3.4.2. Integral de superficie
Summary
TLDREl script proporcionado es una lección avanzada de cálculo sobre integrales de superficie, que aborda la definición y propiedades de las mismas. Se introduce la parametrización de superficies suaves y se describe cómo calcular la integral de un campo escalar sobre una superficie parametrizada. Se muestra que la integral de superficie es lineal y se ejemplifica con cálculos detallados para superficies como un triángulo en el plano, una porción de un cilindro y la parte superior de una esfera. Se destacan las fórmulas para el producto vectorial fundamental y su determinante, así como la composición de funciones y el uso de técnicas de integración para resolver los problemas. El script es un recurso valioso para estudiantes de matemáticas que buscan comprender y practicar el cálculo de integrales en geometría diferencial.
Takeaways
- 📚 Primero, se define la integral de superficie como una extensión del concepto de integral para funciones definidas sobre una superficie en lugar de un intervalo unidimensional.
- 🎨 La superficie suave puede ser a trozos y se parametriza por una función vectorial gamma definida sobre una región de R^2.
- 🧩 Se utiliza la integral de superficie para calcular áreas, y se menciona que la integral de superficie es una operación lineal.
- 📐 Se discute la importancia del producto vectorial fundamental y su relación con el determinante de la matriz jacobiana asociada a la parametrización de la superficie.
- 📈 Se proporciona un ejemplo de cálculo de la integral de superficie para una porción de plano, mostrando cómo se realiza la parametrización y el cálculo del determinante.
- 🔢 Se muestra un ejemplo de cómo se calcula la integral de superficie para una porción de cilindro, incluyendo las derivadas parciales y el producto vectorial fundamental.
- 🌐 Se explora la integral de superficie en la parte superior de una esfera de revolución, con una parametrización específica y el cálculo del determinante asociado.
- 📊 Se calcula la integral de superficie para una superficie definida por una función escalar, utilizando técnicas de integración y cambios de variable.
- 🔄 Se menciona el uso de fórmulas recursivas para facilitar el cálculo de integrales complejas, como la integral de seno por coseno.
- 🧮 Se resalta la necesidad de realizar cálculos detallados para encontrar las áreas de superficie, incluyendo la evaluación de integrales y el uso de técnicas de integración.
- 📖 Se enfatiza la importancia de la comprensión de las propiedades de las integrales de superficie y su aplicación en la solución de problemas geométricos y físicos.
Q & A
¿Qué es una superficie suave y cómo se define en el contexto del script?
-Una superficie suave es una superficie que puede ser a trozos y se parametriza por una función vectorial γ sobre una región Ω de R^2. En el script, se utiliza para calcular la integral de superficie de un campo escalar sobre la superficie.
¿Cómo se calcula la integral de superficie de un campo escalar f sobre una superficie suave?
-Para calcular la integral de superficie de un campo escalar f sobre una superficie suave parametrizada por γ, se utiliza la fórmula de integral de superficie: ∬Ω f(γ(r, s)) ||dγ||, donde ||dγ|| es la norma del producto vectorial fundamental de γ.
¿Cuál es la propiedad lineal de la integral de superficie y cómo se demuestra en el script?
-La propiedad lineal de la integral de superficie indica que la integral de la suma de dos funciones escalares es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones. En el script, se demuestra que la integral de superficie de f + g sobre la superficie S es igual a la suma de la integral de superficie de f y la integral de superficie de g sobre S.
¿Cómo se calcula el área de una superficie si la función escalar toma el valor constante 1?
-Si la función escalar toma el valor constante 1 sobre la superficie, la integral de superficie se convierte en la integral de la norma del producto vectorial fundamental de la parametrización γ sobre la región Ω, lo que equivale a calcular el área de la superficie.
¿Cómo se define la parametrización de una superficie en el ejemplo del triángulo en el plano xy?
-En el ejemplo del triángulo en el plano xy, la parametrización de la superficie es dada por la función γ(r, s) = (r, s, 6 - 12r - s), donde r y s varían en el triángulo formado por los puntos (0,0), (3,0) y (0, 2/3).
¿Cómo se calcula el determinante del producto vectorial fundamental en el ejemplo del triángulo?
-Para calcular el determinante del producto vectorial fundamental en el ejemplo del triángulo, se toma la matriz formada por las derivadas parciales de γ con respecto a r e s, y se calcula su determinante, el cual en este caso resulta en 1/2.
¿Qué es la integral de superficie lineal y cómo se demuestra en el script?
-La integral de superficie lineal se refiere a la propiedad de que la integral de una función escalar escalonada (como la suma de funciones escalares) es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones escalonadas. En el script, se demuestra que la integral de superficie de λf sobre S es igual a λ veces la integral de superficie de f sobre S.
¿Cómo se calcula la integral de superficie de una función escalar sobre una porción de plano en el script?
-Para calcular la integral de superficie de una función escalar sobre una porción de plano, se define una parametrización de la superficie, se calculan las derivadas parciales de la parametrización, se encuentra el producto vectorial fundamental y su norma, y se realiza la integración sobre la región del plano correspondiente a la superficie.
¿Cómo se define la parametrización de una porción de cilindro en el script?
-En el script, la parametrización de una porción de cilindro se define tomando en cuenta que la superficie está acostada sobre el eje de las x, con r y s variando entre 0 y 4, y z variando entre 0 y la altura del cilindro, que en este caso es 3.
¿Cómo se calcula el determinante del producto vectorial fundamental para la parametrización de una porción de cilindro?
-Para calcular el determinante del producto vectorial fundamental de la parametrización de una porción de cilindro, se forman las derivadas parciales de la parametrización con respecto a r e s, se calcula su determinante, el cual en este caso resulta en (2πr)(3cos(θ)).
¿Cómo se calcula la integral de superficie de una función escalar sobre la parte superior de una esfera en el script?
-Para calcular la integral de superficie de una función escalar sobre la parte superior de una esfera, se utiliza una parametrización que depende de los ángulos polares y azimutales, se calculan las derivadas parciales de la parametrización, se encuentra el producto vectorial fundamental y su norma, y se realiza la integración sobre la región correspondiente a la parte superior de la esfera.
¿Cómo se demuestra que la integral de superficie es una operación lineal en el script?
-Se demuestra que la integral de superficie es una operación lineal mostrando que la integral de una combinación lineal de funciones escalares es igual a la combinación lineal de las integrales de las funciones escalares individuales. Esto se muestra en el script a través de la propiedad que la integral de λf sobre S es igual a λ veces la integral de f sobre S.
Outlines
📚 Introducción a la Integral de Superficie
Este primer párrafo introduce la integral de superficie como una extensión de la integral de una función en el plano a una superficie en el espacio tridimensional. Se define una superficie suave 'S', que puede ser a trozos y parametrizada por una función vectorial gamma sobre una región omega de R^2. Se discute la composición de una función escalar 'f' con gamma y cómo esto se relaciona con la integral de superficie de 'f' sobre la superficie 'S'. Además, se mencionan las propiedades lineales de la integral de superficie y se presenta un ejemplo de cálculo de la integral de superficie sobre una porción de plano definida por una ecuación.
📐 Ejemplos de Cálculo de Integral de Superficie
En el segundo párrafo se profundiza en el cálculo de la integral de superficie con dos ejemplos concretos. El primero es la integral de superficie de una función sobre una porción de plano, donde se describe cómo parametrizar la superficie y calcular las derivadas parciales de la parametrización gamma. Se pide a los espectadores que calculen el determinante de la matriz jacobiana y luego se utiliza para calcular la integral de superficie. El segundo ejemplo es la integral de superficie de una porción de cilindro, donde se discute la parametrización y se calcula el producto vectorial fundamental y su norma. Seguidamente, se resuelve la integral de superficie para esta porción de cilindro.
🧮 Técnicas Avanzadas de Integral de Superficie
El tercer párrafo explora técnicas más avanzadas para calcular la integral de superficie, como el uso de fórmulas recursivas y cambios de variables. Se aborda el cálculo de la integral de superficie de una porción superior de una esfera, donde se proporciona una parametrización y se calculan las derivadas parciales correspondientes. Luego, se calcula el producto vectorial fundamental y su norma, lo que permite determinar la integral de superficie para esta región. Se discuten también técnicas para manejar integrables complejos, como el cambio de variables y la integración por partes. Finalmente, se resuelve un ejemplo de integral de superficie para una porción de una superficie definida por una función escalar y se utiliza un cambio de variable para simplificar el cálculo.
Mindmap
Keywords
💡Integral de superficie
💡Parametrización de superficie
💡Producto vectorial fundamental
💡Campo escalar
💡Derivada parcial
💡Determinante de una matriz
💡Cambio de variable
💡Área
💡Función constante
💡Línea de integración
💡Fórmula de Gauss
Highlights
Definición de una superficie suave y su parametrización por una función vectorial gamma sobre una región de R^2.
Introducción del campo escalar f sobre la superficie S y la integral de superficie de f.
Explicación de la integral de superficie compuesta y su relación con la norma del producto vectorial fundamental de gamma.
Área de la superficie como un caso particular de la integral de superficie cuando f es constante.
Propiedades lineales de la integral de superficie y su aplicación en la suma de campos escalares.
Ejemplo de cálculo de la integral de superficie de una porción de plano con la parametrización adecuada.
Cálculo de la derivada parcial de gamma y su importancia en el producto vectorial fundamental.
Determinación del determinante de la matriz jacobiana y su valor en el ejemplo dado.
Composición de la función f con la parametrización gamma y su resultado en el ejemplo.
Cálculo de la integral de superficie utilizando la norma y la parametrización en el ejemplo del plano.
Ejemplo de integral de superficie en un cilindro y su parametrización en función de los ejes x e y.
Cálculo del producto vectorial fundamental y su determinante para el cilindro en el eje x.
Composición de la función con la parametrización gamma y la integral de superficie en el cilindro.
Cálculo de la integral de superficie en la parte superior de una esfera con una parametrización específica.
Derivadas parciales de la parametrización y su impacto en el producto vectorial fundamental para la esfera.
Determinación de la norma del producto vectorial fundamental y su valor para la superficie de la esfera.
Cálculo final de la integral de superficie en la parte superior de la esfera usando la composición y la norma.
Ejemplo de integral de superficie en una porción de una superficie de revolución y su parametrización.
Cálculo del producto vectorial fundamental y su determinante para la superficie de revolución.
Composición de la función con la parametrización gamma y el cálculo de la integral de superficie en la superficie de revolución.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos veamos ahora integral de
superficie comenzamos con una definición
voy a considerar s una superficie suave
puede ser a trozos y parametrizar a por
gamma gamma definida sobre una región o
mega de r2 y efe un campo escalar mr3
sobre s de tal forma que yo puedo
componer a efe con gamma la integral de
superficie de efe sobre mi superficie
estado por la integral de f compuesta
con gamma por la norma del producto
vectorial fundamental de gamma sobre
omega y la notación que voy a utilizar
ese esté aquí en la dominguera de f
sobre ese diferencial es en mayúscula
vale en particular si mi función toma el
valor constante 1 sobre mi superficie
entonces lo que estoy calculando es el
área de mi superficie propiedades de la
integral de superficie sea s una
superficie suave a trozos una superficie
dada por ese 1 y s
y parametrizado por una función
vectorial gamma gamma definida sobre
omega una región sobre r 2 y voy a
considerar fije dos campos escalares en
r3 definidos sobre mi superficie ese
entonces la integral de superficie de f
más que es igual a la integral de
superficie de efe sobre s más la
integral de superficie de g sobre s
además la integral de superficie de
lambda efe sobre ese es igual a lander
veces la integral de superficie de efe
sobre s esto quiere decir que la
integral de superficie es lineal además
la integral de superficie de efe sobre s
es igual a la integral de superficie de
efe sobre s uno más la integral de
superficie de efe sobre s 2
veamos un ejemplo calculamos la integral
de superficie de esta función sobre mi
superficie s que es la porción de plano
del plano 2 x más yemas docente igual a
6 restringida en el primero obstante
cuando digo primero obstante es cuando x
10 z es mayor o igual a 0
entonces tengo este triangulito de aquí
vale entonces si yo despejó z
tengo que 7 es un medio de 6 menos 12 x
menos y si yo hago 7 igual a 0 entonces
este esta recta que une estos dos puntos
es igual a 2 x 3 - x ale fíjense si yo
de un yo necesito una parametrización de
mi superficie no voy a pensar como un
como la gráfica de un campo escalar
a la función dada por ser igual a fx
como hay aquí tengo a z sale entonces
una parametrización es de la forma rs fr
es donde veo un x pongo r y donde fue a
una ye pongo esa ale y mi dominio de esa
parametrización es la proyección de mi
superficie sobre el plano xy que es un
triángulo sale x va de 0 a 3 aquí está y
lleva de 0 a la recta 2 x 3 - x aquí
está ok entonces hay que calcular la
deriva parcial de gamma con respecto a r
y la derivada parcial de gamma con
respecto a s con respecto a r sería 10
me quedaría menos dos medios que es
menos 1 y la derivada parcial de gamma
con respecto a s pues me va a dar 0 1 un
medio vale el producto de estudiar
fundamental al estado por el
determinante de esta matriz y quiero que
pongan pausa el vídeo y que calculen
este determinante verifiquen que les
tiene que dar el vector 1
un medio 11
es raíz cuadrada de nueve cuartos que es
tres medios sale chicos entonces que me
dice la integran la fórmula de integral
de superficie y necesito es hacer la
composición
efe compuesta con gamma donde vea una
equis pongo r donde vea una s pongo ese
y donde veo una zeta
voy a poner el valor de un medio por 6
menos 12 r - s sale
entonces verifiquen que la composición
me tiene que dar dos sports
3 - r
por lo tanto la integral de superficie
por la norma
en función con y parametrización este 2
se cancela y me queda tres veces tres
por la integral de cero a tres con
respecto a s
sale de la integral de 0 a 2 x 3 - r con
respecto a r de mi función s por 3 - ser
vale esto es igual a 6 veces la integral
de 0 3 x 3 - r todo eso al cubo por
respecto vale aquí es ese cuadrado en la
evaluación y les da esto de acá entonces
aquí hacen un cambio de variable la
mente les hace falta al menos tienes 3 -
cr a la cuarta sobre 42 tienes menos 6
puertos y la evaluación de 0 a 3 les da
243 medios sale vamos a ver otro ejemplo
del cooler no la integral de superficie
de maceta donde es la porción de
cilindro del cilindro ye cuadrado maceta
cuadrada igual a 9 / ex igual a 0 y ex
igual a 4 restringido al primero
obstante sale en este caso mis
superficies de esta forma y una
parametrización desde la forma es porque
está acostado sobre el eje de las x 3
kos en adr 3 porque mi bases 3
y este 13 no de r donde arriba de 0 y
medios porque estoy restringido en el
primero obstante y ese va de 0 a 4
entonces qué necesitamos calcular en la
derivada parcial de gamma con respecto a
r y la derivada parcial de gamma con
respecto s con respecto a r sería 0
menos 30 de r3 coseno de r aquí está y
la adherida parcial de gamma con
respecto a ese entonces sería 100 el
producto 20 era fundamental es el
determinante de esta matriz y quiero que
pongan pausa al vídeo y que verifique
que el determinante les tiene que dar el
vector 0 30 de r3 coseno de su norma es
raíz cuadrada de 90 cuadrado más 9
coseno al cuadrado factorizar 9 les
quedan seno cuadrado más coseno cuerdo
que es una raíz cuadrada de 93 y la
composición de f con gamma entonces es
igual a 3 coseno del r30 der sale donde
vean una equis van a poner ese donde
vean una llevan a poner
3 kos en adr y donde vean una z van a
poner 30 velas entonces la integral de
superficie es igual a la norma que fue 3
por mi función aquí está el factor hizo
el 3 me queda 9 y es sellar la integral
de serafín medios con respecto a ere
integral de 0 a 4 con respecto a ese de
mi función coseno de r más seno de r
sale no depende de ese entonces es 44
por 936 integrales era para medios
coseno de r más sano de r y eso es
calculó la integral de coseno que seno y
la integral de ser lo que es menos
coseno hago la evaluación y verifican
que les tienen que dar sea también
chicos calculemos la integral de
superficie se está cuadrada sobre s
donde es en la parte superior de la
esfera x cuadrada más y encuadrada
maceta cuadra igual a 1
vamos a suponer que yo sé que la esfera
completa es una superficie revolución y
es una parametrización es de la forma s
raíz cuadrada de 1 - s cuadrada coseno
de raíz cuadrada de 1 - s cuadradas de
madera pero yo quiero una parte superior
tuberías restringidos para metros es
reyes en este caso es re va a dar media
vuelta para el de cero y ese baile menos
1
vale ese es la coordenada en x sale
bueno entonces calculamos las derivadas
parciales la derivada parcial de gamma
con respecto a r la primera coordenada
en cero aquí sería la raíz cuadrada de
uno menos ese cuadrado es constante la
deriva coseno menos c no vale y la
derivada de ser vasco cena raíz cuadrada
de los menos s cuadradas es constante
sale y con respecto a ese ahora tendré
yo 1 y derive en raíz cuadrada de 1 - s
cuadrada y multiplicamos por las
constantes en el cosemos y le tiene que
dar esto de aquí sale eso ya lo habíamos
visto
áreas de superficie es cierto bueno en
producto vectorial fundamentales es el
determinante de esta matriz quiero que
pongan pausa y que verifiquen que
determinantes de esta matriz está dado
por ese coma raíz cuadrada de 1 - s
cuadrada con seno de r como a raíz
cuadrada de 1 - s cuadradas en oberá
recuerden que esto ya lo vimos en el
vídeo anterior ok
bueno la norma verifica que la norma les
tiene que dar 1 y la composición les
tiene que dar 1 - es el cuadrado por ese
cuadrado de r ok entonces la integral de
superficie de zeta cuadrado sobre ese es
igual a mi composición 1 menos ese
cuadrado por seno cuadrado de retorno
omega es un rectángulo fíjense yo tengo
que en mi función que me integrando de
la forma que desee porque federer sólo
puede expresar como una multiplicación
de integrales con respecto a ese vale
menos 11 la integran y con respecto al
rival de 0
entonces la integral de menos uno a uno
de uno menos ese cuadrada dos es cuatro
tercios y la integral de será pide seno
cuadrado podemos utilizar fórmula
recursiva que sería seno por coseno
sobre dos de cero api y senos múltiplos
de pivalde cero más r medios de cerati
que sería mi medios sale por lo tanto el
valor de la integran de superficie es
igual a dos tercios
calculamos la integral de superficie z
menos x donde se la porción de la
superficie 7 igual x magic al cuadrado
sobre el triángulo de el conjunto de
parejas ordenadas x y tal vez que llegue
es mayor o igual que 0 menor o igual que
1 y x es mayor o igual que 0 menor o
igual que ya sale es algo de este estilo
entonces sabemos que una parametrización
desde la forma rsf drs a mi superficie
es la voy a ver como la gráfica de un
campo escalar donde rs es la proyección
de mi superficie sobre el plano xy vale
en este caso de es esta proyección vale
entonces la deriva parcial de gamma con
respecto a r es 101 y la deriva parcial
de gamma con respecto a ese 0 112 se
verifique no es muy fácil el producto
vectorial fundamental estado por el
determinante en esta matriz pongan pausa
y verifiquen que es menos 1 - 2s y 1
ok y su norma
es cuadrada de dos más cuatro ese
cuadrado la composición les tiene que
dar ese cuadrado y la integral de
superficie entonces de ese está cuadrada
sobre mi superficie s es igual a la
integral de mi composición por la norma
es el cuadrado por la raíz cuadrada
sobre el triángulo de saleh que es la
integral de será uno con respecto a ese
primero y la integral de cero a éste con
respecto a r de mi función
bueno entonces voy a calcular con
respecto a r esa función no depende de r
entonces va a dar ese pase cúbica por la
raíz cuadrada y voy a utilizar un cambio
de variable 2 + 4 s p igualados más 4 s
cuadrada diferencial p es igual a 8 s
diferenciales y les va a quedar entonces
1 sobre 32 integral de 2 a 6 de p menos
2 por pegar a un medio diferencial que
le pongan pausa y verifiquen que
efectivamente les tiene que dar esta
función de aquí los nuevos límites como
los obtuve donde veo una s
voy a poner 1 en el cambio de variable y
es igual a 6 cierto y se va a ser mi
nuevo límite superior y en el inferior
pongo 0 donde vea una s y tengo 2 sale
entonces hago la multiplicación p a la
un medio por b leal a tres medios
integral de a las cinco medios sobre
cinco medios evaluado de dos a seis
menos dos pianos medio sería para tres
medios sobre tres medios por dos menos
cuatro tercios bueno
por este menos entonces quiero que
verifiquen que al final de evaluaciones
tienen que dar raíz de 6 sobre 5 más a
raíz de dos sobre 30 saben chicos
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