Función cuadrática. Gráfico: hallando vértice, raíces, ordenada al origen. Parte1/7

Evangelina Magi

31 May 202009:05

Summary

TLDREn este ejercicio, se aborda el análisis de una función cuadrática, comenzando por identificar los coeficientes a, b y c, donde a es el multiplicador de x^2, b el multiplicador de x y c el término independiente. Seguidamente, se describe cómo determinar la concavidad de la parábola en función del signo de 'a'. El siguiente paso es encontrar el vértice de la parábola utilizando la fórmula (-b/2a) para encontrar la coordenada x, y luego evaluar la función en ese punto para obtener la coordenada y. A partir de aquí, se calculan las raíces de la función, es decir, los valores de x que hacen que la función valga cero, utilizando la fórmula cuadrática estándar. Seguidamente, se trazan estas raíces junto con el vértice en un gráfico para visualizar la parábola. Finalmente, se evalúa la función en x=0 para determinar la ordenada al origen, lo que permite completar el gráfico de la función. El análisis incluye la identificación del conjunto de positividad y negatividad de la función, así como el intervalo de crecimiento y decrecimiento.

Takeaways

📌 Se realiza un ejercicio con una función cuadrática similar al número 14.
🔍 Se busca graficar la función y encontrar su conjunto de crecimiento y decrecimiento.
📐 Se identifica a (-1), b (2) y c (8) como los coeficientes de la función cuadrática.
📈 La concavidad de la parábola es determinada por el signo de 'a', que en este caso es negativo.
🔢 Se utiliza la fórmula de la parábola para encontrar el vértice: (-b/2a, f(-b/2a)).
🧮 Se calcula la coordenada x del vértice como -b/(2a), que resulta en 1.
📉 Se calcula la coordenada y del vértice sustituyendo x = 1 en la función, obteniendo y = 11.
🤔 Se resuelven las ecuaciones para encontrar las raíces de la función, que son los puntos donde la función se anula.
🔗 Se utiliza la fórmula de la raíz cuadrada para encontrar los valores de x que hacen que la función valga cero.
📍 Se encuentran las raíces x = -4 y x = 2, que son puntos aislados en el gráfico.
🏞 Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen, obteniendo y = 8.
📈 Se grafica la parábola teniendo en cuenta el vértice, las raíces y el ordenada al origen.

Q & A

¿Qué valores identifica para la función cuadrática en el script?
-En el script, se identifican los valores a, b y c para la función cuadrática. a es el número que multiplica a x^2 y en este caso es -1, b es el número que multiplica a x y es 2, y c es el número que está solo, que es 8.
¿Cómo se determina si la parábola es ascendente o descendente?
-La parábola es ascendente si el valor de 'a' es positivo y descendente si es negativo. En el script, como 'a' es -1, la parábola es descendente.
¿Cómo se encuentra la coordenada x del vértice de la parábola?
-La coordenada x del vértice se encuentra utilizando la fórmula -b/(2a). En el script, al reemplazar los valores se obtiene -2/(2*-1), que resulta en 1.
¿Cómo se calcula el valor de y en el vértice?
-Para encontrar el valor de y en el vértice, se reemplaza el valor de x del vértice en la fórmula de la función cuadrática. En el script, al reemplazar x = 1, se obtiene la fórmula -1*(1)^2 + 2*1 + 8, que resulta en 9.
¿Cuál es el vértice de la parábola descrita en el script?
-El vértice de la parábola es el punto (1, 9), lo que significa que el vértice tiene una coordenada x de 1 y una coordenada y de 9.
¿Cómo se determinan las raíces de la función?
-Para encontrar las raíces, se iguala la función a cero y se resuelve para x. En el script, se utiliza la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
¿Cuáles son las raíces de la función cuadrática en el script?
-Las raíces de la función son los valores de x que hacen que la función valga cero. En el script, se resuelven las ecuaciones y se obtienen las raíces -4 y 2.
¿Cómo se encuentra el ordenada al origen de la parábola?
-Para encontrar el ordenada al origen, se evalúa la función en x = 0. En el script, al reemplazar x por 0 en la función, se obtiene -0^2 + 2*0 + 8, que resulta en 8.
¿Cuál es el punto de intersección de la parábola con el eje y?
-El punto de intersección de la parábola con el eje y se encuentra cuando x = 0. En el script, este punto es (0, 8).
¿Cómo se realiza un gráfico aproximado de la parábola?
-Para hacer un gráfico aproximado, se ubican los puntos clave como el vértice, las raíces y el ordenada al origen en el plano cartesiano y se conectan para formar la curva de la parábola. En el script, se describe este proceso usando los valores encontrados.
¿Cómo se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola?
-Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se determinan por la concavidad de la parábola y su vértice. En el script, como la parábola es descendente (a negativo), el vértice es el punto máximo, y por lo tanto, la función crece antes de llegar al vértice y disminuye después.
¿Cómo se identifica el conjunto de positividad y negatividad de la función?
-El conjunto de positividad son los valores de x donde la función es mayor que cero, mientras que el conjunto de negatividad son los valores donde la función es menor que cero. En el script, se infiere de la posición del vértice y las raíces.

Outlines

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📈 Identificación y análisis de una función cuadrática

Se describe un ejercicio para tratar con una función cuadrática, iniciando por identificar los coeficientes a, b y c. La función es de la forma ax^2 + bx + c, donde a es -1, b es 2 y c es 8. Se discute cómo la parábola se inclina dependiendo del signo de 'a'. Para encontrar el vértice, se utiliza la fórmula (-b/2a) para x y se sustituye en la función para encontrar y. Esto resulta en el vértice (1, 11). Luego, se abordan las raíces de la función, que son los puntos donde la función intersecta el eje x, y se resuelven usando la fórmula cuadrática estándar.

05:00

📊 Construcción de un gráfico a partir de la función cuadrática

Una vez identificados el vértice y las raíces, se procede a trazar un gráfico aproximado de la función. Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen, que resulta en y = 8. Con estos datos, se ubican el vértice, el origen y las raíces en el gráfico. Se describe cómo la parábola tiene una forma determinada dada su pendiente negativa. Finalmente, se discute cómo se pueden determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los conjuntos de positividad y negatividad.

Mindmap

Keywords

💡Función cuadrática

Una función cuadrática es una expresión matemática de segundo grado que generalmente tiene la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y 'a' no es igual a cero. En el video, se utiliza para graficar y analizar su comportamiento, como el vértice y las raíces.

💡Vértice

El vértice de una función cuadrática es el punto de máximo o mínimo de la parábola. Se encuentra utilizando la fórmula x = -b / (2a). En el contexto del video, el vértice es el punto culminante de la parábola y se determina para entender la forma de la curva.

💡Raíces

Las raíces de una función, también conocidas como ceros, son los valores de x para los cuales la función f(x)等于 0. Se calculan al igualar la función a cero y resolver para x, como se muestra en el video mediante la fórmula de la raíz cuadrada.

💡Positividad y Negatividad

En el video, positividad y negatividad se refieren a los intervalos donde la función cuadrática es positiva o negativa, respectivamente. Esto depende del valor de 'a' en la fórmula general de la función cuadrática y se relaciona con la orientación de la parábola.

💡Intervalo de crecimiento y decrecimiento

Este concepto describe los intervalos en los que una función cuadrática aumenta o disminuye. Para una parábola orientada hacia arriba (a > 0), crece a ambos lados del vértice, mientras que para una orientada hacia abajo (a < 0), decrece a ambos lados del vértice.

💡Gráfica

La gráfica es la representación visual de una función, en este caso, una función cuadrática. Se utiliza para visualizar la parábola y sus características, como el vértice, las raíces y la concavidad.

💡Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice son los valores de x e y que definen la ubicación exacta del vértice en la gráfica de la función cuadrática. En el video, se calculan utilizando las fórmulas estándar para encontrar el vértice de una parábola.

💡Fórmula de la raíz cuadrada

La fórmula de la raíz cuadrada se utiliza para encontrar las soluciones de un polinomio de segundo grado. En el video, se aplica para encontrar las raíces de la función cuadrática, que son los puntos donde la función cruza el eje x.

💡Ordenada al origen

La ordenada al origen se refiere al valor de y cuando x es cero en una función. En el video, se calcula evaluando la función en x = 0 para determinar la intersección de la parábola con el eje y.

💡Conjunto de ceros

El conjunto de ceros es la lista de valores de x para los cuales la función cuadrática等于 0, es decir, donde la gráfica toca el eje x. Estos puntos se representan en el video como raíces y son cruciales para completar la gráfica de la función.

💡Eje x y eje y

Los ejes x e y son las dos coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano y son fundamentales para graficar funciones. En el video, se usan para trazar la gráfica de la función cuadrática y para encontrar puntos clave como el vértice y las raíces.

Highlights

Se realiza un ejercicio para graficar una función cuadrática y encontrar su conjunto de positividad y negatividad.

Se identifica la función cuadrática con los valores de a = -1, b = 2 y c = 8.

La parábola es negativa, indicando su forma específica.

Se utiliza la fórmula de vértice para encontrar las coordenadas del vértice.

Las coordenadas del vértice se calculan como (1, 11).

Se evalúa la función en el vértice para encontrar su y valor.

Se resuelven las raíces de la función, que son los puntos donde la función se anula.

Las raíces se encuentran utilizando la fórmula de la raíz cuadrada para un polinomio.

Se obtienen dos soluciones para las raíces: -4 y 2.

Se ubican las raíces en el gráfico, marcando los puntos (-4, 0) y (2, 0).

Se evalúa la función en x = 0 para encontrar el ordenada al origen.

El ordenada al origen se encuentra en el punto (0, 8).

Se realiza un gráfico aproximado de la parábola con el vértice, las raíces y el ordenada al origen.

Se determina el conjunto de positividad y negatividad de la función.

Se discute el intervalo de crecimiento y decrecimiento de la función.

Se destaca la importancia de la precisión en los cálculos para evitar errores comunes.

Se enfatiza la utilidad de la fórmula de la raíz cuadrada para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas.

Se describe el proceso de evaluación de la función en puntos específicos para obtener información adicional.