Se muestra cómo sustituir valores cercanos a 2 en la función y observar cómo el resultado se acerca al límite. Se destaca la consistencia del límite al analizar tanto por la izquierda como por la derecha, y se concluye que el límite de la función es 11, independientemente del enfoque utilizado.

Keywords

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en matemáticas, especialmente en el análisis matemático, que describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular, sin llegar a ser exactamente ese valor. En el guion, el límite se utiliza para explicar cómo se comporta una función cuando la variable 'x' se acerca a un valor dado 'c', y cómo esto se refleja en la gráfica de la función.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, se menciona que una función generalmente se escribe como 'f(x)' y se enfatiza la importancia de la variable independiente 'x', que al ser modificada, determina el resultado de la función 'f(x)'.

💡Variable Independiente

La variable independiente, representada comúnmente por 'x', es la entrada en una función que puede tomar cualquier valor en el dominio de la función. En el guion, se explica que al cambiar el valor de 'x', se obtiene un resultado diferente para la función 'f(x)', y esto se puede visualizar en una gráfica.

💡Gráfica

La gráfica de una función es una representación visual que muestra los valores de la función en un plano cartesiano. En el guion, se describe cómo los puntos de la gráfica corresponden a parejas ordenadas de valores 'x' e 'f(x)', y cómo el límite de una función se puede visualizar a través de la gráfica cuando 'x' se acerca a un valor específico.

💡Parejas Ordenadas

Las parejas ordenadas son pares de números que consisten en una entrada (generalmente en el eje x) y una salida (generalmente en el eje y). En el guion, se menciona que las parejas ordenadas son los puntos que se grafican en el plano para representar la función y son fundamentales para entender el concepto de límite.

💡Tiene que Llegar

Este término se refiere a la idea de que el resultado de la función 'f(x)' se acerca a un valor específico 'l' cuando la variable independiente 'x' se acerca a 'c', pero nunca llega exactamente a ser 'c'. En el guion, se utiliza para describir la noción de límite y cómo se aplica al acercamiento de 'x' a 'c'.

💡Cercano

El término 'cercano' se utiliza en el contexto de límites para describir la idea de que, aunque 'x' no puede ser exactamente 'c', se puede acercar arbitrariamente cerca de 'c'. En el guion, se explica que al tomar valores de 'x' muy cercanos a 'c', los valores de la función 'f(x)' se acercan al límite 'l'.

💡Diferencia

La diferencia entre el valor de 'x' y el límite 'c' es un concepto clave en el análisis de límites. En el guion, se menciona que esta diferencia, representada por 'Δx', se puede hacer arbitrariamente pequeña, y es fundamental para definir el concepto de límite cuando 'x' se acerca a 'c'.

💡Epsilon y Delta

En el contexto de límites y análisis, 'epsilon' (ε) y 'delta' (δ) son términos utilizados para describir la precisión de los límites. En el guion, se menciona que 'epsilon' representa la diferencia entre el valor de la función y el límite, mientras que 'delta' representa la diferencia entre el valor de 'x' y el límite 'c'.

💡Acercar por la Izquierda/Derecha

Este concepto describe cómo se pueden acercar valores de 'x' a 'c' desde diferentes direcciones en el eje x. En el guion, se explica que se puede acercar a 'c' tomando valores menores o mayores que 'c', respectivamente, y esto es importante para entender el comportamiento de la función en el límite.

Highlights

Explicación del concepto intuitivo de Límite en matemáticas.

Definición de una función y su representación gráfica en un plano de dos dimensiones.

Importancia de la variable independiente 'x' y su relación con el resultado 'f(x)'.

Método de creación de una tabla para representar las parejas ordenadas de una función.

Descripción de cómo se comporta una función cuando se acerca a un valor dado en 'x'.

Introducción a la notación del límite y su significado en el contexto de una función.

Explicación de la diferencia entre acercarse a un valor y alcanzar dicho valor en el límite.

Importancia de la diferencia entre el valor de 'x' y el límite 'c' en el análisis de límites.

Concepto de Delta y Epsilon en el cálculo de límites.

Historia del concepto de límites y su relevancia en matemáticas.

Método práctico para calcular límites a través de la creación de tablas de valores.

Ejemplo de cómo se calcula el límite de una función cuando 'x' tiende a un número específico.

Observación de que los límites pueden no existir en ciertos puntos debido a la naturaleza de la función.

Discusión sobre la consistencia del límite al acercarse por la izquierda y por la derecha.

Importancia de entender que los límites son un concepto teórico y no siempre se pueden resolver algebraicamente.

Recomendación de recursos adicionales para aprender más sobre el cálculo de límites.

Transcripts

concepto intuitivo de Límite el límite

de una función te escribe su

comportamiento cuando se acerca un valor

dado en x pero nunca llega a ser este

valor Así que antes de explicar el

concepto de Límite tenemos que recordar

que es una función y una función Por lo

general la escribimos como f dex o a

veces con alguna letra como y y

elementos importantes en una función es

x que es la variable independiente es

decir que tú le asignas los valores y

dependiendo al valor que le asignas a la

función vas a realizar operaciones y te

va a salir un resultado que va a ser el

F dex ahí está la pareja Por lo general

cuando está en una ecuación que ya es

una función supongamos esta FX = 3x + 5

por ejemplo Okay entonces aquí está la

variable independiente y Dependiendo el

valor que le pongas aquí haces la

operación y te sale un valor FX hasta

podemos hacer una tabla o lo que le

llaman una tabula asignas valores para x

y le corresponde un valor en F dex Okay

son los dos elementos importantes de una

función una vez que ya tenemos los

elementos aquí en la tabla hasta los

podemos graficar como son pares

ordenados podemos graficarlo aquí en un

plano de dos dimensiones Aquí está f dex

en el vertical y en el horizontal x para

este caso ya ustedes pueden proponerle

mínimo dos valores y les va a salir una

gráfica así en pocas palabras dado una

función recordemos que genera pares

ordenados dependiendo a a la variable x

o la independiente le asignas valores y

te debe corresponder uno para su pareja

en fdx Okay ya teniendo parejas

acomodándolos en una tabla hasta

podríamos graficarla vamos a suponer que

me salió este dibujo bueno esta gráfica

perdón y obviamente esta gráfica está

compuesto de puros puntitos que cada uno

se puede representar con una pareja en x

y otra en y por ejemplo este punto tiene

su pareja aquí y otro acá y cada uno

tiene su pareja en x y aquí en fdx o y

una vez es que ya explicamos que una

función está compuesto de una variable

independiente que es x y su resultado

que lo llamamos F dex Ah y bueno también

genera una gráfica ya podemos explicar

que qué le pasa a una función cuando le

aplicas límite para un valor dado en x

así que bueno vamos a utilizar esta

notación que le vas a poner al principio

la función límite cuando x que es la

variable independiente quiere llegar a

ser o tiende Aquí vamos a utilizar esta

palabra

tiende y entendamos tiende

nunca va a ser ese valor te le puedes

acercar pero nunca va a ser ese valor

Okay va a ser supongamos un valor

c y todo este resultado me tiene que la

altura tiene que llegar a un valor l

Recuerden que la vertical o altura como

mencioné son los valores de F dex Así

que hay tres elementos importantes en la

notación de un límite obviamente la

función que es una ecuación en la parte

del límite que aquí nos dice X Hacia

dónde quiere llegar a ser y hacia donde

el resultado tiene que llegar entonces

cuando aplicamos el límite a una función

cuando x tiende a un número c vamos a

suponer que aquí está c entonces

significa que dentro de la recta x

estamos tomando de referencia un número

c que no vamos a poder tomar Así que

para saber cómo se comporta la función

que eso es la intención de aplicar un

límite saber Hacia dónde van los valores

de una función en cuanto x se va

acercando a un número de referencia que

en este caso es c

Así que okay Para como no puedo tomar c

lo único que puedo es tomar valores

cercanos a él Así que por ejemplo puedes

acercarte con valores de x y lo más que

quieras a c pero no puede ser c se dice

que te estás acercando por la izquierda

cuando tomas valores de este lado o te

puedes acercar por la derecha obviamente

aquí gráficamente Yo sé que c está ahí y

le va a corresponder un cierto valor en

la vertical que se le llama cuando

evalúas la función en c o simplemente lo

nombramos como

l

Okay Okay Como se dan cuenta entre más

te acerques aquí eh horizontalmente Te

vas a acercar más verticalmente al valor

este l que no conocemos queremos ver

cuál ese valor Okay otro concepto

importante límite Bueno ya te acercas te

acercas pero siempre esta diferencia se

nombra de una manera y esto lo pueden

ver en algunos libros vamos a suponer

que tú eliges un valor aquí Entonces

como se dan cuenta existe una diferencia

o un espacio entre el valor que elegiste

y el valor de X = a c a esta diferencia

la podemos encontrar haciendo la

diferencia entre el valor de X y el

límite así se escribe se pone en valor

absoluto porque no nos interesa el signo

solamente la magnitud por ejemplo bueno

para saber utilizar esta ecuación que

está ahí vamos a poner que aquí está la

referencia cer0 y vamos a suponer que c

vale 5 Okay entonces aquí en la ecuación

esta de valor absoluto sería x = -5 y

quién es x cualquier valor que tome en

la horizontal puede ser tanto buen es es

el eje en x puedo tomarlo de este lado

de este lado vamos a poner un cu que

esté por aquí no Así que cuál obviamente

yo sé que la diferencia entre el 4at y

el 5 es un uno o sea los está separando

un uno pero aquí hay que sustituir Miren

sustituimos el 4 4 - 5 me da -1 Pero por

eso hay valor absoluto ya que no me

interesa el signo sino la Mag magnitud

es uno Okay entonces con esta ecuación

podemos saber la diferencia dependiendo

del valor de X y el Hacia dónde tiende

x Okay y bueno también se puede hacer

por este lado también y mientras más te

acerques también va a existir una

diferencia en la vertical a esta

diferencia un Dependiendo el valor

chiquito que le pongas va a ser lo

chiquito que te estás acercando va a ser

la diferencia entre la función y hacia

donde tiende el límite que que le

llamamos

l obviamente estos valores no pueden ser

cero porque cero significaría Que

estarías encima del del valor c siempre

te vas a vas a estar alejado aunque sea

una distancia muy pequeña por eso esto

siempre es mayor que cer0 y obviamente

esto también va a ser mayor que cero

Porque si hay una diferencia acá también

la va a ha ver Okay de hecho estos

números o estas diferencias chiquititas

acercadas hacia hacia hacia donde tiende

x y hacia donde hacia donde tiende el

límite les llama en unos libros a esta

le llaman Delta Y a esta le llaman

épsilon okay Bueno ya más formalmente

así los pueden encontrar en los libros

lo mencionó estos conceptos Bueno hay la

historia cauchi por

1821 y bueno ya si ustedes si quieren

eh realizar más ejercicios con límites

Les recomiendo esta forma pero

básicamente el concepto es entre más te

acerques a c más te vas a acercar a un

valor que le estamos llamando el hay que

tener en cuenta que los límites existen

casos que no se pueden resolver así que

por ejemplo aquí tenemos igual la

función que para una x = a c y Queremos

saber su límite cces aquí tenemos la

Gráfica y aquí dice bueno para x que

quiere que tiende a C O sea que aquí

ponemos la Barrera en C igual te le vas

a ir acercando acercando acercando

acercando y cuando Bueno ya saben que

cuando te la acercas le correspondería

esta por ejemplo esta pareja en la

vertical te la acercas por acá le

tocaría otra pareja Pero qué pasa si te

estás acercando a c y resulta que no hay

nada aquí le puse un hueco ent Te estás

dando cuenta que llegas llegas llegas y

Qué pasaría si llegas ahí no hay nada no

hay límite en ese punto en específico y

bueno cuál es la respuesta Bueno aquí

tendríamos que averiguar o por lo menos

decir bueno Quería llegar a esto pero

hay que tener en cuenta que a veces en

ese punto No se puede resolver esa

ecuación o la función puede ser que ibas

tú acercándote acercándote acercándote y

cuando elado Aparentemente tú dirías

aquí tiene que haber algo porque por ahí

va la Así va el efecto o el

comportamiento de la Gráfica resulta que

en este espacio el resultado se puso acá

en un lugar inesperado Aquí está pues a

veces los resultados no no salen lo que

uno espera no crean que si tú dices

sigues un comportamiento Y dices ahí va

a estar bueno entonces hay que tener en

cuenta que a veces los límites no van a

tener solución le vamos a poner un signo

de pregunta que no no vamos a saber qué

ponerle ahí en conclusión a Sí vamos a

utilizar límite donde x tiende un valor

y obviamente entre más cercano sea x a

ese valor te vas a dar cuenta que el

comportamiento va a llegar a un valor

que le nombramos aquí l va pero es el

que andamos buscando Así que entre más

te acerques en x ya vas a poder observar

hacia Qué valor tiende el límite por

ejemplo aquí tenemos una función donde x

tiende a 2 por definición tenemos que

analizar esta función para valores que

se acerquen a dos no puede ser dos así

que bueno uno 1.5 1.9 1.99

1.9999 okay Bueno entonces vamos a

sustituir rápidamente aquí ponemos la

función 3 * x que x pues va va a ir

cambiando + 5 Okay Qué valor toma la

función cuando x vale 1 aquí le ponemos

1 1 * 3 3 + 5 es un 8 o aquí le ponemos

el 8 y luego para 1.5 1.5 * 3 da 3 45 +

5

9.5 y luego 1.9 eh Bueno aquí está más

difícil 1.9 * 3 es 27 llevo 2 3 5.7 + 5

es

10.7 y Lu aquí 99 Pues sería 3 * 3 7

llevo 2 3 7 27 2 29 y dos sería sería

así n más básicamente es la misma nada

más que 97 aquí con tres Bueno no más se

va a recorrer va a salir esto

10.

97 okay Bueno ustedes ya lo hacen con

más calma yo lo hice

rápido Okay entonces observamos aquí que

x se va acercando a dos y el resultado o

F dex está llegando o quiere ser 11 de

hecho si se dan cuenta si sustituyes dos

aquí te da 6 + 5 da 11 Okay entonces esa

es la idea y así obtendríamos el límite

de esta función quiere llegar a ser 11

Okay entonces no es 11 quiere llegar a

ser 11 y básicamente Este es el concepto

de de Límite simplemente ya más adelante

explicaremos otros métodos para no tener

que hacer esta tabla si ustedes en

cualquier función hicieran esta tabla

analizándolo el límite no se tienen que

aprender ningún eh procedimiento

algebraico nada obviamente pues está más

difícil hacer todo esto pero con esto

sale Y obviamente también pueden hacer

el análisis de esta función para una x

que se acerque como aquí me acerqué si

ustedes ven la recta numérica Aquí está

el dos yo tomé valores desde el uno y me

fui acercando por acá Así que fui

tomando valores eh por por la izquierda

del dos pero también puedo tomar valores

por la derecha y hacer la tabla y

también debe tender a 11 el límite puedo

tomar empezar con el 3 y Lu 2.5 y lo 2.1

2.001 y llenar la misma tabla no se que

da lo mismo lo analizan por la izquierda

por la derecha Debe llegar al mismo

Límite