Vollständige KURVENDISKUSSION ganzrationale Funktion – Polynom, Polynomfunktion

Summary

In diesem Video wird eine vollständige Kurvendiskussion einer rationalen Funktion Schritt für Schritt durchgeführt. Beginnend mit der Bestimmung der Definitionsmenge und Nullstellen, werden alle wesentlichen Schritte wie die Untersuchung der Symmetrie, das Verhalten im Unendlichen, die Bestimmung der Extremstellen und Wendepunkte sowie die graphische Darstellung behandelt. Der Prozess umfasst auch die Berechnung von Monotonie- und Krümmungsintervallen. Die Analyse endet mit einer detaillierten Graphskizze, die auf den berechneten Werten basiert und einen umfassenden Überblick über das Verhalten der Funktion liefert.

Takeaways

• 😀 Die Definitionsmenge einer ganz rationalen Funktion umfasst alle reellen Zahlen, da keine Wurzeln oder Brüche mit x im Nenner vorhanden sind.
• 😀 Um die Nullstellen der Funktion zu finden, setzt man die Funktion gleich null und löst die einzelnen Faktoren, was bei dieser Funktion durch die Anwendung der pq-Formel und Zerlegung in Linearfaktoren geschieht.
• 😀 Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird gefunden, indem man x gleich null setzt und den Funktionswert berechnet, was zu einem Schnittpunkt bei y = -30 führt.
• 😀 Bei der Untersuchung der Symmetrie zeigt sich, dass die Funktion keine einfache Symmetrie aufweist, da die Exponenten der Terme ungerade und gerade kombiniert sind.
• 😀 Das Grenzverhalten der Funktion zeigt, dass sie für x → ∞ gegen ∞ und für x → -∞ gegen -∞ verläuft.
• 😀 Die Extremstellen werden durch die erste Ableitung bestimmt, indem man diese gleich null setzt und die Lösungen durch Anwendung der pq-Formel findet.
• 😀 Die zweite Ableitung wird verwendet, um die Art der Extremstellen zu überprüfen: Ein positiver Wert deutet auf einen Tiefpunkt hin, ein negativer Wert auf einen Hochpunkt.
• 😀 Um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, setzt man die x-Werte der Extremstellen in die ursprüngliche Funktion ein und erhält so die vollständigen Koordinaten.
• 😀 Die Wendepunkte werden durch Setzen der zweiten Ableitung gleich null gefunden. Mit der dritten Ableitung überprüft man, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.
• 😀 Die monotone Verhalten der Funktion wird anhand der Intervalle zwischen den Extrempunkten und Wendepunkten bestimmt, wobei die Funktion in bestimmten Bereichen steigt oder fällt.

Q & A

Was ist der erste Schritt in einer vollständigen Kurvendiskussion?

Der erste Schritt ist die Bestimmung der Definitionsmenge. Bei einer ganz rationalen Funktion ist die Definitionsmenge einfach die Menge der reellen Zahlen, da keine Wurzeln oder Brüche auftreten, die Einschränkungen für den Definitionsbereich mit sich bringen könnten.

Wie findet man die Nullstellen einer Funktion?

Die Nullstellen einer Funktion findet man, indem man die Funktion gleich null setzt und die Gleichung löst. Falls die Funktion als Produkt von Faktoren vorliegt, kann man die Nullstellen direkt durch Setzen jedes Faktors gleich null finden.

Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse?

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, setzt man x = 0 in die Funktion ein und berechnet den y-Wert. Bei der gegebenen Funktion ergibt sich der Schnittpunkt bei y = -30, wenn man x = 0 setzt.

Wann hat eine Funktion Symmetrie?

Eine Funktion hat Symmetrie, wenn entweder alle Exponenten der Variablen ungerade sind (Punktsymmetrie) oder alle gerade (Achsensymmetrie). Wenn die Funktion eine Mischung aus ungeraden und geraden Exponenten hat, gibt es keine einfache Symmetrie.

Was ist das Grenzverhalten einer Funktion und wie wird es bestimmt?

Das Grenzverhalten beschreibt, wie sich die Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt. Es wird bestimmt, indem man den höchsten Exponenten der Funktion betrachtet und den entsprechenden Grenzwert für x gegen ±∞ berechnet.

Wie findet man die Extrempunkte einer Funktion?

Die Extrempunkte einer Funktion findet man, indem man die erste Ableitung berechnet, sie gleich null setzt und die Lösungen nach x auflöst. Anschließend überprüft man mit der zweiten Ableitung, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Wie wird der Unterschied zwischen Hoch- und Tiefpunkten bestimmt?

Der Unterschied zwischen Hoch- und Tiefpunkten wird mit der zweiten Ableitung geprüft. Wenn die zweite Ableitung an einem Punkt positiv ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt, wenn sie negativ ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.

Was sind Wendepunkte und wie berechnet man sie?

Wendepunkte sind Stellen, an denen die Krümmung der Funktion von positiv zu negativ oder umgekehrt wechselt. Sie werden gefunden, indem man die zweite Ableitung gleich null setzt und den x-Wert löst. Um sicherzustellen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt, wird die dritte Ableitung geprüft.

Was sind die Monotonieintervalle einer Funktion?

Monotonieintervalle beschreiben die Bereiche, in denen die Funktion entweder steigt oder fällt. Diese Intervalle werden durch die Extrempunkte bestimmt, und man kann sie am Graphen ablesen, indem man die Funktion in Bezug auf die Werte der Extrempunkte analysiert.

Wie wird die Krümmung der Funktion bestimmt?

Die Krümmung der Funktion wird durch den Wendepunkt und die Bestimmung des Vorzeichens der zweiten Ableitung im jeweiligen Intervall bestimmt. Ein positiver Wert für die zweite Ableitung bedeutet, dass die Funktion eine Rechtskrümmung hat, während ein negativer Wert eine Linkskrümmung anzeigt.