Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función racional
Summary
TLDREn este video, se explica cómo encontrar las asintotas de una función racional. Se toman tres ejemplos para ilustrar los casos de asintotas verticales, horizontales y oblicuas. Las asintotas verticales ocurren cuando el denominador se anula, lo cual se determina igualando el denominador a cero. Las asintotas horizontales son posibles solo si el grado del numerador es menor o igual al del denominador, y su valor es cero si el grados son iguales o menor que el del denominador. Finalmente, las asintotas oblicuas se presentan cuando el grado del numerador es uno más que el del denominador. El video también aborda cómo resolver la división de polinomios para encontrar la asintota oblicua, que se escribe en la forma mx + b, donde m es la pendiente de la línea. El contenido es presentado de una manera clara y detallada, facilitando la comprensión de los conceptos matemáticos.
Takeaways
- 📚 Aprender a sacar las asintotas de una función racional es el objetivo del vídeo.
- 🔍 Se explicarán tres tipos de asintotas: verticales, horizontales y oblicuas.
- 🚫 No siempre se presentarán los tres tipos de asintotas en una función racional.
- 📐 Asintotas verticales ocurren cuando el denominador se anula a cero.
- 🔢 Las asintotas verticales están representadas por la ecuación x = un número real.
- ↕️ Asintotas horizontales son posibles si el grado del numerador es menor o igual al del denominador.
- 🔺 Las asintotas horizontales están representadas por la ecuación y = un número real.
- ⛔ No pueden existir asintotas horizontales y oblicuas simultáneamente debido a condiciones contradictorias.
- 🔄 Asintotas oblicuas se presentan cuando el grado del numerador es uno más que el del denominador.
- 🔁 El proceso para encontrar la asintota oblicua implica dividir el numerador entre el denominador.
- 📈 La asintota oblicua resultante tiene la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la línea.
Q & A
¿Qué son las asíntotas verticales en una función racional?
-Las asíntotas verticales son líneas que la función racional no puede cruzar. Se dan cuando el denominador de la función racional se anula, es decir, se convierte en cero.
¿Cómo se encuentran las asíntotas verticales de una función racional?
-Para encontrar las asíntotas verticales, se iguala el denominador de la función a cero y se resuelve para encontrar los valores de x que hacen que el denominador se anule.
¿Cuál es la forma general de las ecuaciones de las asíntotas verticales en una función racional?
-Las ecuaciones de las asíntotas verticales tienen la forma x = número, donde 'número' es el valor de x que hace que el denominador se anule.
¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función racional tenga asíntotas horizontales?
-Para que una función racional tenga asíntotas horizontales, el grado del numerador debe ser menor o igual al grado del denominador.
¿Cómo se encuentran las asíntotas horizontales de una función racional si el grado del numerador y del denominador son iguales?
-Si el grado del numerador y del denominador son iguales, la asintota horizontal se encuentra dividiendo los coeficientes principales de los polinomios, que son los coeficientes de los términos de mayor grado.
¿Cuál es la forma general de las ecuaciones de las asíntotas horizontales en una función racional?
-Las ecuaciones de las asíntotas horizontales tienen la forma y = número, donde 'número' es el resultado de dividir el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador.
¿Son posibles asíntotas horizontales y oblicuas al mismo tiempo en una función racional?
-No, es imposible tener asíntotas horizontales y oblicuas al mismo tiempo en una función racional, ya que las condiciones para su existencia son contradictorias.
¿Cuáles son las condiciones para que una función racional tenga asíntotas oblicuas?
-Las asíntotas oblicuas se presentan cuando el grado del numerador es exactly 1 unidad mayor que el grado del denominador.
¿Cómo se encuentra la asintota oblicua de una función racional?
-Para encontrar la asintota oblicua, se realiza la división polinomial del numerador entre el denominador, y el resultado es el cociente, que representa la ecuación de la asintota oblicua en la forma y = mx + b.
¿Por qué no todas las funciones racionales presentan los tres tipos de asíntotas?
-No todas las funciones racionales presentan los tres tipos de asíntotas porque cada tipo de asintota tiene condiciones específicas que deben cumplirse en cuanto al grado del numerador y del denominador, y no todas las funciones racionales satisfacen estas condiciones.
¿Cómo se identifica visualmente una asintota vertical en una gráfica de una función racional?
-Visualmente, las asíntotas verticales son líneas rectas que cortan el eje x en un punto específico y que la curva de la función no puede cruzar.
¿Qué sucede con la gráfica de una función racional cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador?
-Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador, la gráfica de la función racional no tiene asíntotas horizontales, pero puede tener asíntotas oblicuas.
Outlines
📚 Introducción a las funciones racionales y sus síntomas
Este primer párrafo introduce el tema del video, que es el estudio de las funciones racionales y cómo se pueden extraer sus síntomas. Se menciona que existen síntomas verticales, horizontales y oblicuos, y se aclara que no siempre se presentan los tres tipos. Se ofrece una breve explicación de las condiciones necesarias para la existencia de cada tipo de síntoma y se comienza con el análisis de los síntomas verticales, que ocurren cuando el denominador de la función racional se anula.
🔍 Hallazgo de síntomas verticales y horizontales
El segundo párrafo se enfoca en el proceso para encontrar los síntomas verticales y horizontales en funciones racionales. Se describe cómo se identifican los síntomas verticales al establecer el denominador a cero y se resuelve la ecuación resultante. Se destaca que estos síntomas son de la forma x igual a un número. Además, se aborda la búsqueda de síntomas horizontales, que ocurren cuando el grado del numerador es menor o igual al del denominador, y se explica que no siempre existen debido a que deben cumplir con ciertas condiciones.
🔢 División de polinomios y síntomas oblicuos
El tercer párrafo explora cómo se presentan los síntomas oblicuos en las funciones racionales. Se indica que estos síntomas son posibles cuando el grado del numerador es estrictamente mayor que el del denominador en una unidad. Se proporciona un ejemplo detallado de cómo se realiza la división de polinomios para encontrar la síntoma oblicua, que se presenta como una recta con pendiente, y se concluye con la importancia de recordar las formas específicas de los síntomas verticales, horizontales y oblicuos.
Mindmap
Keywords
💡Función racional
💡Asintotas verticales
💡Asintotas horizontales
💡Asintotas oblicuas
💡Grado del polinomio
💡División de polinomios
💡Cociente y residuo
💡Coeficiente principal
💡Eje x
💡Eje y
💡Numerador y denominador
Highlights
Se discuten cómo encontrar asintotas de una función racional.
Se presentan tres ejemplos de funciones racionales para ilustrar las diferentes asintotas.
Se aclara que no siempre se presentan los tres tipos de asintotas en una función racional.
Se explica que las asintotas verticales ocurren cuando el denominador es cero.
Se proporciona un enlace a un tutorial anterior para entender mejor las funciones racionales.
Se describe el proceso para encontrar asintotas verticales identificando cuándo el denominador es cero.
Se menciona que las asintotas verticales son de la forma x = un número, y siempre cortan el eje x.
Se resuelven ejemplos para encontrar asintotas verticales específicas de funciones dadas.
Se discuten las condiciones necesarias para las asintotas horizontales en una función racional.
Se indica que las asintotas horizontales son de la forma y = un número y siempre cortan el eje y.
Se explica que para existir asintotas horizontales, el grado del numerador debe ser menor o igual al del denominador.
Se presentan ejemplos para encontrar asintotas horizontales y se verifican las condiciones necesarias.
Se describe cómo calcular la asintota horizontal cuando los grados del numerador y denominador son iguales.
Se discuten las asintotas oblicuas y se indica que ocurren cuando el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Se muestra el proceso de división de polinomios para encontrar la asintota oblicua.
Se ejemplifica la división entre los polinomios del numerador y denominador para obtener la expresión de la asintota oblicua.
Se concluye con la forma general de las asintotas oblicuas y se resume el proceso para encontrarlas.
Se ofrecen recordatorios finales sobre cómo identificar y calcular las diferentes asintotas en función de los grados del numerador y denominador.
Transcripts
[Música]
hola en este vídeo vamos a aprender cómo
sacarlas así en total de una función
racional para ello vamos a tomar los
tres ejemplos que vimos en el vídeo
anterior en el cual se explicó que era
una función racional en una función
racional podemos tener a síntomas
verticales a síntomas horizontales
y así en total oblicuas vale la pena
aclarar que no siempre se van a
presentar los tres tipos así en total
por ende les voy a explicar las
condiciones necesarias para que haya
cada una de ellas empecemos con las
asistentas verticales estas se dan cada
vez que el denominador se hace cero como
pudimos ver en el vídeo anterior en la
descripción del vídeo les dejo el enlace
a este tutorial donde expliqué que era
una función racional y de algunos
ejemplos
entonces para encontrar estas así notas
verticales lo único que necesitamos es
averiguar cuando el denominador se hace
cero entonces hagámoslo para esta
función si vemos el denominador es x
simplemente igualamos ese denominador a
0 y se resuelve la actuación aquí no
tenemos nada que resolver porque ya está
despejado luego encontramos nuestra asín
tota resulta que este tipo de síntomas
verticales siempre son de la forma x
igual a un número
porque porque está la ecuación de todas
las líneas verticales fíjense una línea
vertical a qué eje del plano cartesiano
siempre va a cortar al eje x la ecuación
de una línea vertical pues es x igual al
número en el cual corta a ese eje
por ende esta es una cinta que corta el
eje x en el número cero es decir vendría
siendo el mismo eje y aquí lo podemos
apreciar fíjense es una recta vertical
que corta el eje x en cero entonces
todas las líneas verticales cortan al
eje x y el número que lo cortan pues es
a su ecuación x igual a tanto es decir
el de esta línea es x igual a menos 7 y
el de vista es x igual a menos 2
de esa forma tan sencilla encontramos la
5ta vertical para fx ahora vamos a
buscar la asunto está vertical para gdx
entonces decimos que el denominador
lo igualamos a 0 para ver cuándo se
determina esta división entonces
simplemente despejamos x va a ser igual
y el 5 que está positivo pasa como
negativo de esta manera ya encontramos
la a sin tota vertical para esta función
es x igual a menos 5 es decir una recta
que corta al eje x en este valor y ahora
vamos a encontrar las y tota vertical
para la última función entonces tomamos
su denominador que es x menos tres y lo
igualamos a cero siempre se iguala 0 y
se resuelve la ecuación el 3 que está
restando pasa como positivo y
encontramos que la 5ta vertical tiene la
ecuación x igual a 3 le recuerdo que
siempre vamos a tener la ecuación x
igual a un número real para las así
todas verticales ahora vamos con las
asiento estás horizontales pues sí
grasas y totales verticales cortan
siempre al eje x las líneas horizontales
siempre cortará el eje y por ende éstas
así notas horizontales siempre van a
hacer de la forma de igual a un número
real cualquiera que vamos a llamar b
pero aquí debemos
cuidado porque no siempre se presentará
síntomas horizontales debe presentarse
ciertas condiciones resulta que como
dijimos en el vídeo anterior una función
racional es dividir dos funciones
polinómicas recuerden que las funciones
polinómicas tienen algo que se llama
grado grado del polinomio que es el
exponente más alto de la letra cuando
tenemos una constante es de grado cero y
aquí podemos ver que estos tres son
polinomios de grado 1 igual que este
último y este polinomio sería de grado 2
ya que es el máximo exponente que tiene
la letra x ahora como ustedes saben
todas las fracciones se vienen numerador
y denominador pues resulta que para que
puedan haber así notas horizontales el
grado de el numerador debe ser más
pequeño o igual que el grado del
denominador
se tiene que presentar siempre esta
condición para que puedan existir así
todas horizontales por ende hay que
verificar siempre eso en nuestras
funciones entonces nos fijamos que aquí
pueda ver por qué el numerador es de
grado 0 y el denominador de grado 1 es
más pequeño en esta son del mismo grado
pero aquí nos dice que pueden ser
iguales por ende también puede haber al
centro está horizontal pero en esta no
va a haber porque el grado el numerador
no es ni menor ni igual al grado del
denominador de hecho es más grande por
ende decimos que aquí no hay asiento
está horizontal
vamos a revisar entonces las asiento
estás horizontales para estas funciones
vamos con efe de x siempre que tengamos
que el grado de el numerador sea más
pequeño que el grado el denominador va a
ser muy fácil encontrar su asiento está
simplemente va a ser igual a cero es
decir el mismo eje x siempre que una vez
ustedes vean que el grado de arriba es
más pequeño que el de abajo dicen que su
asiento está horizontal es igual a cero
y ya se acabó el problema
esto ocurrirá todas las funciones de ese
tipo ahora falta mirar qué pasa cuando
son iguales el grado tanto el numerador
como el denominador cuando eso pasa
efectivamente va a ver así en total
horizontal porque me dice que cuando son
iguales si puede haber pero en este caso
ya no va a ser igual a cero
va a ser igual a la división de los
coeficientes que le dan el grado a ese
polinomio me hago entender este
polinomio es de grado 1 porque aquí está
el mayor exponente y éste también porque
aquí está el mayor exponente y en ambos
casos es a la 1 entonces los números que
acompañen a esas letras se van a dividir
acá quien acompaña x a la 1 entonces
aquí lo acompaña el 1
y aquí quien acompaña a x también es el
número 1 entonces a esto se le suele
llamar coeficientes principales son los
números que vienen a acompañar a la
letra con mayor exponente no sé si aquí
me aparecía 3x y acá abajo 2x diría 3
entre 2 si ambos fueran de grado 3 y
aquí hubiese un 7 y aquí hubiese un 4
pues la asín trataba hacer siete cuartos
entonces simplemente van a tomar esos
coeficientes principales que son los que
acompañan a la letra con mayor exponente
cuando van a hacer eso cuando el grado
el numerador y el denominador son
exactamente el mismo aquí ambos son de
grado 1 y en este caso esta división es
exacta entonces aquí la sin tota va a
ser igual a 1
de esta manera ya sacamos las asín totas
horizontales para las funciones que las
pueden tener en esta recuerden que no
puede tener por el simple hecho de tener
mayor grado en el numerador que en el
denominado entonces tengamos siempre
presente cuando el numerador tiene menor
grado que el denominador la sin tota
horizontal es igual a cero y cuando son
del mismo grado simple
dividimos los coeficientes principales
ahora nos resta encontrar las a sin
todas oblicuas las a sin todas oblicuas
se van a presentar cuando el grado del
numerador es igual que el grado del
denominador
+ 1
es decir cuando el numerador les lleva
un grado al denominador por ende como
podemos ver el grado el numerador es más
grande que el del denominador lo cual es
contradictorio con esta afirmación
anterior entonces podemos afirmar que no
pueden presentarse así notas
horizontales y oblicuas al tiempo porque
se necesitan condiciones que se
contradicen entonces acá el grado
numerador tiene que ser más pequeño
igual que el denominador y aquí el grado
de numerador debe ser más grande en una
unidad pero debe ser más grande entonces
nosotros podemos decir que como aquí
washington estás horizontales no puede
haber así en total oblicuas porque
porque aquí los grados del numerador son
más pequeños que el denominador o
iguales y aquí necesitamos que sea más
grande como en este caso más grande por
una unidad piensa que tenemos grado 2 y
aquí tenemos grado 1 se llevan un grado
por ende aquí sí puede haber así en
total licua y es así no está obligado
cuando ya sabemos que si la aic se halla
de la siguiente manera simplemente
debemos hacer la división del numerador
entre
es decir hacer esta división entonces
tenemos que vivir a x al cuadrado
3 x menos 1 / x 3
aquí ustedes pueden aplicar la división
de polinomios que deseen pueden aplicar
división sintética o pueden aplicar la
edición tradicional como lo voy a hacer
entonces empecemos con la división x
para que me x al cuadrado lo
multiplicamos por x entonces vamos a
empezar x x x me da equis elevado al
cuadrado pero no se nos puede olvidar
que la división cambiamos de signos como
viene positivo lo colocamos negativo
ahora x x menos tres me da menos 3 x le
cambió el signo a más 3 x
pasamos una línea y operamos aquí x al
cuadrado con menos x al cuadrado se
cancela y 13 x con 3x positivo me da 6x
ahora bajamos el menos 1
y nos preguntamos por qué multiplicamos
a x para que me dé 6 x x 6 positivo
nuevamente operamos 6 x x 6 x positivo
pero no olviden que cambiamos el signo y
aquí 6 x menos 3 - 18 cambiaríamos más
18
nuevamente pasamos una línea y aquí se
nos cancelaría el 6 x menos 6 x a este
lado menos 1 matriz y 8 nos da 17 ahora
como podemos ver ya no podemos seguir
dividiendo este sería nuestro residuo
pero aquí no es relevante lo que nos
importa es esta expresión esta expresión
que queda al ya no poder dividir más el
acento está que queremos siempre se va a
escribir de la forma de igual a mx más b
ya que es una recta que tiene
inclinación luego esto es escribir y así
ya es igual al resultado de la división
al cociente de igual a x + 6 de esta
manera encontramos la a sin tota oblicua
para esta función racional entonces un
último recorderis lajas into estás
verticales siempre son de la forma x
igual a un número porque siempre cortan
al eje x las horizontales siempre cortan
al eje y por eso tienen la forma de
igual a un número y la cinta estás
oblicuas ya tienen pendiente es decir
tienen inclinación por eso son de la
forma ya igual a m
se hallan haciendo la división entre los
polinomios recuerden que para que hayan
así todas oblicuas es necesario que el
numerador le lleve una unidad al grado
del denominador
espero hayas entendido el tema que
tratamos de explicar en este tutorial si
te gusto nuestro vídeo no olvides darle
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espero que estés muy bien y hasta un
próximo vídeo
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