Ejemplo de espacio vectorial con producto interno: Rn
Summary
TLDREl guion ofrece una introducción al concepto de espacio vectorial con producto interno, enfocándose en el espacio R^n. Se describe cómo el producto interno habitual de R^n, conocido comúnmente como el producto escalar o punto, se calcula multiplicando y sumando los componentes correspondientes de dos vectores. El script verifica las propiedades fundamentales que definen un producto interno, como la no negativdad del producto de un vector consigo mismo y la distributividad con respecto a la suma de vectores, confirmando que R^n cumple con estas propiedades, y es por tanto un espacio vectorial con producto interno.
Takeaways
- 📚 La definición de espacio vectorial con producto interno se discute en el ejemplo de R^n, que es un espacio vectorial con un producto interno particular.
- 📐 El producto interno en R^n, conocido comúnmente como producto escalar o punto, se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores.
- 🔍 Se verifica si el producto escalar en R^n cumple con las propiedades de un producto interno, como ser una función que toma dos vectores y devuelve un escalar real.
- 👉 El primer vector aplicado a sí mismo en el producto interno siempre resulta en un valor no negativo, cumpliendo con la primera propiedad.
- 🚫 El producto interno de un vector consigo mismo es cero si, y solo si, el vector es nulo, lo que verifica la segunda propiedad.
- ➕ La propiedad de distributividad del producto interno se verifica, mostrando que el producto de un vector con la suma de otros vectores es igual a la suma de los productos individuales.
- 🔁 La simetría del producto interno se demuestra, donde el producto de un vector con otro es igual al producto de este último con el primero, sin considerar el conjugado complejo debido a que se trabaja con números reales.
- 🆗 La propiedad de factorización del escalar fuera del producto interno se verifica, donde un escalar multiplicando un vector puede ser extraído del producto interno.
- 🤔 Aunque no se detalla en el script, se sugiere la necesidad de verificar la propiedad de que el producto interno de un vector por un escalar y luego con otro vector es igual a la multiplicación del escalar con el producto de los dos vectores.
- 📉 El script establece que R^n, con el producto escalar como producto interno, cumple con todas las propiedades necesarias para ser considerado un espacio vectorial con producto interno.
Q & A
¿Qué es un espacio vectorial con producto interno?
-Un espacio vectorial con producto interno es un espacio en el cual se define una operación bilinear, simétrica y con valores escalares que toma dos vectores y devuelve un número real, usualmente conocido como producto escalar o producto punto.
¿Por qué es importante verificar que el producto interno cumple con ciertas propiedades?
-Es importante verificar las propiedades del producto interno para asegurar que cumple con las definiciones y axiomas que lo hacen un producto interno válido, permitiendo operaciones y conceptos matemáticos como la longitud de un vector y la ortogonalidad.
¿Cuál es el primer ejemplo dado en el guion de un espacio vectorial con producto interno?
-El primer ejemplo dado es el espacio R^n, donde R representa el cuerpo de los números reales y n es un entero que indica la dimensión del espacio.
¿Cómo se define el producto interno habitual de R^n en el guion?
-El producto interno habitual de R^n se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores, es decir, el primer componente del primer vector multiplicado por el primer componente del segundo vector, y así sucesivamente para cada componente.
¿Cuál es la primera propiedad que debe cumplir el producto interno de un vector consigo mismo?
-La primera propiedad es que el producto interno de un vector consigo mismo debe ser siempre mayor o igual que 0.
¿Qué implica la segunda propiedad del producto interno de un vector consigo mismo?
-La segunda propiedad implica que el producto interno de un vector consigo mismo es cero si y solo si el vector es el vector nulo.
¿Cómo se verifica la tercera propiedad del producto interno en el guion?
-Se verifica la tercera propiedad al demostrar que el producto interno de un vector con la suma de otros vectores es igual al producto interno del primer vector con cada uno de los otros vectores sumados individualmente.
¿Cuál es la quinta propiedad del producto interno que se verifica en el guion?
-La quinta propiedad verificada es que el producto interno de un vector con otro vector es igual al producto interno del segundo vector con el primero, manteniendo el orden de los factores.
¿Cómo se verifica la sexta propiedad del producto interno en el guion?
-La sexta propiedad se verifica al demostrar que el producto interno de un vector con un escalar multiplicado por otro vector es igual a escalar multiplicado por el producto interno de los dos vectores originales.
¿Qué se demuestra con la séptima propiedad del producto interno?
-La séptima propiedad demuestra que si se toma un escalar y se multiplica un vector en la segunda posición, se puede extraer el escalar del producto interno, pero tomando su conjugado complejo, lo cual en el caso de R^n no es necesario ya que estamos en el cuerpo de los reales.
Outlines
📚 Introducción al Espacio Vectorial con Producto Interno
El primer párrafo introduce el concepto de espacio vectorial con producto interno, tomando como ejemplo el espacio R^n. Se describe cómo el producto interno habitual de R^n, también conocido como producto escalar o punto, es definido a través de la multiplicación y suma de los componentes correspondientes de dos vectores. Además, se establece que este producto interno debe cumplir con ciertas propiedades para ser válido, como ser una función que toma dos vectores y devuelve un escalar real.
🔍 Verificación de las Propiedades del Producto Interno
Este párrafo se enfoca en verificar si el producto escalar de R^n cumple con las propiedades necesarias para ser considerado un producto interno. Se discuten las propiedades de no negatividad del producto de un vector consigo mismo, la condición de cero para el vector nulo, y la distributividad del producto interno con respecto a la suma de vectores. Se utiliza un vector w y un escalar alfa para demostrar que la suma de productos internos es igual a la suma de los productos internos individuales.
📐 Comprobación de la Simetría y Linealidad del Producto Interno
El tercer párrafo continúa con la verificación de las propiedades del producto interno, incluyendo la simetría del producto interno (propiedad 5) y la linealidad del producto interno con respecto a la multiplicación por un escalar (propiedad 6 y 7). Se muestra que el producto interno de un vector con otro es igual al producto interno del segundo con el primero, y que el producto interno es compatible con la multiplicación de un vector por un escalar, así como con el cambio de orden de los factores dentro del producto interno.
🎯 Conclusión sobre la Validez del Producto Interno en R^n
El último párrafo concluye que R^n es un espacio vectorial con producto interno, ya que se ha demostrado que el producto escalar satisface todas las propiedades requeridas. Se resalta que el producto escalar que se ha utilizado para la demostración es el más común y usual en R^n, y se sugiere que los espectadores ya estarían familiarizados con él, posiblemente por experiencias previas en R^2 o R^3.
Mindmap
Keywords
💡Espacio vectorial
💡Producto interno
💡Producto escalar
💡Componentes de un vector
💡Vector nulo
💡Propiedades del producto interno
💡Escalar
💡Distributividad
💡Simetría
💡Linealidad
💡Conjugado complejo
Highlights
Definición de espacio interior con producto interno como un primer ejemplo.
Rn es un espacio de tutorial con producto interno.
Producto interno usual de Rn es el producto escalar o producto punto.
Explicación del producto escalar en R^n como la suma de productos de componentes correspondientes.
Verificación de que el producto escalar cumple con las propiedades de un producto interno.
La función producto interno toma dos vectores y devuelve un escalar real.
La primera propiedad verificada es que el producto de un vector consigo mismo es mayor o igual que 0.
La segunda propiedad verificada es que el producto de un vector consigo mismo es cero si y solo si el vector es nulo.
La tercera propiedad verificada es la distributividad del producto interno sobre la suma de vectores.
La quinta propiedad verificada es la simetría del producto interno.
La sexta propiedad verificada es la linealidad del producto interno con respecto a un escalar.
La séptima propiedad verificada es la linealidad del producto interno con respecto a un escalar, considerando el conjugado complejo, que en Rn es trivial.
Rn se confirma como un espacio vectorial con producto interno, cumpliendo con todas las propiedades necesarias.
Importancia del producto escalar en Rn como el producto interno habitual.
La demostración detallada de las propiedades del producto interno en Rn es crucial para entender sus aplicaciones.
El producto interno permite medir ángulos y longitudes en espacios vectoriales.
La verificación de las propiedades del producto interno es un proceso educativo para comprender mejor los conceptos matemáticos.
Transcripts
ahora que ya tenemos la definición de
espacio interior con producto interno
les propongo a modo de un primer ejemplo
ver que rn es un espacio de tutorial con
producto interno y en particular el
producto interno que les quiero mostrar
hoy si bien no es el único que podemos
definir en rn más adelante que sabe a
nosotros es sí el que se toma como
producto interno habitual o usual de red
y de hecho ya lo conocerán seguramente
porque se trata del producto escalar o
producto punto que muy posiblemente
hayan calculado en r2 r3 así que
recordemos un poco cómo era esa función
supongamos que tenemos dos vectores de
rn llamemos
el rector de componentes 123 etcétera
hasta su pene y un vector v de
componentes ocurre sub 11 sub 23 el
centro hasta v sub
el producto escalar siquiera vamos a
llamar producto interno habitual de rn
se define de la siguiente forma producto
interno habitual de con v
se trata de multiplicar primera
componente de 1
con la primera componente de v
y sumarle el producto de las segundas
componentes según
dv que multiplica la segunda componente
de v y así sucesivamente le sumamos el
producto de la tercera componente del
primer vector con la tercera componente
del segundo vector y así hasta llegar a
un sub n que multiplica
n si este es el producto el producto
escalar o el producto interno habitual
de r
multiplicado componente componente y
suma de esos productos
así que yo les digo entonces que esta
función es el producto interno habitual
de rn pero vamos a probar si vamos a
verificar que efectivamente es un
producto interno
y eso lo vamos a hacer lentamente
recordando la definición que habíamos
dado y verificar que cumpla con todo lo
que nos decía esa definición y lo
primero que tendríamos que hacer es
observar que efectivamente sea una
función que nos toma dos elementos de
nuestro espacio vectorial en este caso
es crm y nos devuelve un escalar que
puede ser real o complejo pero en este
caso que estamos en el cuerpo de los
reales este deberá ser una escala real y
efectivamente esta es una función que
nos toma dos vectores de rn y nos
devuelve una escalar real si esta suma
de productos nos da una escala real de
ahí que se llamaba le solemos llamar
producto escalar
pues toma dos vectores en esta la red
así que
digo esto porque si supongamos que nos
da una función y nos preguntan si es un
producto interno quizás nos veamos
tentados a intentar verificar las
propiedades cuando quizá es obvio que
esa función no es un producto interno
supongamos que tenemos una función que
nos toma dos vectores y nos devuelve
otro vector ya había priori podríamos
decir que esta función no puede ser un
producto interno y supongamos también
que en lugar de tomar los dos vectores
nos toma solo un vector y me vuelve un
escalar por ejemplo o nos toma tres
vectores o cuatro etcétera ya a priori
podemos decir bueno esta función no
puede ser el producto interno de ningún
espacio de material y no tenemos que
empezar a verificar propiedades ni nada
por el estilo así que bien
no es observado esto si empezamos a
verificar los propiedades y para eso voy
a necesitar un tercer vector
llamémosle www3 etcétera hasta w sube y
un escalar alfa que pertenece a los
reales y una escala real
así que empecemos primera propiedad la
primera propiedad nos decía que el
producto interno de un vector consigo
mismo debía ser siempre mayor o igual
que 0
el juve pudo haber elegido otro
importante que sea de un vector
funciones y ahora queremos ver que esta
función si es si le aplicamos esta
función a un vector consigo mismo que
efectivamente resulte que siempre sea
mayor luego etc así que veamos cómo nos
quedaría si le aplicamos esta función a
un vector canciones sería el primer
componente del primer vector teníamos un
1 o la primer componente del segundo
vector también sería hoy sub una
revisión el mismo vector y eso pasaría
este
con todos los términos sería v sube 2
que multiplicados 23 multiplica
3 y así sucesivamente hasta u s n que
multiplica a eso
esto lo podemos escribir como v es un 1
al cuadrado más v sub 22 al cuadrado más
v sub 3 al cuadrado y así sucesivamente
hasta v sub n al cuadrado
así que veamos algo tenemos aquí
escalares reales que están elevados al
cuadrado
estamos una re n así que estás
componentes este son son números reales
son escalares reales así que
tenemos
escaleras reales y llevados al cuadrado
con lo que cada uno de estos términos no
podrá ser negativo
de forma que tenemos una suma de
términos que no pueden ser negativos así
que esto nos dará algo mayor o igual que
0
así que verificamos la primera propiedad
y también de aquí podemos sacar esta
desigualdad podemos sacar la segunda
propiedad la segunda nos decía que el
producto interno de un vector consigo
mismo sólo podría ser cero cuando se
tratara del vector nulo si producto
interno si lo mismo es cero si y sólo si
el vector es el vector nulo
y eso lo podemos ver aquí la única forma
de que esta suma de términos que no
pueden ser negativos sea cero es que
cada uno de estos términos sea cero y
eso sólo puede pasar si cada componente
de lector v/s es decir si el vector v es
el vector nulo de rn así que ya tenemos
verificada en realidad 1 y la 2
hagamos espacio y seguimos
vamos ahora con la propiedad número 3 la
cual nos decía que el producto interno
de por ejemplo un vector o con una suma
de vectores en este caso hubo más w era
igual al producto interno de o con v
más producto interno veo con doble
así que vamos a ver ahora si aplicándole
nuestra función la que dijimos que era
el fruto interno habitual de rn
aplicando a este par de vectores y vamos
a ver cómo nos queda y si cumple esta
propiedad así que sería primer
componente de o seríamos 1 que
multiplica a la primer componente en el
segundo vector que en este caso nuestro
segundo vector es una suma de vectores
así que nos quedaría v 1 + w sub
a esto le sumamos
el producto de las segundas componentes
que sería un sus dos que multiplica
dos más w 2 y así sucesivamente hasta
tener un sub n que multiplica a v sub n
más w sub x
bien ahora vamos a hacer distributiva
quedaría uno que multiplica a uno más
uno que multiplica aw11 más usados que
multiplica a un mes o dos más absurdos
que multiplica a en w
zurdos y así
sucesivamente hasta un sub n que
multiplica
n más uso n que multiplica a w sub
y ahora vamos a ordenar un poco estos
términos vamos a agrupar por ejemplo lo
que tiene componente de vtv que sería
este término este término y hasta llegar
a este término lo que nos quedaría por
ejemplo
uno que multiplicado es uno más un suv
dos multiplicado de sus dos y así hasta
llegar a uso n que multiplica a hueso
y ahora le sumamos si los términos que
nos quedan los que tienen componentes de
eeuu y de w que serían este este y así
hasta llegar a su m que multiplica w su
n
uno a uno más
2
y así hasta llegar a uso n que
multiplica a w
efe
y ahora veamos que la suma que tenemos
dentro de este paréntesis es
precisamente el producto interno de v
con v y esta suma es precisamente
producto interno de o con doble
así que esto lo podemos escribir como
interno de un color más producto interno
de eeuu con w
y es precisamente lo que queríamos
verificar
y nos decía que bueno es similar pero
ahora la suma de vectores la teníamos en
la primera posición por ejemplo y más v
producto interno con doble y nos decía
que esto debía ser igual al producto
inter dv con w más producto interno de v
con doble
y en el procedimiento para verificar
esta propiedad es análoga a la anterior
así que no vale la pena hacerlo de nuevo
y simplemente voy a dar como verificar
bien vamos con las 5 entonces
vamos con la propiedad 5 que nos decía
que el producto interno de un vector con
un vector v era igual a producto interno
de un sector v con el vector 1 es decir
conjuntada pero tomándonos el conjugado
complejo en este caso como estamos en en
rn si estamos en el cuerpo de los reales
esta barra de con jugadora la vamos a
obviar sí ya que el conjugado un número
real es ese propio número real
así que vamos a verificar esto entonces
tenemos un producto interno de un mentor
un conductor v ya lo vimos era un 1 x 1
2 x 2 más sus 3 multiplicas obesos 3
etcétera hasta un sub n que multiplica a
v su gente
bien que tenemos tenemos productos de
escalares reales podemos contar si
podemos cambiar el orden de estos
factores y podemos escribir obesos uno
que multiplica a uno más
v sube dos y multiplica a dos zurdos más
en v sub 3 que multiplica a un sub tres
y así hasta v psuv n que multiplica a un
súper es y esto así expresado es
exactamente producto interno de v
así que propiedad número 5 verifica
vamos con las seis las seis nos decían
en que por ejemplo si teníamos un
escalar alfa que habíamos definido al
principio este un alza que es un real
multiplicando el lector de la primera
posición por ejemplo un producto interno
con v podríamos sacar este alfa es que
escalar para fuera del producto interno
igual a alfa que multiplica el producto
interno de o con
efe
vamos a ver si esto se cumple
sería de la siguiente forma si el primer
componente del primero héctor sería alfa
por un sub 1 que multiplica la primera
componente del segundo rector lo
multiplicamos hace unos componentes
sería falso por 2 que multiplicados b
sub 2 así sucesivamente sería alfa 13
que multiplica a un 3 etc
hasta alfa que multiplica a un sub n iv
a v
este alfa ahora lo podemos sacar de
factor común y escribir alfa que
multiplica
111 más un sub 21 sub 20 hasta un sub n
que multiplica a eso
n
en esta suma que tenemos dentro del
paréntesis es producto interno de bo con
v así que podemos escribir como alfa que
multiplica al producto interno de un
cono y eso éste con eso estamos
verificando la propiedad en número 6
vamos con la número 7 que nos decía
en que si teníamos el escalar alfa
multiplicando al vector que se
encontraba en la segunda posición por
ejemplo producto interno de v con alfa
que estaba multiplicando a v
podríamos también sacar el escalar para
afuera pero tomándonos el con jugador
complejo sí es decir nos quedaría el
conjugado de alfa que multiplica al
producto interno de o con
efe
como ya dijimos estamos en el cuerpo de
los números reales así que esta barra de
conjugado podemos obviarla y bueno el
proceso el procedimiento para verificar
estas propiedades perfectamente análogo
a ai que hicimos este anteriormente así
que no vale la pena volver a hacerlo y
le voy a dar como verificada
en bien con esto entonces verificamos
que rn es un espacio electoral con
proyecto interno ya que pudimos allí
encontrar al menos una función que que
es un producto interno sí que cumple con
la definición del producto interno así
que podemos decir que rm es un espacio
editorial con producto interno y que en
particular esa función
que estábamos en el plantilla que era el
producto escalar que ya conocíamos
y efectivamente un producto interno de r
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