Grade 6 Math: Inverse Proportion
Summary
TLDREn esta lección de matemáticas, se explica el concepto de proporción inversa mediante ejemplos prácticos. Se aborda cómo un aumento en una cantidad provoca la disminución de otra, utilizando problemas de historia para ilustrar esta relación. A través de ejemplos como trabajadores que completan un trabajo, autos que recorren distancias y el uso de alimentos para animales, se demuestra que cuando aumenta el número de trabajadores o la velocidad, el tiempo para completar una tarea disminuye, y viceversa. La lección concluye con ejercicios adicionales para reforzar este concepto matemático clave.
Takeaways
- 📚 La lección trata sobre el concepto de proporción inversa en problemas de matemáticas.
- 👷♂️ Si 5 hombres pueden completar un trabajo en 30 días, 10 hombres lo harán en 15 días debido a la proporción inversa.
- 🔄 En una proporción inversa, cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye y viceversa.
- 👨🏭 Más trabajadores trabajando juntos reducen el tiempo para completar un trabajo, mientras que menos trabajadores lo aumentan.
- ✖️ En proporciones inversas, los valores de las mismas filas se multiplican para resolver el problema.
- ⏳ Si 9 trabajadores pueden construir un muro en 10 días, 6 trabajadores lo harán en 15 días, debido a la reducción de la fuerza laboral.
- 🚗 Un coche que viaja a 60 km/h en 20 minutos necesita aumentar su velocidad a 80 km/h para cubrir la misma distancia en 15 minutos.
- 🐥 Un agricultor con comida suficiente para 72 patos por 14 días, si vende 16 patos, la comida durará 18 días para los 56 patos restantes.
- ⏩ A mayor velocidad, menor será el tiempo necesario para recorrer una distancia, mientras que a menor velocidad, mayor será el tiempo.
- 👨🏫 La lección refuerza que las proporciones inversas son lo contrario de las proporciones directas, donde un aumento en una cantidad resulta en la disminución de otra.
Q & A
¿Qué es una proporción inversa?
-Una proporción inversa ocurre cuando un aumento en una cantidad provoca una disminución en otra, o cuando una disminución en una cantidad provoca un aumento en la otra.
¿Cómo difiere una proporción inversa de una proporción directa?
-En una proporción directa, ambas cantidades aumentan o disminuyen juntas. En una proporción inversa, cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye, o viceversa.
Si 5 hombres tardan 30 días en completar un trabajo, ¿cuánto tiempo tardarían 10 hombres?
-Tardarían 15 días, ya que al aumentar el número de trabajadores, el tiempo para completar el trabajo disminuye.
¿Por qué no se usa la multiplicación cruzada en una proporción inversa?
-Porque en una proporción inversa se multiplican las cantidades de la misma fila, en lugar de hacer una multiplicación cruzada como en una proporción directa.
Si 9 trabajadores pueden construir una pared en 10 días, ¿cuánto tiempo tardarán 6 trabajadores?
-Tardarán 15 días, ya que al reducir el número de trabajadores, el tiempo para completar el trabajo aumenta.
Si un automóvil viaja a 60 km/h y tarda 20 minutos en recorrer cierta distancia, ¿a qué velocidad debe viajar para cubrir la misma distancia en 15 minutos?
-Debe viajar a 80 km/h para cubrir la misma distancia en 15 minutos, ya que una disminución en el tiempo requiere un aumento en la velocidad.
¿Qué sucede con el tiempo de viaje si se aumenta la velocidad de un automóvil?
-Al aumentar la velocidad, el tiempo de viaje disminuye, ya que se cubre la distancia en un periodo más corto.
Si un granjero tiene alimento para 72 patos durante 14 días, ¿cuántos días durará el alimento si vende 16 patos?
-El alimento durará 18 días si quedan 56 patos, ya que con menos patos el alimento durará más tiempo.
¿Qué sucede con los días que duran los alimentos si el número de patos disminuye?
-Si el número de patos disminuye, los alimentos durarán más días, ya que hay menos consumidores.
¿Qué concepto matemático se aplica cuando se reduce el número de trabajadores y aumenta el tiempo necesario para completar una tarea?
-Se aplica el concepto de proporción inversa, ya que una disminución en el número de trabajadores causa un aumento en el tiempo necesario para completar la tarea.
Outlines
📖 Introducción a la proporción inversa
El párrafo introduce un problema de matemáticas que involucra una proporción inversa. Un grupo de 5 trabajadores puede terminar un trabajo en 30 días, pero se pregunta cuántos días les tomaría a 10 trabajadores. Se explica que una proporción inversa ocurre cuando un aumento en una cantidad provoca una disminución en otra, y viceversa. Este concepto se contrasta con la proporción directa, donde ambos factores aumentan o disminuyen simultáneamente.
👷♂️ Aplicación de la proporción inversa en el trabajo de construcción
Aquí se explica cómo resolver el problema usando la proporción inversa. Si 5 hombres pueden hacer el trabajo en 30 días, se espera que 10 hombres lo terminen en menos tiempo. Se construye una tabla con los datos y se resuelve multiplicando los valores de la misma fila, obteniendo que 10 hombres pueden terminar el trabajo en 15 días. El resultado refuerza la idea de que más trabajadores reducen el tiempo necesario para completar el trabajo.
🧱 Construcción de un muro: Ejemplo de proporción inversa
Este párrafo presenta un nuevo ejemplo donde 9 trabajadores construyen un muro en 10 días, y se pregunta cuántos días tomaría si fueran 6 trabajadores. Al disminuir el número de trabajadores, aumenta el tiempo necesario para completar el trabajo. Se resuelve usando el mismo proceso de multiplicación en la misma fila de la tabla, demostrando que 6 trabajadores tomarían 15 días para completar el trabajo.
🚗 Velocidad y tiempo: Relación inversa en un viaje
El ejemplo plantea una situación donde un coche viaja a 60 km/h y cubre una distancia en 20 minutos. La pregunta es a qué velocidad debe ir el coche para cubrir la misma distancia en 15 minutos. Como el tiempo disminuye, la velocidad debe aumentar, lo que demuestra la relación inversa. Se resuelve el problema y se concluye que el coche debe viajar a 80 km/h para cubrir la distancia en menos tiempo.
🦆 Alimentación de patos: Duración de los suministros
Este ejemplo presenta un granjero que tiene comida para 72 patos durante 14 días. Si vende 16 patos, ¿cuánto tiempo durarán los alimentos? Primero, se restan los 16 patos vendidos, quedando 56 patos. Luego, se resuelve el problema mediante proporción inversa, demostrando que con menos patos, los alimentos durarán 18 días. Esto refuerza el principio de que menos consumidores prolongan el uso de recursos.
🎓 Conclusión de la lección
El párrafo finaliza la lección, reforzando el concepto de proporción inversa mediante varios ejemplos, incluidos el de trabajadores, velocidad y alimentación de animales. También resalta la importancia de aplicar correctamente estos conceptos en diferentes situaciones para obtener resultados precisos. Se felicita a los estudiantes por su desempeño durante la clase.
Mindmap
Keywords
💡Proporción inversa
💡Proporción directa
💡Tiempo
💡Velocidad
💡Número de trabajadores
💡Multiplicación de filas
💡Días
💡Alimento
💡Distancia
💡Problemas de proporciones
Highlights
Introduction to inverse proportion, where an increase in one quantity causes a decrease in another.
Inverse proportion explained through the example of construction workers completing a job.
Demonstration of solving inverse proportion using a table for the number of workers and days to complete a task.
Explanation of multiplying quantities on the same row to solve inverse proportion problems.
If 5 men can finish a job in 30 days, then 10 men will finish it in 15 days due to inverse proportion.
Example of 9 workers building a wall in 10 days and solving for how long it takes 6 workers.
In this case, reducing workers increases the time required, reinforcing the concept of inverse proportion.
Introduction of a car speed problem to further illustrate inverse proportion between speed and time.
Solving the car problem: traveling a distance at 60 km/h takes 20 minutes, while traveling the same distance in 15 minutes requires 80 km/h.
Understanding that a faster speed covers the same distance in less time.
Further reinforcement of the concept using the duck and feed example: fewer ducks result in feed lasting longer.
Solving the duck problem: If a farmer sells 16 ducks, feed for 72 ducks that lasts 14 days will last 18 days for 56 ducks.
Inverse proportion involves multiplying the same row quantities to find the missing variable.
Key takeaway: inverse proportion occurs when an increase in one quantity results in a decrease in another, and vice versa.
Summary of the lesson: more workers (or higher speed) lead to faster completion of a task, while fewer workers (or slower speed) require more time.
Transcripts
welcome back to our math class let's
start our lesson for today
with the story problem and the title of
today's story
is more is less a group of construction
workers are asked to polish a certain
rule
if 5 man can finish the set job in 30
days
how long will it take 10 men to finish
the job
to answer this kind of word problem we
need to apply the concept of
inverse proportion but what is an
inverse proportion
an inverse proportion is when an
increase in one quantity
causes the decrease of the other
quantity or
it is when a decrease in one quantity
causes the increase of the other
quantity
that is why it is called an inverse
proportion
inverse means opposite so if one
quantity
increases the other decreases or vice
versa
the quantities in this kind of
proportion affect each other
in the opposite way unlike in direct
proportion if you still remember
in a direct proportion if one quantity
increases the other also increases or if
one quantity decreases
the other also decreases that is why
inverse proportion is also called an
indirect proportion because it is the
opposite
of direct proportion now let us
understand
why we need to apply the concept of
inverse proportion
in our story problem of the day it is
given that
if five men will be polishing a road
it will take them 30 days to finish the
job
now what they think will happen if there
will be more men
who will do the same job will it take
them
more days or lesser days to finish the
job
that's right ideally if there are more
men
working together to polish the road we
expect
that they will be able to finish the job
faster
than five men okay so again
if you will increase the number of
construction workers from five men
to ten men we expect that they will be
able to finish the job
earlier or faster than 30 days therefore
okay we can conclude that the number of
workers
is inversely proportional to the time
needed to finish a certain job
because again the more men work together
the faster the job will be done or the
lesser men work together
the slower the job will be done
now how will we solve this problem using
inverse proportion
just like in direct proportion it will
be easier for us
to identify the relationship between the
quantities if we will put them
in a table like this one so we have the
number of
men and the the time or the number of
days it will take them to finish the job
it is given that if there are only 5 men
they will finish the job in 30 days
now we are asked to find the number of
days it will take
10 men to finish the same job again just
like what i mentioned earlier
if you increase the number of workers we
expect that
it will take them shorter period of time
to finish
the job now this time
since we are dealing with inverse
proportion we will not
use cross multiplication to answer the
problem
instead we will multiply
the quantities on the same row to find
the value of
n so that means we'll multiply 5
and 30
and 10 and n
so let's have it here we will have 5
times
30 will be equal to 10 times
n again we will not use cross
multiplication because this is not a
direct proportion we are now dealing
with
inverse proportion quantities that are
inversely proportional to one another
so we will multiply the quantities on
the same row
5 times 30 will give us 150 and 10 times
n will give
us 10 times n and for us to find the
value of n we'll just divide
150 by 10 and 150 divided by 10 will
give
us 15 okay that means the value of
n is 15.
therefore it will take 15 days for
5 or for 10 men to finish the same job
so it is much faster than 30 days if
there are only 5 men working
on the job now let's try some more
examples
if nine workers can build a wall in 10
days
how long will it take six workers to
build the same one
again let's start our solution with a
table
it is given that nine workers
can build a wall in 10 days now we are
asked to find
how long or the number of days it will
take
six workers to build the same wall
ideally if you will decrease the number
of workers
that will build the wall it will take
them longer
period of time to finish the job so
again
if there is a decrease in the number of
workers there will be an
increase in the number of days it will
take them to finish the job
so this is again an example of an
inverse proportion
and for us to answer inverse proportion
we will multiply the quantities or the
numbers on the same rule
so you'll have 9 times 10 is equal to 6
times n 9 times 10 will give us 90
and we'll have 6 times n to find the
value of n we'll just simply divide
90 by 6 and this will give us
15. so the value of n is 15.
so as you can see since we decreased the
number of workers the number of days
it will take them to finish the wall
increased
now let's try another example
but first again let us remember that if
there will be less number of people or
workers
it will take them longer time to finish
the task but if there will be more
people or workers working together on
the job
it will take them shorter time to finish
the task
next example at the speed of 60
kilometers per hour
a car takes 20 minutes to travel a
certain distance
at what speed must it travel this
distance
if it is to take only 15 minutes
let's have our table so the quantities
we have in the problem
is the speed because of the kph and
time indicated by minutes
so if a car is traveling at a speed of
60 kilometers it is given that
it will cover a certain distance within
20 minutes
now if you would like to finish or cover
the same distance
in 15 minutes only what do you think
should you do
with their speed should you decrease
your speed or should you
increase the speed
correct so ideally if you would like
to cover a certain distance in a shorter
period of time you have to increase your
speed
okay so a decrease in time causes
an increase in speed so again this is an
example
of quantities which are inversely
proportional and for us to answer
a problem which deals with inverse
proportion
we will multiply the numbers or the
quantities
on the same row so you'll have here 60
times 20
is equal to n times 15. 60 times 20 will
give
us 1200
then we'll have n times 15.
for us to find the value of n we'll just
divide thousand two hundred
and fifteen let's try
here eight we have eight times five that
will be forty
eight times one is eight plus four
that's twelve then we'll have
zero 0 divided by 15 is
0. therefore the value of
n is 80. so again
if you want to cover the same distance
in a lesser period of time
you have to increase your speed so from
60 it should be 80.
so slower speed will take you longer
time to arrive at your destination
and faster speed will let you arrive at
your destination
in a shorter period of time but remember
to always be
careful let's have another example
a farmer has enough feeds for 72 ducks
for 14 days
if he sells 16 ducks how long will the
feeds last
let's start our solution with a table
like this it is given that the farmer
has 72 ducks
and he has enough feeds for those ducks
for 14 days
now we are asked to find how long will
the same amount of feeds
last if he sells 16 of his
ducks okay so we put n in
under the days because this is the
question being asked
now should i put 16 under the docks
no because 16 ducks
is the number of ducks sold by the
farmer so what we need to put
here is the remaining number of ducks
and how will we get that
we simply have to subtract 72
and 16 for us to know how many more
ducks were left
to the farmer okay and 72 minus 16 will
give us 56
so we'll put 56 here and again this is
an example of an
inverse proportion because we expect
that
if there will be less number of ducts of
if there will be lesser ducts
we expect that the feeds will of course
last for a longer period of time
therefore we'll multiply numbers or the
quantities
on the same rule okay so we'll have here
72
times 14 is equal to 56 times
n and 72 times 14
okay let's solve it here will give us
okay this will be 1008
then we'll have 56 times n for us to
find the value of n
we will divide 1008 by
56 okay we'll have here one
then this will give us four and this
will be
four as well okay now let's try
eight we'll have eight times six that
will give us 48
eight times five is forty plus four
that's 44.
therefore it will um
the feeds will last for 18 days if the
farmer only has
56 ducks left
again if there will be less consumer
the the supply will last longer
and if there will be more consumer we
expect that the supply will last
shorter and that's it for our lesson for
today
you did very well
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