Gráfica de la función cotagente

Hernan Prada Alzate

25 Nov 202311:41

Summary

TLDREl vídeo explica el propósito de graficar la función cotangente, que es el inverso de la función tangente. Se utiliza una circunferencia unitaria concéntrica para demostrar cómo se calcula el valor de la cotangente en diferentes ángulos. Se divide la circunferencia en ocho porciones de 45 grados y se proyecta la cotangente en el eje X, explicando que en ángulos de 0 y 180 grados, la cotangente es indefinida. Se resalta que la cotangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto. El vídeo concluye con una gráfica que muestra el comportamiento periódico de la función cotangente con un periodo de 180 grados.

Takeaways

📐 La función cotangente es el inverso de la función tangente y se representa como y = cotangente(x).
🔴 Se utiliza una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar la función cotangente, donde el radio es 1.
📏 Se dividen ocho porciones en la circunferencia, cada una de 45 grados, para encontrar los ángulos representativos de la cotangente.
📉 La gráfica de la cotangente se construye extendiendo el eje x en ocho porciones iguales y marcando los ángulos de 0 a 360 grados.
📋 Se incluye una tabla de valores que muestra los ángulos y los correspondientes valores de la cotangente.
🚫 La cotangente no existe para 0 grados y 180 grados, ya que las rectas paralelas al eje x no intersectarán con la circunferencia.
➡️ En el primer cuadrante, la cotangente es positiva, y en el segundo cuadrante es negativa debido a que es el inverso de la tangente.
🔄 La gráfica de la cotangente se repite cada 180 grados, indicando un periodo de 180 grados.
📉 La cotangente alcanza valores desde negativo infinito hasta positivo infinito, mostrando una amplitud completa.
✅ La gráfica de la cotangente se completa siguiendo un patrón repetitivo y asintótica en los ángulos de 0 y 180 grados.

Q & A

¿Qué es la función cotangente y cómo se relaciona con la función tangente?
-La función cotangente es el inverso de la función tangente. Mientras que la tangente se define como la relación entre la y y la x en una circunferencia unitaria, la cotangente es el inverso de esta relación.
¿Por qué se usa una circunferencia concéntrica para demostrar la función cotangente?
-Se usa una circunferencia concéntrica para demostrar la función cotangente porque facilita la visualización de los ángulos y su relación con las rectas tangentes a la circunferencia, lo cual es fundamental para entender cómo se calcula la cotangente.
¿Cuál es el significado de que dos rectas sean paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia?
-Cuando dos rectas son paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia, significa que cada una de ellas toca la circunferencia en un solo punto, manteniendo la misma distancia al eje x.
¿Cómo se divide la circunferencia para encontrar los ángulos representativos de la cotangente?
-La circunferencia se divide en múltiplos de cuatro, ya que se habla de cuatro cuadrantes. En el ejemplo dado, se divide en ocho porciones, cada una de 45 grados, para encontrar los ángulos representativos para la cotangente.
¿Cuál es el ángulo que corresponde a la cotangente de 45 grados y por qué?
-El ángulo que corresponde a la cotangente de 45 grados es 1, porque en la circunferencia unitaria, cuando el ángulo es de 45 grados, la longitud de la proyección en el eje y es igual al radio, lo que significa que la cotangente es 1.
¿Por qué la cotangente de 0 grados no existe?
-La cotangente de 0 grados no existe porque las rectas que son paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia en ese punto nunca se cruzarán con el eje y, por lo tanto, no hay un punto de intersección que pueda medirse como cotangente.
¿Qué ocurre con la cotangente en el segundo cuadrante y por qué?
-En el segundo cuadrante, la cotangente es negativa. Esto se debe a que, aunque la longitud de la proyección en el eje y sigue siendo la misma que el radio, la dirección es opuesta, lo que hace que la cotangente sea negativa.
¿Cuál es el periodo de la gráfica de la función cotangente?
-El periodo de la gráfica de la función cotangente es de 180 grados, ya que la gráfica se repite cada 180 grados.
¿Cómo se determina si la cotangente es positiva o negativa en los diferentes cuadrantes?
-La cotangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, donde las proyecciones en el eje y son hacia arriba y hacia la derecha, respectivamente. En el segundo y cuarto cuadrante, la cotangente es negativa debido a que las proyecciones en el eje y son hacia abajo y hacia la izquierda.
¿Cómo se determina la amplitud de la gráfica de la función cotangente?
-La amplitud de la gráfica de la función cotangente es desde menos infinito hasta el infinito, ya que la cotangente puede tomar valores muy grandes o muy pequeños, dependiendo del ángulo.

Outlines

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📐 Introducción a la Gráfica de la Cotangente

El primer párrafo explica cómo se grafica la función cotangente, que es el inverso de la función tangente. Se utiliza una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar la cotangente de X. Se destaca la importancia de dividir la circunferencia en múltiplos de cuatro para facilitar la comprensión de los ángulos y su correspondencia con los valores de cotangente en los cuatro cuadrantes. Se menciona la división de la circunferencia en ocho porciones de 45 grados y cómo se relaciona con los ángulos clave como 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315° y 360°. Además, se describe cómo se extienden las líneas desde el eje X para determinar los puntos de intersección con la recta Y, que son los valores de cotangente.

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📉 Análisis de la Cotangente en los Cuadrantes

Este párrafo profundiza en el análisis de la cotangente en los diferentes cuadrantes. Se explica que la cotangente de 45 grados es 1, y se discute la inexistencia de cotangente en 0 grados y 180 grados. Se detalla cómo se calcula la cotangente para ángulos específicos como 90 grados, 135 grados, 180 grados, 225 grados y 270 grados, destacando la alternancia de signos positivos y negativos en los distintos cuadrantes. Se menciona la no existencia de cotangente en 180 grados y cómo se representa gráficamente con una asintota. También se describe el comportamiento repetitivo de la función cotangente cada 180 grados.

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🔁 Periodicidad y Amplitud de la Cotangente

El tercer párrafo concluye el análisis de la cotangente enfocándose en su periodicidad y amplitud. Se establece que la función cotangente tiene un periodo de 180 grados, lo que significa que su comportamiento se repite cada 180 grados. Se discute cómo la gráfica de la cotangente se acerca a la asintota en 0 grados y 360 grados, pero nunca se cruza. Se menciona la amplitud de la gráfica, que se extiende desde menos infinito hasta el infinito, reflejando la naturaleza no acotada de los valores de cotangente. Finalmente, se presenta una descripción completa de cómo se grafica la función cotangente basada en la circunferencia unitaria y se cierra el vídeo con un mensaje de inspiración.

Mindmap

Keywords

💡Cotangente

La cotangente es la función trigonométrica que representa el cociente de la adjunta por la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el vídeo, se usa para explicar cómo se obtiene gráficamente a partir de una circunferencia concéntrica unitaria, mostrando cómo se calcula para diferentes ángulos y cómo se representa en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.

💡Función inversa

Una función inversa es aquella que 'desinversa' la acción de otra función. En el caso de la cotangente, es el inverso de la función tangente, lo cual se menciona para establecer la relación entre ambas funciones trigonométricas y cómo se derivan mutuamente.

💡Circunferencia concéntrica

Se refiere a una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de un plano cartesiano y que se usa en el vídeo para demostrar la gráfica de la cotangente. La circunferencia concéntrica unitaria es fundamental para entender cómo se relacionan los ángulos y las longitudes en la gráfica de la cotangente.

💡Rectas tangentes

Las rectas tangentes a la circunferencia concéntrica son líneas que tocan la circunferencia en exactamente un punto y son paralelas al eje X. En el vídeo, estas rectas se usan para determinar los puntos de intersección que definen los valores de la cotangente en diferentes ángulos.

💡División en múltiplos de cuatro

Se menciona la división de la circunferencia en múltiplos de cuatro para simplificar la visualización y el cálculo de los ángulos y sus correspondientes valores de cotangente. Esto se relaciona con la periodicidad y la simetría de las funciones trigonométricas.

💡Ángulos representativos

Los ángulos representativos son los ángulos de 45°, 90°, 135°, etc., que se usan para buscar los valores de la cotangente en la gráfica. Estos ángulos son clave para entender cómo se distribuyen los valores de la cotangente en los diferentes cuadrantes.

💡Proyección

La proyección se refiere a la representación de los valores de la cotangente en el eje Y a partir de la intersección de la prolongación de los lados del arco en la circunferencia con la recta tangente. En el vídeo, la proyección se usa para construir la gráfica de la cotangente.

💡Asíntota

Las asíntotas son líneas que la gráfica de una función se acerca pero nunca toca. En el vídeo, se mencionan las asíntotas para los ángulos de 0° y 180°, donde la cotangente es indefinida, y la gráfica se acerca a estas líneas pero nunca se cruza.

💡Periodicidad

La periodicidad es una propiedad de ciertas funciones que se repiten en intervalos regulares. En el vídeo, se explica que la gráfica de la cotangente tiene una periodicidad de 180 grados, lo que significa que se repite cada 180 grados.

💡Indefinido

Un valor indefinido ocurre cuando una expresión matemática no tiene un valor determinado. En el vídeo, se menciona que la cotangente es indefinida para los ángulos de 0° y 180°, ya que las rectas tangentes en esos ángulos son paralelas al eje X y no intersectan con la recta Y.

Highlights

Propósito de graficar la función cotangente.

Cotangente es el inverso de la función tangente.

Uso de una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar.

División de la circunferencia en múltiplos de cuatro.

Representación de ángulos en gráficos trigonométricos.

División del eje X en ocho porciones.

Indefinición de la cotangente en ángulos de 0 y 180 grados.

La cotangente de 45 grados es igual a 1.

La cotangente es positiva en el primer cuadrante y negativa en el segundo.

La cotangente de 90 grados es indefinida.

La cotangente en el tercer cuadrante es positiva.

La cotangente de 270 grados es cero.

La cotangente en el cuarto cuadrante es negativa.

La cotangente de 360 grados es indefinida.

Periodicidad de la gráfica de la cotangente de 180 grados.

Asíntotas de la gráfica de la cotangente.

Amplitud de la gráfica de la cotangente desde menos infinito hasta el infinito.

Proyección de la gráfica de la cotangente en el cuarto cuadrante.

Conclusión de la gráfica de la función cotangente basada en la circunferencia unitaria.