SUBESPACIOS Vectoriales | 2 Ejercicios RESUELTOS

Summary

En este video, el presentador explora el concepto de espacios vectoriales, comenzando con la definición básica de un espacio vectorial y sus propiedades. A través de ejercicios prácticos, se profundiza en el concepto de subespacios vectoriales, verificando sus propiedades a través de ejemplos concretos como matrices y vectores en R3. Se muestra cómo determinar si un conjunto dado forma un subespacio, abordando condiciones como la existencia del cero, la cerradura bajo la suma y la multiplicación por escalares. Además, se resuelve un ejercicio sobre vectores ortogonales, explicando la relación entre el espacio y el vector normal. Un enfoque claro y accesible para aprender sobre espacios vectoriales.

Takeaways

• 😀 Un espacio vectorial es un conjunto no vacío con una suma y un producto por escalares, definido sobre un cuerpo como los números racionales, reales o complejos.
• 😀 Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que cumple tres propiedades: incluye el cero, es cerrado bajo la suma y cerrado bajo la multiplicación por escalares.
• 😀 Para verificar si un conjunto es un subespacio vectorial, se debe comprobar que el vector cero pertenece al conjunto, que la suma de dos elementos en el conjunto pertenece al conjunto, y que la multiplicación por un escalar de un elemento del conjunto también pertenece al conjunto.
• 😀 La suma de los elementos de la diagonal de una matriz es su traza. Si la traza de una matriz es 0, se cumple una condición importante en ciertos problemas.
• 😀 El ejercicio sobre las matrices de tamaño n por n con traza cero demuestra cómo verificar si un conjunto de matrices es un subespacio vectorial aplicando las tres propiedades clave.
• 😀 La traza de una matriz es la suma de los elementos en la diagonal principal de la matriz.
• 😀 Si tenemos un conjunto de matrices cuya traza es 0, este conjunto cumple las tres propiedades para ser considerado un subespacio de las matrices n por n.
• 😀 En el caso de los vectores ortogonales a un vector fijo en R3, el conjunto de vectores que son ortogonales a un vector fijo forma un plano que pasa por el origen.
• 😀 Para que el conjunto de vectores ortogonales a un vector fijo en R3 sea un subespacio, la constante involucrada en el producto escalar debe ser igual a 0.
• 😀 El conjunto de todos los vectores ortogonales a un vector dado en R3 forma un plano con el vector fijo como su vector normal.
• 😀 Para concluir, se realizó una serie de ejercicios prácticos que demuestran cómo aplicar las definiciones y propiedades de los espacios y subespacios vectoriales en problemas específicos.

Q & A

¿Qué es un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío con dos operaciones: la suma de elementos y la multiplicación por un escalar, donde el escalar pertenece a un campo (como los números racionales, reales o complejos).

¿Qué caracteriza a un subespacio vectorial?

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que cumple tres condiciones: contiene al vector cero, es cerrado bajo la suma de elementos y es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

¿Cómo se verifica que un subconjunto sea un subespacio vectorial?

Para verificar que un subconjunto es un subespacio, hay que comprobar que cumple tres propiedades: que el vector cero pertenece al subconjunto, que es cerrado bajo la suma y que es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

¿Qué es el traza de una matriz?

La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz. Por ejemplo, en una matriz 2x2, la traza sería la suma de los elementos a11 y a22.

¿Cómo sabemos que la matriz cero pertenece al conjunto de matrices con traza cero?

La matriz cero tiene todos sus elementos iguales a cero, por lo que la suma de los elementos de su diagonal (es decir, su traza) es igual a cero, cumpliendo así la condición de pertenecer al conjunto de matrices con traza cero.

¿Qué sucede cuando sumamos dos matrices con traza cero?

La traza de la suma de dos matrices con traza cero también es cero, ya que la traza de la suma es la suma de las trazas individuales de las matrices. Por lo tanto, la suma de dos matrices con traza cero sigue teniendo traza cero.

¿Cómo se verifica que el producto de una matriz con un escalar tenga traza cero?

Cuando multiplicamos una matriz por un escalar, cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar, incluidos los elementos de la diagonal. Esto implica que la traza del producto será igual al escalar multiplicado por la traza de la matriz original. Si la traza de la matriz es cero, el producto también tendrá traza cero.

¿Qué condición debe cumplir el parámetro d para que un conjunto sea un subespacio en R3?

El parámetro d debe ser igual a cero para que el conjunto sea un subespacio en R3. Si d no es cero, el conjunto no será un subespacio vectorial, ya que no pasaría las propiedades de cierre bajo la suma y la multiplicación por escalares.

¿Qué significa que un conjunto de vectores sea ortogonal a un vector fijo?

Un conjunto de vectores es ortogonal a un vector fijo si el producto escalar entre cada uno de los vectores del conjunto y el vector fijo es cero. Esto implica que todos los vectores del conjunto están en un plano que pasa por el origen y cuya normal es el vector fijo.

¿Qué tipo de geometría describe el conjunto de vectores ortogonales a un vector fijo en R3?

El conjunto de vectores ortogonales a un vector fijo en R3 describe un plano que pasa por el origen y cuya normal es el vector fijo. Este plano es un subespacio vectorial de R3.