Comment calculer une intégrale en effectuant un changement de variables?
Summary
TLDRCette vidéo éducative explique en détail comment réaliser un changement de variables dans une intégrale. Elle débute par le théorème de changement de variables, suivi par trois exemples concrets pour illustrer la procédure. Le premier exemple aborde l'intégration de \(2\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})\) entre 1 et 4, en utilisant la fonction \(\sqrt{x}\). Le deuxième exemple montre comment intégrer \(e^t\) entre 0 et 1 en posant \(x = e^t\). Le troisième exemple traite de l'intégrale de \(\sqrt{1 - t^2}\) entre -1 et 1, avec \(x = \sin(t)\). La vidéo met l'accent sur la compréhension du changement de variables et sur la recherche d'une approche géométrique pour interpréter les résultats intégraux.
Takeaways
- 📚 Le script d'une vidéo sur le changement de variables dans une intégrale est analysé.
- 📐 Le théorème du changement de variables est expliqué, permettant de simplifier des intégrales complexes.
- 🔍 L'objectif est de remplacer une fonction complexe par une plus simple dont la primitive est facile à calculer.
- 📈 Trois exemples sont donnés pour illustrer l'application du théorème du changement de variables.
- 🧩 Le premier exemple traite de l'intégration de \( \sqrt{1 - x^2} \) sur un intervalle, en utilisant le changement de variables \( \theta = \arcsin(x) \).
- 📉 Le deuxième exemple montre comment intégrer \( e^t \) en utilisant \( x = e^t \) et simplifie l'expression en une fraction rationnelle.
- 📊 Le troisième exemple calcule l'intégrale de \( \sqrt{1 - t^2} \) avec \( x = \sin(t) \), ce qui conduit à une intégrale de puissance de \( \cos(x) \).
- 🎯 L'importance de la notation physique est soulignée pour exprimer l'élément différentiel en fonction des variables nouvelles et anciennes.
- 📝 L'exemple de l'intégrale de \( \sqrt{1 - x^2} \) est expliqué en détail, montrant les étapes pour simplifier et calculer la primitive.
- 📚 Il est mentionné que les intégrales de forme \( \int \frac{1}{x} dx \) et \( \int \frac{1}{x^2 + 1} dx \) ont des primitives élémentaires.
- 🤔 L'interprétation géométrique de l'intégrale de \( \sqrt{1 - x^2} \) est invitée à être explorée par les spectateurs dans les commentaires.
- 🔚 La vidéo se conclut en espérant que les spectateurs ont appris à effectuer un changement de variables dans une intégrale.
Q & A
Quel est le sujet principal de cette vidéo ?
-La vidéo traite du changement de variables dans une intégrale, en se basant sur le théorème du changement de variables.
Quel est le théorème utilisé pour effectuer un changement de variables dans une intégrale ?
-Le théorème utilisé est le théorème du changement de variables, qui permet de transformer une intégrale complexe en une intégrale plus simple.
Quel est le but général du changement de variables dans une intégrale ?
-Le but est de remplacer une fonction complexe dont la primitive n'est pas évidente par une fonction plus simple dont on peut calculer la primitive.
Combien d'exemples sont donnés dans la vidéo pour illustrer l'application du théorème du changement de variables ?
-Trois exemples sont donnés pour montrer comment appliquer le théorème du changement de variables.
Dans le premier exemple, quelle fonction est choisie pour le changement de variables ?
-Dans le premier exemple, la fonction choisie pour le changement de variables est \( \sqrt{t} \), avec \( t = x^2 \).
Comment les bornes de l'intégrale sont-elles modifiées après le changement de variables dans le premier exemple ?
-Dans le premier exemple, les bornes de l'intégrale sont modifiées en passant de l'intervalle [1, 4] pour \( t \) à l'intervalle [1, 2] pour \( x \) après le changement de variables.
Quel est le deuxième exemple abordé dans la vidéo pour le changement de variables ?
-Le deuxième exemple traite de l'intégrale de \( 2t \) sur un \( e^t \) sur l'intervalle [0, 1], en posant \( x = e^t \).
Quelle est la différence entre le calcul de l'élément différentiel \( dt \) et \( dx \) dans le deuxième exemple ?
-Dans le deuxième exemple, l'élément différentiel \( dt \) est transformé en \( dx \) en utilisant la relation \( dt = \frac{dx}{e^x} \) après le changement de variables.
Quel est le troisième exemple de changement de variables présenté dans la vidéo ?
-Le troisième exemple concerne l'intégrale de \( \sqrt{1 - t^2} \) sur l'intervalle [-1, 1], en posant \( x = \sin(t) \).
Comment la géométrie est-elle liée à l'intégrale de la forme \( \int \sqrt{1 - t^2} \, dt \) ?
-La géométrie est liée à cette intégrale car elle représente la longueur d'un arc de cercle, et la vidéo invite les spectateurs à réfléchir à cette interprétation géométrique.
Quel est le résultat final de l'intégrale du troisième exemple après le changement de variables ?
-Le résultat final de l'intégrale du troisième exemple est \( \frac{\pi}{2} \) après avoir effectué le changement de variables et calculé la primitive.
Comment la notation 'physicienne' est-elle utilisée dans la vidéo pour faciliter le calcul intégral ?
-La notation 'physicienne' est utilisée pour exprimer l'élément différentiel \( dt \) en fonction de l'ancienne variable en utilisant l'élément différentiel \( dx \) de la nouvelle variable, ce qui facilite le calcul intégral.
Outlines
📚 Introduction au changement de variables en intégrale
La première partie du script introduit le concept de changement de variables dans les intégrales, en se basant sur le théorème du changement de variables. Il est expliqué qu'il s'agit d'une technique permettant de simplifier le calcul d'intégrales complexes en les transformant en des formes plus accessibles. Le script présente les conditions nécessaires pour l'application de cette méthode, à savoir que la fonction 'f' doit être continue et dérivable sur un intervalle donné, et que la fonction de changement de variables doit être de classe C1. L'objectif est de remplacer une fonction complexe dont la primitive n'est pas évidente par une fonction plus simple dont on peut calculer la primitive.
📘 Exemple 1 : Intégrale avec racine de thé
Dans le premier exemple, le script détaille le calcul d'une intégrale complexe où la fonction à intégrer présente une racine de thé dans le numérateur et le dénominateur. Le changement de variables proposé est de définir 'u' comme étant égal à la racine de thé, ce qui permet de simplifier considérablement l'expression. Après avoir défini la nouvelle variable et sa dérivée, le script montre comment appliquer le théorème du changement de variables pour réécrire l'intégrale d'origine en une nouvelle intégrale plus simple, qui est ensuite résolue en utilisant des méthodes standard de calcul de primitives.
📙 Exemple 2 : Intégrale avec exponentielle
Le deuxième exemple aborde le calcul d'une intégrale impliquant une fonction exponentielle. Le changement de variables choisi est de définir 'x' comme étant égal à l'exponentielle de 't', ce qui permet de remplacer 'dt' par 'dx/ex'. Le script explique comment dériver cette nouvelle variable par rapport à 't' et comment exprimer 'dt' en fonction de 'dx'. Suite à cela, il est montré comment les bornes de l'intégrale d'origine évoluent avec le changement de variables et comment résoudre l'intégrale transformée en utilisant des techniques de calcul de primitives pour des fractions rationnelles.
📒 Exemple 3 : Intégrale avec sinus et cosinus
Le troisième exemple traite d'une intégrale contenant des fonctions sinus et cosinus, où le changement de variables est réalisé dans le sens inverse par rapport aux deux exemples précédents, en exprimant l'ancienne variable 't' en fonction de la nouvelle variable 'x'. Le script montre comment calculer la dérivée de la nouvelle variable par rapport à l'ancienne et comment exprimer 'dt' en fonction de 'dx'. Il est également expliqué comment les bornes de l'intégrale sont affectées par le changement de variables. Finalement, le script résout l'intégrale transformée en utilisant des techniques de trigonométrie et de calcul de primitives pour des fonctions de puissance de sinus.
Mindmap
Keywords
💡Changement de variables
💡Théorème du changement de variables
💡Fonction continue
💡Intégrale
💡Fonction de classe C1
💡Primitive
💡Exponentielle
💡Racine de thé
💡Physicien
💡Sinus
Highlights
Introduction au changement de variables dans une intégrale en utilisant le théorème du changement de variables.
Condition de continuité de la fonction f et de sa dérivée pour l'application du théorème.
Transformation de l'intégrale en une forme plus simple en remplaçant une fonction complexe par une plus simple dont on connaît la primitive.
Premier exemple : Calcul d'une intégrale avec racine de t en utilisant le changement de variables.
Explication de la motivation derrière le choix de la fonction de substitution et de la simplification du numérateur et du dénominateur.
Démonstration de la simplification de l'intégrale en éliminant le radical et en appliquant le théorème.
Calcul de primitives pour résoudre l'intégrale transformée.
Remarque sur la pratique courante de l'écriture de la fonction intégrée sous forme f(x) après changement de variables.
Utilisation de la notation à la physicienne pour exprimer l'élément différentiel en fonction des variables nouvelles et anciennes.
Second exemple : Calcul d'une intégrale avec exponentielle en changeant de variables.
Détermination de la dérivée de la nouvelle variable et expression de l'élément différentiel en fonction de la variable de départ.
Transformation de l'intégrale et adaptation des bornes d'intégration après le changement de variables.
Recherche d'une primitive pour résoudre l'intégrale rationnelle obtenue.
Troisième exemple : Calcul d'une intégrale avec une fonction sinusoïdale en changeant de variables.
Explication de la réciprocité du changement de variables et de l'expression de l'ancienne variable en fonction de la nouvelle.
Détermination de la dérivée de la variable de substitution et expression de l'élément différentiel.
Transformation de l'intégrale et simplification de la racine carrée en utilisant les propriétés trigonométriques.
Calcul de la primitive de la fonction composée de puissances de sinus et cosinus.
Interprétation géométrique de l'intégrale finale et invitation à la réflexion pour les spectateurs.
Transcripts
dans cette vidéo on va apprendre à
réaliser un changement de variables dans
une intégrale
le théorème du changement de variables
dans les synthés grade à l'énoncé
suivant
on considère y un intervalle et filles
en fonction de classe c1 surpris on
considère aussi f une fonction qui est
continu sur fit de lui
alors pour tous les réels a et b de lit
on à l'intégrale entre filles 2 1 et
fille de b2f 2 x 2 x qui est égal à
l'intégrale entre a et b de f2 fille de
tes filles prime de thé d'été ici on
reconnaît la dérivée de la fonction est
franc fille
le but de ce terrain est assez simple en
général pour ramener une pur calcul
d'une intégrale on se ramène à un calcul
de primitives
et ce qu'on veut faire et si basse et
remplacer une fonction compliqué dont
une primitive ne saute pas aux yeux par
une fonction plus simples dont on sera
calculé une prime et y
on va voir sur trois exemples comment
appliquer ce théorème
premier exemple on va calculer une
intégrale entre 1 et 4 2 1 - racing noté
sur racine de thé d'été
alors là ce qui saute aux yeux c'est le
racing de thé qui apparaît à la fois
numérateur et le dénominateur
et c'est ça qui nous oriente vers le
changement de variables fille de tes
égale racing de thé on va donc poser
fille de tes gars la racine de tête
c'est bien définis sur l'intervalle 1,4
de sorte que fit prime de thé à dériver
ce soit un sur deux racines de thé alors
ça c'est important ici parce que voyez
il ya un sur racine de thé qui apparaît
au dénominateur
et ça ça nous motive aussi apposé f 2 x
égal 1 - dicks
de sorte qu'en fait un moins racines de
télé / racines de thé
ces deux fois
f2 racines de tf2 fidélité x fi prime de
thé si je fais bien de f2 fille de tes
fille premio tbhc bien deux fois 1 -
racines de thé
x 1 sur 2 racing tele2 s'élimine
égyptiens exactement un mois racing de
thé sur racine de tout est donc là je
suis exactement dans les conditions
d'application du théorème du changement
de variables
en écrivant intégral entre 1 et 4 2 1 -
racines de thé sur un signe de tête
était égale deux fois intégré entre 1 et
4 de f2 fils de défi prime de ttt je
peux encore dire que ça c'est égal à 2
fois l'intégrale entre 1 et 2 1 parce
que ça c'est fille de 1 et 2 parce que
ses filles de 4 f 2 x dx c'est
exactement le terrain du
changement de parias que j'appliquais
c'est à dire que ces deux fois
l'intégrale entre 1 1 et 2 2 1 - 1 x 2 x
est là maintenant cherche une intégrale
fonction polynomiale entre 1 et 2 de
calcul de primitives et facile ça fait
deux fois la fonction x - x2 sur deux
prix entre 1 et 2 et quelques lits si
c'est pas ça qui nous intéresse dans
cette vidéo le calcul donne finalement
morin
alors il se trouve qu'en fait la
présentation que j'ai adopté là c'est
jamais celle qu'on fait en pratique
alors pourquoi si jamais celle qu'on
peut en pratique parce que souvent c'est
assez difficile là ça marche bien
c'était un exemple facile mais c'est
assez difficile d'écrire directement la
fonction qu'on cherche à intégrer sous
la forme f2 fille de tes filles prime de
ttt et on va plutôt faire
une notation à la physicienne
alors qu'est ce que ça signifie en
pratique on va toujours calculer cette
intégrale ici intégral entre 1 et 4 2 1
- racines de thé sur racine de thé d'été
et on va toujours utiliser le changement
de variables fille de tes gars la racine
de thé donc on va utiliser que la
fonction t as aussi racines d'hôtels de
classe et un sur 1,4 à valeur dans 1 2
mais on va directement posée x égale
racines de thé
on va d égalité et on va la dérive est
justement à la physicienne en écrivant
que des x et un sur deux racines de tdt
rendement ici on devrait dire x 2 t et
gala racines de thé en dérivant devrait
dire exprime de thé égale un sur deux
racines de thé d'été
mais les physiciens ne serait pas
exprime de t il notre aide et x sur tt
et c'est ce qu'on fait ici m'ont écrit
dx égale un sur deux racines de thé
d'été
l'intérêt de cette notation c'est de
pouvoir exprimer l'élément différentiel
d'été avec l'ancien variable en fonction
d'éléments différentiel dx avec la
nouvelle variable donc je vais écrire
que dtc deux racines de t&d x
soit encore puisque racing de tcx d'été
gall 2 x 2 x
et maintenant je vais j'ai remplacé tout
ça
parce que je vais en fonction de x donc
je vais écrire que 1 - racines de thé
sur racine de ttt je vais en place le
racing de thé pareil qui ça fait 1 - vix
sur x le dt je le remplace par 2 x 10 x
et je le remplace donc tous finalement
je dis que tout ça c'était calade deux
facteurs de 1 - 1 x 2 x
pour appliquer le thème du changement
variable je dois encore regarder comment
les bornes évolué mais si tu est égale 1
x égal 1 et cité égale 4 bien x égal 2
et donc le théorème du changement
variable me dis que l'intégrale entre 1
et 4 2 1 - racines de thé sur racine de
thé d'été c'était galère intégral entre
1 et 2 j'ai changé les bornes de deux
facteurs de 1 - 1 x 2 x et je peux
calculer maintenant cette ardeur
intégral comme je les fait précédemment
voyons maintenant un deuxième exemple on
va calculer intégral entre 0 et 1 2 dt
sur un plus exponentielle t et pour ça
on va faire le changement de variables x
égale exponentielle t
on remarque la fonction t associés
exponentielle télé de classe c1 sur 0,1
donc je pose x égale exponentielle thé
et je dérive comme précédemment à la
physicienne et donc je peux écrire que
des x c'est exponentiel tdt et moi je
veux exprimer d'été en promotion de dx
donc ça fait d'été égale dx sur
exponentielle t mais comme je peux
remplacer exponentielle t par exient
safed était égal dx sur aix
et finalement d'été sur un plus
exponentielle t eh bien ça fait des x
sur aix et sûrement pas cet été par des
geeks freaks et je remplace ensuite un
point c'est exponentiel t par un peu
geeks et donc d'été sur un plus
exponentielle et ça fait des x / x
factor 2 1 + 6
je fais attention maintenant aux bornes
et bien citer égal zéro x c'est
exponentiel 2 0 ça fait un tel site est
égale 1 x exponentielle 2 1 ça fait eux
et donc le tram de changement de
variables me dis que intégral entre 0 et
1 2 dt sur un plus exponentielle tc
d'intégrer d'entre 1 et eu de dx sur x x
+ 1 là vous voyez l'objectif est atteint
parce que ça a pas de primitifs qui
saute aux yeux et je me suis ramené par
contre en faisant mon changement de
variables à intégrer une fraction
rationnels comme ça et ça je sais faire
si c'est pas toujours facile je sais
faire rapidement je vais le faire mais
c'est pas le but de la vidéo au niveau
pour intégrer cette fonction pour
trouver une primitive on écrit que 1 sur
xx plus incertains sur x moins 20 sur
expulsant une égalité très facile à
vérifier
et donc intégral entre 0 et 1 2 dt sur
un peu c'est exponentiel tc intégral
entre 1 et 2 et x sur x expulsion ça
fait encore intégré entre 1 et 2 1 sur
aix - sur l'ex plus un
avec ce que la décomposition que celle
donnée dans le transparent précédent une
primitif de 1 sur x sur l'intervalle 1e
c'est l'oc ii x une primitif de 1 sur
l'ex +1 sur l'intervalle un sell-off 2 x
+ 1 et donc tout ça ça fait bloc 2 x -
look de l'x plus un prix entre 1 et eux
et donc la fonte faire un petit calcul
regardez ce que ça vaut en eux regardez
ce que ça vaut 1 c'est simplifier ici
par exemple look de 1 ça fait zéro look
2e ça fait 1 et à la fin on trouve 1 -
loeb ne veut plus un plus lors de deux
points importants ici c'est vraiment de
comprendre comment on fait des
changements de parieurs
troisième exemple on va regarder
intégrale de moins 20,1 de racines de 1
- teka red été et on va calculer cette
intégrale en faisant l'ontario a été
égale signe x
alors de remarques sur ce changement de
variables d'abord saute pas vraiment aux
yeux pas pourquoi on va introduire du
sinus comme ça
deuxième chose c'est que par rapport aux
deux autres changements de variables
qu'on a fait précédemment
eh ben ce chant arabe là il est réalisé
dans l'autre sens alors qu'est ce que je
veux dire par réalisé dans l'autre sens
c'est ici par exemple dans la première
intégrale qu'on avait calculé on avait
posé x segal racines de thé c'est à dire
qu'on avait exprimé la nouvelle variable
en fonction de l'ancien
ici paraît dans la deuxième on avait
écrit x égale exponentielle de thé donc
on vous avait aussi exprimé la nouvelle
variable en fonction de l'ancien
là en revanche on écrite est égal s'ils
nous x donc on exprime l'ancien variable
en fonction de la nouvelle alors on
pourrait prendre la réciproque dire xd
l'arc cynisme de thé mais en fait ça va
être plus facile d'écrire le changement
par yable en écrivant comme ça en
écrivant t et galsi musique ça donne des
calculs peut être un peu moins
compliquée à mener
calculons cette intégrale en faisant ce
changement de variables t égale sinusite
alors
la fonction x à ce sit-in 6 allée de
classe c1 sur l'intervalle - pis sur 2
pi sur deux et elle vérifie que sinus de
moi un pee sur deux c'est moins un et
que si news puis sur deux ça fait 1 6
parce que je vais vouloir remplacer
l'intervalle moins 1,1 sur lequel
j'intègre par un intervalle ou la
fonction sinueuse pas de -1 donc ça va
être intervalle - puis sur 2 pi sur deux
donc je dérive ensuite
l'égalité était égal 6 j'ai posé bien
tes galsi muzzix avec tes dents moins
20,1 et x dans - puis sur 2,6 puis sur
deux et quand je dérive pas je trouve
d'été égal à dériver de sinus c'est
caussinus donc d'été al qosi du x 10 x
et donc je vais exprimer ici 1 - racing
devant - t2 d'été en fonction de x
racines 2-1 - t2 ça fait racines de 1 ou
1 sinus car ax est tt ça fait que 6 des
x et ça et c'est en fait pour sa
confession change variable ça va se
simplifier notamment on va pouvoir faire
disparaître la racine carrée
pourquoi on peut faire disparaître la
racine carrée parce que racine deux ans
- sinus carey ses racines de cause car
elles insinuent ce quart est plus que ce
caresse a fait un don qui fit si
j'obtiens racines de qu'oscar ax fois
caustique dx alors la racine de akkar s
est pas à ses valeurs absolues de a donc
là je tiens valeur absolue de cosinus x
x caussinus x
mais là je dois pas oublier que x a été
choisi dans l'intervalle - pis sur 2 pi
sur deux est donc sur cet intervalle le
cosinus est positif et je peux enlever
leur absolue et j'obtiens finalement ici
cos car ax
et donc la formule de change variable me
dis que l'intégrale entre - un lien de
racines de 1 - teka red et et c'est égal
à l'intégrer à notre - pis sur deux épis
sur deux de costard à ix et x
ici j'ai des porn - pis sur deux épis
sur deux parce que sinus 2 - pis sur
deux ça fait moins 1 et sinueuse de pi
sur deux ça fait 1
reste à calculer cette dernière intégral
alors en général pour calculer
l'intégrale d'une puissance d'un signe
soudain caussinus on linearis cette
puissance
ici je vais tout simplement utiliser la
formule de trigonométrie qu'oscar ax et
qu'elle implique aux 2 x divisé par deux
et donc j'ai l'intégrale entre -1 et un
de racines de 1 - teka red et et qui est
égal à l'intégrale entre - pis sur deux
épis sur 2 2 1/2 plus cost 2x divisé par
deux
je me suis trouvé une primitive
maintenant cette fonction une primitive
de 1,2 me bass et x sur deux une
primitif de cause 2 x c'est un demi de
signis 2x et finalement ici je dois
regarder la fonction x / de +6 2 x / 4
prises entre - pis sur deux épis sur
deux alors ans puis sur deux ça fait
puis sur de diviser par deux sa fais
pipi sur 4 signe deux fois puis sur deux
ça fait sinus pis le tout divisé par
quatre et là dans la grande parenthèse
j'ai pris la valeur de ma fonction prise
en main puis sur deux et ça simplifie en
fait parce que signifie deux pays ça
fait 0 6 nuls 2 - pis ça fait zéro ici
le pi sur quatre est le moins - puis sur
quatre s'ajoutent et j'obtiens pis sur
deux et finalement j'ai démontré que
l'intégrale entre -20 rien de racines de
1 - teka red et et c'est égal appuyé sur
deux
alors je vous invite un petit peu
réfléchira
à 7 cette formule qu'on a trouvé c'est
pas un hasard que l'intégrale entre
moyen de racines de remontée qui a
répété sa vomissure 2 il ya une
interprétation géométriques à ça
et je vous laisse écrire cette
interprétation géométriques dans les
commentaires de la vidéo
en attendant j'espère que cette vidéo
vous aura été utile pour apprendre à
réaliser un changement de variables dans
une intégrale
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