Pullback
Summary
TLDRこのビデオスクリプトでは、カテゴリー理論における「プルバック」という概念が詳しく説明されています。スクリプトは、オブジェクト間の関係を表すダイアグラムを通じて、プルバックの定義とその性質を解明します。さらに、さまざまな条件の下でプルバックがどのように働くかを例を用いて説明しており、そのユニバーサル性質と重要な役割を強調しています。
Takeaways
- 📚 カテゴリーとオブジェクトの関係性について解説している。
- 🔍 プロワクという概念を紹介し、オブジェクト間の関係を図式で説明している。
- 📐 プルバックというカテゴリーの性質を説明しており、特定の条件を満たす必要があると強調している。
- 👉 プルバックの定義をユニバーサルプロパティと関連付け、図式を通じて理解を深めている。
- 🌐 プルバックの図式は、四角形で表現されることが多く、インデックスカテゴリーとして定義されている。
- 🔄 プルバックの性質を説明する際に、特定の変数(X, Y, Zなど)の役割と影響について詳述している。
- 🔑 プルバックの条件が特定の変数(SX=TYなど)を満たすことを要求している。
- 📈 プルバックのパターンが多岐にわたるが、そのいくつかを具体的に例示している。
- 📝 プルバックの理解を深めるために、様々な条件や変数を組み合わせた例を提供している。
- 🔗 プルバックの概念がカテゴリー理論において重要な役割を果たしていると示唆している。
Q & A
「プルバック」という言葉の定義は何ですか?
-「プルバック」とは、カテゴリー論において、ある図式が特定の条件を満たすかどうかを表す概念です。具体的な条件は、あるオブジェクトから別のオブジェクトへの写像が存在し、それによって特定のユニバーサルプロパティを満たすことです。
カテゴリーにおける「オブジェクト」と「写像」とは何を指しますか?
-カテゴリー論において「オブジェクト」とは、扱っている数学的対象を指し、「写像」とはオブジェクト同士を繋ぐ関係を表すものです。オブジェクトは車、写像は道路のようなものと考えることができます。
「インデックスカテゴリー」とはどのようなものですか?
-「インデックスカテゴリー」は、カテゴリー論における一種の構造で、特定のオブジェクトからなる集合を表現するために用いられます。このカテゴリーは、オブジェクト間の関係をより具体的な形で表すことができます。
「プロダクト」というカテゴリー論の用語はどのような意味を持ちますか?
-「プロダクト」は、カテゴリー論で2つのカテゴリーを結びつける構造を指します。オブジェクトの組と写像の組を新しいカテゴリーにまとめることで、元の2つのカテゴリーの情報を一つのカテゴリーに反映させることができます。
「ユニバーサルプロパティ」とは何を表しますか?
-「ユニバーサルプロパティ」は、カテゴリー論で特定の図式が持つ一意性を持つ性質を指します。例えば、ある図式がユニークである場合、その図式を満たす写像は一意に定まることがあります。
「プルバック図式」とはどのような図式を表しますか?
-「プルバック図式」は、特定のオブジェクトと写像が存在する場合に、それらが満たす特定の関係を表す図式です。この図式は、数学的な証明や構造の理解に重要な役割を果たします。
「フルバック」と「プルバック」の違いは何ですか?
-「フルバック」は、ある写像が他の写像によって完全に取り込まれる場合に用いられる用語で、「プルバック」とは、特定の条件を満たすオブジェクトと写像の関係を表す用語です。前者は写像の包含関係を示し、後者は特定の図式の性質を示します。
「カテゴリー向き」とは何を意味していますか?
-「カテゴリー向き」とは、カテゴリー論の視点から数学的構造を分析することを指します。このアプローチでは、対象や関係がカテゴリーの観点からどのように捉えられるかが重要になります。
「エクアライザー」とは何を表しますか?
-「エクアライザー」は、カテゴリー論で2つの写像が等しいという性質を表す用語です。特定のオブジェクトに対する2つの写像が同じ結果をもたらす場合、それらはエクアライザーと呼ばれます。
カテゴリー論における「部分集合」とはどのような概念ですか?
-「部分集合」は、ある集合の全てまたは一部の要素を含む集合を指します。カテゴリー論では、オブジェクトの関係を部分集合として捉えることで、より抽象的な概念を表現することができます。
Outlines
😀 カテゴリー理論におけるプルバックの基本
この段落では、カテゴリー理論における「プルバック」という概念が紹介されています。プルバックは、特定の性質を持つ図式を表します。この性質は、ユニバーサルプロパティと呼ばれ、特定の図式が他の図式とどのように関連するかを定義します。具体例として、車(オブジェクト)とその関係(モルフ)を表す図式が用いられ、プルバックがどのように機能するかが説明されています。また、インデックスカテゴリーとその定義方法についても触れられています。
😉 プルバックの条件と例
2つ目の段落では、プルバックを決定する条件と、その条件を満たす例が説明されています。特定の集合が1つの要素しか持たない場合のプルバック図式が考慮され、その際の条件がSX=TYという形で表されます。この条件は、XとYの要素がどのように関連するかを定義しており、その関係性に基づいてプルバックが形成されます。また、Z=アスタ(1要素のみを持つ集合)の場合とY=スター(任意の集合)の場合のプルバックの様子についても説明されています。
🎓 プルバックの様々なパターン
3つ目の段落では、プルバックの様々なパターンが紹介されています。XとYがZの部分集合である場合の条件を満たすXYのペアが考慮され、そのようなペアがどのようにプルバックを形成するかが説明されています。さらに、XまたはYがスター(任意の集合)になる場合のプルバックの性質についても触れられており、それらの条件がどのように影響を与えるかが詳細に説明されています。
📚 プルバックの概念の応用とまとめ
最後の段落では、プルバックの概念がどのように応用され、カテゴリー理論において重要な役割を果たすかが議論されています。オブジェクトとモルフのみで構成される図式から、より複雑なカテゴリーを作成する際にプルバックがどのように役立つかが説明されています。また、このセクションでは、インクルードやエクアライザーなどの他のカテゴリー理論の概念も参照されており、それらの概念がどのように関連しているかが示されています。
Mindmap
Keywords
💡プロワク
💡カテゴリー
💡プルバック
💡オブジェクト
💡プロダクト
💡インデックスカテゴリー
💡ユニバーサルプロパティ
💡ノード
💡同形
💡部分集合
Highlights
カテゴリー向きとパート2のリミットに関する議論が行われ、プルバックの話を開始しました。
プロワクテーションの定義とその性質について解説し、ユニバーサルプロパティとの関係を説明。
オブジェクト車を用いたダイアグラムの解説で、x, y, zの3つのオブジェクトとそれらを結ぶS, Tの関係が明らかに。
プルバックの定義とその条件を解説し、AからF1, F2というオブジェクトがある場合のユニークな性質を説明。
インデックスカテゴリーの説明と、その構成要素について詳しく解説。
プルバック図式の解説で、XYのペアとZの役割、そしてSX=TYという条件の重要性が強調。
プルバックのパターンの多様性と、それらの例を今後紹介する旨のコメント。
手合わせでのプルバックの考え方と、P1, P2の役割を解説。
XYのペアからなる要素のペアと、SX=TY条件が重要なポイントとなっていることを示す。
Zの要素が1つの集合の場合のプルバックの解説と、その条件を示す。
Y=スターのケースでのプルバックの条件と、その結果を解説。
Xがスターになった場合のプルバックの解説と、その条件の詳細。
XYがZの部分集合である場合のフルバックの解説と、その条件。
X=Yという条件が共通部分を意味し、その結果として同形性についての解説。
プロパの解説で、プロダクトの一種としてのイメージを提供。
コップルバックとプシュアウトの説明と、それらの関連性についてのコメント。
次回のセッションでリミットやコミットの詳細を紹介する旨のコメント。
Transcripts
カテゴリー向きとパート2のリミットとコ
リミットでその3回目です今日はプル
バックの話をしようと思いますで最初に
プロワクってのはどういうものか専を見て
みましょうでAをカテゴリーとしてあの次
のようなAのオブジェクト車を考えます
これはxとyとZの3つのオブジェクトと
XからZへの者SとYからZへの
Tからなっていますでこのダイヤグラムの
プルバックっていうのはあの車P1pから
TXの車とP2PからYの車を伴ったあの
こういうもののPのところのプロバックな
んですねただこれはあの次のような性質を
持たなければなりませんでこの性質のはま
今まで見てきたユニバーサルプロパティ
やつなんですけどもあのもう少しあのこの
図にダイヤグラム測してどういうススか見
てみようと思いますでLにこういうような
全ての価これXYZSTはそのままなん
ですがあのそれに対してAからF1f2と
いう車があった時にで次のモズが果敢と
なるようなユニークな車Fが存在これそう
いうやつですねAがあのどんなあのどんな
Aでもこの図式が果敢となるようなFが
ユニークに存在するというのがあのプル
バックの定義になりますでこれはだから
あのコンは見え見て取れると思いますが
プロバはそのココンというかインデックス
カテゴリーで定義するとこういう
インデックスカテゴリーですねあの3つの
濃度からなってるんですがあのある濃度
からあの1つの濃度に2つの濃度から
あの車があるでこれあれですねこうあの縦
に縦と横に書いてますけれども真ん中の1
つのあの濃度に対して左右から車が入って
くると水辺に帰っても同じことですねまだ
けどプルバックは大体この四角系あの
スクエアで書くのが多いんでこういう
インデックスにしてますけれどもこの
インデックスはあのインデクスの
カテゴリーIからAに対する
あのファクターIからAのファクターが
あってこういうダイアグラムでこの
ダイアグラムのリミットがプロダクトだと
いうあごめんなさいこれプロダクトこれは
あのプルバックですね後で資料を直して
プルワックが
あのの定義になりますでまこれをこう
いう図式があってまダイヤグラムで言うと
あのこう
いうあのノードからこういう
あのダイヤグラムができるわけですこれ
ここの部分ですね
でこれに対してまXYだけに車が降りてく
んでここだけが問題になるんですけれども
まZも役割果たすんですがZがどういう風
に効くかまた後の例で話すこれがだから
コオFってやつですねでここの部分に
ユニバーサルコーンオバFってのがあって
でそこで決まるあのPがプルバックという
ことになりますでプルバックは実は
いろんなパターンがて
でそのいくつかは見ていきたいという風に
思いますで実はこのプルバックのは
プロダクトに近いんですよで手合でのプル
バックを考えるですけれどもこのP1p2
をあの社屋だと考えます要するにP1は
あのXYのペアからXを取り出しP2は
XYのペアからYを取り出すそういうと
考えると
この図式っていうのはあのXYのペアから
でただしSXがTXの等しくなるもので
こういうのを考えるとこれがあのプル
バック図式を満たすことが分かると思い
ますだからそういう意味ではこのXかxと
yのプロダクトの部分集合なんですねどう
いう意味で部分
かっていうとZ上でSX=TYっという
条件を満たす全てのXYのペアと考えれば
よくてまこれもだからえかるのプロダクト
なんだけれどもあのプロダクトそのもの
じゃないんででそここは実はZが効いて
くるんですけれどもあのZ上であのこの
条件がSX=TYっ条件はZの上で泣い
たってるわけですけれどもそのことを表す
という意味だと思いますけれどもその
かけるの下にあの添字でZをつけてあり
ますでまだからプルパックっていうけ基本
的にはxyxとyの
プロダクトの部分集合だというのは1つの
イメージ持ってもらえればいいといますで
ここで青いで書いてあるこれは実はあの
ずっとこの条件を使ってこれがだから
先ほどのあの果敢になるっていう条件に
なるわけですけもこれをずっと使っていき
たいと思いますでこれからやるのは
あのブルパックにいろんなパターンがあ
るって言ってるんですけれども
あのまず最初にあの1つの要素しか持た
ない集合でそれをアリスクで表すんです
ですけも例えばZが
この1つの要素しか持たない集合の場合の
プルバでこういう図式ですねこれを考えて
みようということをします
でそうすると先ほどのこの式のがあのプル
バックを決める集合としてのプルバックを
決めるんですけどもで基本的にはxとyの
プロダクト要するにxとyのペアからなる
要素のペアからがなるものなんですが
ただし条件があってSXDYが成り立た
なきゃいけないただしこの場合にはSX=
TYっていうのは
あの向かう先が要素を1つしか持たない
わけでXのどんな要素を選んでもSによっ
てそれはその1つの要素に移されますYに
ついて同じですねYの全ての要素がTに
よって1つの要素に移されるんでこれ全部
クラッシュしちゃうんですねあの全部あの
Xがどんな要素を持っていても1つの要素
になるしYがどんな要素を持っていても1
つの要素にクラッシュしてしまいますだ
からZ=アスタあのZ=スタの場合って
いうのは
このどんなXあの小文字のX文字のYだ
あろうとあのこの条件は満たされますねて
あのどXがどんなにあのあの変化したとし
てもYがどんなに変化したとしても全の
ところで全部絞り込まれてあの1つの
あの要素を持つ集合に移されるわけなんで
これはだからあの全てのXの時て成り立つ
ことになりますだからZ=スーの場合には
X下スターのYってのは全てのXYの組
すなわちX下Yに一致することになります
だからまほとんどあのあの
直積プロダクトだって言ったんですがこれ
はZ=スターの場合を考えるとはっきりし
てZ=スタの場合のプルバックを考える
とこの図式のプルバックはあのxとyの
プロダクトに一致することになり
ますでもう少し
そ1つの要素スターのはあの実はとても
色々強力なんでまそれはそうですよね1つ
のあの要素しか持たない集合への謝って
いうのはあの全部いろんなものを全部捨て
たって
あの全部同じものになっちゃうわけです
からねで今度はY=スターの場合を考えて
みましょうこのYをスターすると
このま左側のとこはXかあのスタただしZ
によるんだという意味であのスジがついて
ますでP1はそのままXこれプロあのあの
プロジェクションなんでXがその
まま映りますけれどもP2の方はあの
スターがそのままのあのスターがここもだ
からあのあれです
ねあのYがスってのはそういう意味ですね
でこの場合のあの条件プルバックはこう
いう条件あの式になりますねでこれはxは
あのスターはXとスターの
積のペア違う違うXとこれはXとスターの
あの
の要素としてスモールXスタンがあるで
それは正し条件があってこれは全部縮退し
てしまってあのSXの方しか残らないです
SXがあのXの要素であるスモXに対して
SXがZの要素であるZに対応小文字のZ
に対応するということですねこれは
ほとんどあの同形になってその1つの要素
をくっつけても
同じほとんど同じなんでこれはあの集合の
条件としてはスモールXがXに
属するでその条件はSX=Zになるという
ことになりますね
でこうなるとちょっとこの条件はもう
ちょっと詳しく見てみましょうこの集合は
SによってあるZの要素Zに作動されるX
の全の要素を含むだこのプルバックはあの
Zの要素Zに写像されるXの全ての用それ
は要するにこれFの元ってこれsですねS
の元でのあのZのプライメージ原像になり
ますでそうしたものをあのファイバと言う
んですけれども絵で書くとこういう感じ
ですねXからZへのSがあって
でただ
今はSX=Zになるxの集合ですからあの
集合はxの中にできますこれはだからSを
このあのZになるようなあのSを働かせる
とZになるようなあのXの集合を全部選ん
だものこれはxの部分集合ですねでこう
いうのを5と言いますだからXをあの
スタート置いた場合には
でこれはプルバックはあの5S-1
zということにりますじゃあ
あのY
がスターの場合を見たんですがxがスター
になったらどうなるかっていうとそれは
あれですねあのTのプレイメージになる
だけですねこれとほとんど理屈は
同じ
ですで最後にもう1つあのこれはあの
スターが出てこないんですけれどもXYX
がXY共にZの文集語
で
これあのXからZのSってのはこれ実は
そのあの方眼関係を表すシで要するにXの
要子は全て
あのZの分集合なんででXの要素は全て
あのZの中に含まれて
るってことですねでYについても同じです
あのTってのは実は同じものを同じものに
移してるZの中の同じものに移してるだけ
だと考えていいですだのフルバックのあの
集合はこういう形でXYのペアなんですが
SX=TYという式で表されますこれはだ
からSXTYってのはあのXとYが等し
いってことになりますねこれあの
あの
あの単射単射ま説明してないか
あのこれはだからあのXとYが等しくなる
ということですねでそうするとあのこの
プルバックはX=Yであ全てのXYを含ん
でいますでこのことはX=Yっていうのは
xの要素であると同時にYの要素でもある
ということを意味して
ますんだってX=Yっていうのがあの両方
で出てくるわけですから
でX=Yってのははxの要素でありかつY
の要素でもなきゃいけないでこれはだから
あれですね共通部分ですねXとYに共通に
含まれる部分がこのペアとして残るだから
これはだからこれも
あの集合してイコールていうも
アモルフィ同同形なんですけれどもXとY
の
なるということになりますちょっと重症的
だったかもしれませんがプロパのはだから
あのプロダクトの一種だっイメージが最初
にあってあのもらえばいいと思うんですが
ただそれから実はあの色々
あの変化するということですね今はその
オブジェクトだけいじりましたけれどもあ
最後のやつはシをいじってるんだね
インクルードに書いてるんだねでえそう
いうのでまたいろんなバリエーションが
あるんですけどもそれはまたあのそれぞれ
の機会にあの考えてもらえばいいと思い
ますブルバックもそのまXとYからあのま
XYZから新しいあのカテゴリーってか
作る上ではとても大事なりを果たすもの
ですねでいずれもそのユニバーサル
プロパティによって
あの特徴付けられるという点ではあの共通
な
性質に意してるでしかもこれこの場合は
あの全部リミットですねあこうリミット
あのコミットの場合書くの忘れちゃった
でフルバックのあの相通はコップルバック
とプシュアウトって言うんですよまそれは
またあの別な機会全部まとめてやりますん
であのその時にまたお話ししたらという
できたらという風に思っていますで時間
セッションはイコアライザーていう
あのリミットですねこれもリミットで定義
できるんですけどもでそれの相通がこ
エクアライザーって言んですけれどもその
話を次回しようという風に思います
5.0 / 5 (0 votes)