What's a Tensor?

Summary

El guía de estudiantes de Dan Fleisch explica sencillamente qué son los tensores usando objetos del hogar y evita ecuaciones matemáticas. Comienza con una revisión sobre vectores, que representan cantidades con magnitud y dirección, y luego avanza a tensores, que son miembros de una clase más amplia de objetos. Utiliza el sistema de coordenadas cartesiano y los vectores unitarios para demostrar cómo se encuentran los componentes de un vector. Luego, se adentra en tensores de rango superior, mostrando la importancia de los componentes y vectores base en la representación de fuerzas internas en sólidos y cómo los tensores son consistentes para todos los observadores, independientemente de su marco de referencia.

Takeaways

• 📚 El objetivo del video es explicar qué es un tensor sin usar ecuaciones matemáticas complejas.
• 🧭 Los tensores son una clase más amplia de objetos que incluyen a los vectores, que representan cantidades con magnitud y dirección.
• 📏 Los vectores también pueden representar áreas, donde la longitud del vector es proporcional al tamaño del área y la dirección es perpendicular a la superficie.
• 📈 Para entender tensores, es fundamental comprender los componentes de vectores y los vectores base, que son esenciales en un sistema de coordenadas.
• 📐 Los vectores base, o 'unit vectors', tienen una longitud de uno y apuntan en la dirección de los ejes de coordenadas.
• 🔍 Los componentes de un vector se pueden encontrar proyectando el vector sobre los ejes de coordenadas y observando las sombras que se forman.
• 📏 Los componentes de un vector se representan como una suma de vectores base, lo cual es una forma de entender cómo se compone el vector en el espacio.
• 🔢 Los tensores de rango superior, como los tensores de rango dos, tienen múltiples componentes y conjuntos de vectores base, lo que permite representar fuerzas en diferentes direcciones y superficies dentro de un objeto sólido.
• 📚 Los tensores son poderosos porque la combinación de componentes y vectores base permanece constante para todos los observadores, independientemente del marco de referencia utilizado.
• 🌐 La transformación de los vectores base y los componentes entre diferentes marcos de referencia es tal que la representación tensorial es invariante.
• 🌟 Lillian Lieber consideró a los tensores como 'los hechos del universo' debido a su capacidad de describir fenómenos físicos de manera universal e invariante.

Q & A

¿Qué es un tensor según el guía de estudiantes de Dan Fleisch?

Según Dan Fleisch, un tensor es un objeto que forma parte de una clase más amplia que incluye a los vectores y que puede representar cantidades con magnitud y dirección, o incluso áreas, entre otros.

¿Cómo se relaciona un vector con una flecha?

Un vector se representa como una flecha, donde la longitud de la flecha está proporcional a la magnitud de la cantidad y la orientación de la flecha indica la dirección de la misma.

¿Cómo puede un vector representar un área?

Un vector puede representar un área haciendo que la longitud de la flecha sea proporcional al tamaño del área y orientando la flecha perpendicularmente a la superficie.

¿Qué son los vectores de base o vectores unidad en un sistema de coordenadas cartesiano?

Los vectores de base, también conocidos como vectores unidad, son vectores de longitud uno que apuntan en la dirección de los ejes de coordenadas, como x, y y z.

¿Cómo se encuentran los componentes de un vector?

Los componentes de un vector se encuentran proyectando el vector sobre los ejes de coordenadas y determinando su longitud en cada dirección, o calculando cuántos vectores de base son necesarios para describir al vector.

¿Qué es un tensor de rango dos y cómo se representa?

Un tensor de rango dos tiene nueve componentes y nueve conjuntos de dos vectores de base, cada componente tiene dos índices y se utiliza para representar cantidades que varían en dos direcciones diferentes, como fuerzas en diferentes superficies de un objeto sólido.

¿Qué es un tensor de rango tres y cuántas componentes tiene?

Un tensor de rango tres tiene 27 componentes, cada una relacionada con un conjunto de tres vectores de base, y cada componente tiene tres índices, lo que lo hace útil para describir interacciones complejas en tres dimensiones.

¿Por qué los tensores son poderosos según el script?

Los tensores son poderosos porque la combinación de componentes y vectores de base se mantiene constante para todos los observadores en diferentes marcos de referencia, lo que permite una representación objetiva de las 'hechos del universo'.

¿Qué es un tensor de rango cero y cómo se relaciona con los escalares?

Un tensor de rango cero es un tensor que no tiene indicadores direccionales, es decir, no necesita índices, y se relaciona con los escalares, que son cantidades que no tienen dirección asociada.

¿Cómo se representan visualmente los componentes de un vector en el plano (x,y)?

Se pueden representar visualmente proyectando el vector sobre los ejes x e y para encontrar sus componentes correspondientes, o utilizando la suma de vectores de base correspondientes a las coordenadas del vector.

¿Qué es la transformación de vectores de base entre diferentes marcos de referencia y por qué es importante para los tensores?

La transformación de vectores de base entre diferentes marcos de referencia es cómo los vectores de base cambian cuando se observa un sistema desde un marco de referencia diferente. Es importante para los tensores porque, a pesar de que los vectores de base pueden cambiar, la combinación de componentes y vectores de base se mantiene constante, lo que preserva la información física.

Outlines

00:00

😀 Introducción a Vectores y Tensores

Dan Fleisch presenta su guía para estudiantes sobre vectores y tensores, con el objetivo de explicar qué es un tensor en 12 minutos utilizando objetos caseros. Empieza asegurándose de que el espectador comprenda vectores como flechas con magnitud y dirección. Luego, introduce la idea de que vectores pueden representar áreas, y pasa a explicar vectores en términos de componentes y vectores base en un sistema de coordenadas cartesiano.

05:03

📚 Componentes de Vectores y Vectores Base

Se profundiza en cómo encontrar los componentes de un vector proyectando sobre los ejes x e y, utilizando una lámpara para simular la proyección. Se visualiza el vector como una suma de vectores base, representando la magnitud y dirección en términos de múltiplos de vectores base en las direcciones x e y. Además, se introduce el concepto de tensores de rango uno, donde se utilizan un índice por componente, asociado a un vector base.

10:06

🔍 Tensores de Mayor Rango y su Representación

Fleisch explora tensores de rango dos y tres, mostrando cómo se representan con múltiples componentes y vectores base. Expone que los tensores de rango dos son útiles para describir fuerzas internas en sólidos, mientras que los de rango tres podrían representar interacciones más complejas. Finalmente, destaca la potencia de los tensores al ser invariantes ante transformaciones de referencial, lo que permite a todos los observadores estar de acuerdo con la combinación de componentes y vectores base.

Keywords

💡Tensor

Un tensor es un objeto matemático que generaliza la noción de vector, incorporando información adicional como la dirección y el tamaño de un objeto en espacios multidimensionales. Relacionado con el tema principal del video, se usa para describir magnitudes físicas con múltiples componentes, como fuerzas en sólidos. Ejemplos en el guion incluyen la representación de tensores de rango dos y tres.

💡Vector

Un vector es una entidad que tiene tanto magnitud como dirección, representado comúnmente por una flecha. En el video, se relaciona con el concepto de tensores al ser considerado un 'tensor de rango uno', y se ejemplifica con fuerzas y campos magnéticos.

💡Magnitude

La magnitud es la escala o tamaño de un vector, representada por la longitud de la flecha en el caso de un vector. Es un aspecto clave en el video para entender cómo los vectores y tensores representan cantidades físicas.

💡Dirección

La dirección indica la orientación de un vector o tensor en el espacio. Es fundamental en el video para entender cómo los objetos como fuerzas o campos se orientan en diferentes direcciones.

💡Componentes de vector

Los componentes de un vector son las proyecciones de este en las direcciones de los ejes de un sistema de coordenadas. En el video, se explica cómo se encuentran proyectando un vector en los ejes x e y y se relaciona con la representación de vectores en términos de tensores.

💡Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas es una forma de describir la posición de un punto en el espacio utilizando números. En el guion, se utiliza un sistema Cartesiano para explicar cómo se encuentran los componentes de un vector.

💡Basis vector

Los vectores base, o vectores unitarios, son vectores de longitud uno que señalan en la dirección de los ejes de un sistema de coordenadas. En el video, se relacionan con la forma en que se expresan los vectores en términos de sus componentes.

💡Tensor de rango dos

Un tensor de rango dos tiene componentes que se relacionan con dos vectores base, lo que permite describir magnitudes físicas más complejas, como fuerzas en superficies dentro de un sólido. El guion lo ejemplifica con la representación de fuerzas internas en un objeto.

💡Tensor de rango tres

Un tensor de rango tres se compone de componentes que se relacionan con tres vectores base, lo que permite describir relaciones aún más complejas en el espacio tridimensional. Se menciona en el guion como una extensión de los tensores de menor rango.

💡Transformación de referencia

La transformación de referencia es el proceso de cambiar la forma en que se describen las magnitudes físicas al moverse entre diferentes sistemas de coordenadas. En el video, se destaca cómo los tensores mantienen su significado para todos los observadores, independientemente de la transformación de sus vectores base.

💡Lillian Lieber

Lillian Lieber fue una matemática que describió a los tensores como 'los hechos del universo', lo que refleja su importancia en la física y la matemática. En el video, se cita para enfatizar la universalidad de los tensores en la descripción de la realidad física.

Highlights

Introduction to the concept of tensors using simple household objects.

Clarification of vectors as arrows representing quantities with magnitude and direction.

Vectors can also represent areas, with the arrow's direction perpendicular to the surface.

Explanation of vector components and basis vectors in the context of a coordinate system.

Unit vectors are defined as having a length of one in the direction of the coordinate axes.

Finding vector components by projecting the vector onto the coordinate axes.

Visualizing vector components as a sum of basis vectors.

Representing a vector using its components in an array format.

Generalizing the concept of vector components to any vector in 3D space.

Differentiating between tensors of rank one (vectors) and rank zero (scalars).

Introduction to higher-rank tensors, such as rank-two tensors with nine components.

Application of rank-two tensors to represent forces inside a solid object.

Rank-three tensors explained with 27 components and three indices each.

The power of tensors lies in their invariance across different reference frames.

Tensors are described as 'the facts of the universe' due to their universal agreement among observers.

The educational approach of using physical objects to teach abstract mathematical concepts.

The importance of understanding the transformation of basis vectors and components in tensor representation.

Transcripts

Hi. I'm Dan Fleisch. When people hear that the subject of my new students guide is

vectors and tensors, a reasonably high percentage of them have the same

question:

What's a tensor? My goal for this video is to take about 12 minutes to answer

that question, not using a bunch of mathematical equations, but instead some

simple household objects including children's blocks, small arrows, a couple of

pieces of cardboard, and a pointed stick.

I think the very best route to understanding tensors is to begin by

making sure that you're solid on your understanding of vectors.

If you've taken any college-level physics or engineering,

you probably think of a vector is something like this: an arrow

representing a quantity that has both magnitude and direction,

where the length of the arrow is proportional to the magnitude of the

quantity and the orientation of the arrow tells you the direction of the

quantity.

This could represent the force of gravity on an object, or the strength and

direction of the Earth's magnetic field, or the velocity of a particle in a

flowing fluid. But vectors can represent other things as well, such as an area.

How does a vector represent area? It's pretty straightforward:

you simply make the length of the vector proportional to the amount of the area

(the number of square meters in the area) and then you make the direction of the

arrow perpendicular to the surface.

So in that way this can represent an area as well. So vectors can represent

lots of things. But if you want to take the step beyond thinking of vectors

representing quantities with magnitude and direction, to understanding that

vectors are members of a wider class of object called tensors, then you have to

make sure you understand

vector components and basis vectors.

If you're even going to think about the components of a vector, you better get

yourself one of these.

This represents a coordinate system - in this case I picked the

simplest one with the x-axis the y-axis and z-axis all meeting at right angles.

This represents the Cartesian coordinate system, and the thing to remember about

coordinate systems is they come along with coordinate basis vectors.

You probably ran into these as "unit vectors" and the thing to remember about

these little guys is they have a length of one. One what? One of whatever the units are

that you're going to express the length of your vector in. The direction of the

basis vectors or unit vectors is in the direction of the coordinate axes, so this

might represent the unit vector in the x direction that's often called "x" with a

little hat over it or sometimes "i-hat".

That's the x-hat unit vector - it points in the direction of increasing x

coordinate.

Likewise the y-hat (sometimes called the "j-hat") unit vector points in the direction

of increasing y, and the z-hat or "k-hat" unit vector points in the direction of

increasing z.

Once you have the coordinate system and the unit vectors in place, now you're in

a position to find the components of your vector.

How exactly do you do that? I think it's easiest to understand how to find vector

components if you begin with a vector in the (x,y) plane, so i'm going to lay this

vector in the (x,y) plane at some angle to the x-axis. In order to find the x-

component,

I'm going to project this vector onto the x-axis. In order to find the y-

component,

I'm going to project this vector onto the y-axis. And how am I going to do

those projections?

Here's one way: I've darkened the room because I want to use this lamp to

project the vector onto the x- and y- axes.

First I'm gonna shine the light perpendicular to the x-axis (that is

parallel to the y-axis) and look for the shadow of the vector on the x-

axis. That will be the x-component of this vector. As you can see the shadow of

the vector on the x-axis ends right here. This is the x-component of this vector.

If I make the vector have a greater angle to the x-axis, notice the shadow

moves this way - the x-component is getting smaller. And if I make the vector

lie entirely along the x-axis, then the shadow and the vector are the same

length -

the x-component is the length of the vector in that case.

Now I've got my lights shining perpendicular to the y-axis (that is

parallel to the x-axis) and the shadow cast by the vector onto the y-axis gives

me the y-component of the vector. Notice that as I increase the angle to the

x-axis and decrease the angle to the y- axis, the y-component is getting

bigger.

Another way of visualizing vector components is to ask yourself: "To get

from the base of the vector to the tip of the vector,

how far do I have to go in the x- direction and how far do I have to go in

the y-direction?"

In other words how many x-hat (or i-hat) unit vectors and how many y-hat (or j-hat)

unit vectors

would it take to get from the base to the tip of this vector?

I can show you this if I get rid of these axes and just line up some x-hat

basis vectors

(these are going to go in the x-direction obviously),

and some y-hat basis vectors.

So in other words this vector is made up of about four x-hat plus three y-hat.

That means that instead of drawing an arrow for this vector you could simply

say four of these, plus three of these. And if you want to be complete (since

there's no z-component of this vector), zero of these. That is the same as this.

In other words, this is a perfectly valid representation of that vector, and of

course if you know the basis vectors,

you wouldn't even have to put these on, would you? You could simply use these

components as your vector. You could write him in a little array.

You could even stack them up, and

put a nice set of parentheses around them.

This looks just like the way you see column vectors written.

Of course these three components pertain only to the vector we had lying on the

table a minute ago. To generalize this to vector capital A, for example, we can

replace these components with A sub x, and A sub y, and A sub z. Of course, A sub x is the

component that pertains to the x-hat basis vector, A sub y pertains to the y-

hat basis vector, and A sub z pertains to the z-hat basis vector.

Notice that we need one index for each of these, because there's only one

directional indicator (that is one basis vector) per component.

This is what makes vectors "tensors of rank one" - one index, or one basis vector per

component.

By the same token, scalars can be considered to be tensors of rank zero,

because scalars have no directional indicators,

therefore need no indices. Those are tensors of rank zero.

I'll see in a minute why it's so powerful to represent tensors as this

combination of components and basis vectors, but first I want to show you

some examples of higher-rank tensors. This is a representation of a rank-two

tensor in three-dimensional space.

Notice that instead of having three components and three basis vectors, we

now have nine components and nine sets of two basis vectors.

Notice also that the components no longer have a single index,

they have two indices. Why might you need such a representation?

Consider for example the forces inside a solid object. Inside that object you can

imagine surfaces whose area vectors point in the x- or in the y- or in the z-direction.

And on each of those types of surface, there might be a force that has a

component in the x- or in the y- or in the z-direction. So to fully characterize all

the possible forces on all the possible surfaces, you need nine components, each

with two indices referring to basis vectors.

So for example A sub xx might refer to the x-directed force on a surface whose

area vector is in the x-direction, A sub yx might refer to the x-directed force

on a surface whose area vector is in the y- direction, and so forth.

This combination of nine components and nine sets of two basis vectors makes

this a rank-two

tensor. This is a representation of a rank-three tensor in three-dimensional

space:

27 components each pertaining to one of 27 sets of three basis vectors. I'll zoom in a

little bit here so you can see the components better.

Notice that now each component has three indices: A sub xxx pertains to three x basis

vectors, A sub xyx pertains to two x and one y basis vector, and so forth.

This entire front

slab has x as the third index and pertains to these nine sets the basis

vectors. The middle slab all has y as the third index and pertains to these

nine, and the back slab all has z as the third index and pertains to those nine.

So in three-dimensional space

27 components, 27 sets of three basis vectors, and three indices on each

component.

You may be wondering what is it about the combination of components and basis

vectors that makes tensors so powerful.

The answer is this all observers, in all reference frames, agree. Not on the basis

vectors, not on the compliments, but on the combination of components and basis

vectors.

The reason for that is that the basis vectors transform one way between

reference frames, and the components transform in just such a way so as to

keep the combination of components and basis vectors the same for all observers.

It was this characteristic of tensors that caused Lillian Lieber to call tensors

"the facts of the universe".

Thanks very much for your time.

(Subtitles bei Majestik Moose)