APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 1

Summary

El vídeo explica cómo calcular la derivada de una función y su aproximación lineal. Se utiliza la función f(x) = x^(1/3) como ejemplo. Se calcula la primera derivada y se evalúa en x=1, obteniendo f'(1) = 1/3. Luego, se encuentra la aproximación lineal de f(x) en x=1, que es L(x) = x + 2/3. Finalmente, se utilizan estas aproximaciones para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, obteniendo valores muy cercanos a los reales, demostrando la precisión de la aproximación.

Takeaways

• 🔢 La función f(x) es la raíz cúbica de x, que se escribe como x elevado a la potencia de un tercio.
• 📈 La primera derivada de f(x), f'(x), se calcula como \( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \).
• 🎯 Al evaluar la primera derivada en x = 1, f'(1) se simplifica a \( \frac{1}{3} \).
• ✏️ La fórmula para la aproximación lineal de f(x) cerca de un punto a es f(a) + f'(a)(x - a).
• 📍 Para x cercano a 1, la aproximación lineal de f(x) es \( \frac{x + 2}{3} \).
• 👉 Al aplicar la aproximación lineal para x = 0.9, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 0.9 como 0.9666... (con 6 repetido indefinidamente).
• 👈 Al aplicar la aproximación lineal para x = 1.1, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 1.1 como 1.0333... (con 3 repetido indefinidamente).
• 📊 La aproximación lineal es confiable para valores de x cercanos a 1, como 0.9 y 1.1.
• 🧮 La aproximación lineal proporciona resultados que son muy cercanos a los valores exactos de la función f(x) para x cercanos a 1.

Q & A

¿Qué función f(x) se discute en el guion?

Se discute la función f(x) que es la raíz cúbica de x, es decir, x elevado a la un tercio.

¿Cuál es la primera derivada de f(x)?

La primera derivada de f(x) es f'(x) = 1/(3x^(2/3)).

¿Cómo se calcula f'(1)?

Al sustituir x por 1 en la expresión de la derivada, f'(1) se calcula como 1/(3*1^(2/3)), que resulta en 1/3.

¿Qué es la aproximación lineal de una función en un punto dado?

La aproximación lineal, también conocida como la línea tangente, es una recta que se aproxima a la curva de la función cerca del punto dado, y se calcula como f(a) + f'(a)(x - a).

¿Cómo se determina la aproximación lineal de f(x) en x = 1?

La aproximación lineal de f(x) en x = 1 se determina sustituyendo a por 1 en la fórmula de la aproximación lineal, dando como resultado la expresión x + 2/3.

¿Para qué se usa la aproximación lineal en el guion?

La aproximación lineal se usa para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, utilizando la línea tangente cerca de x = 1.

¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 0.9 usando la aproximación lineal?

Al sustituir x por 0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 0.9 + 2/3, que se calcula como 0.96 (con un 6 repetido indefinidamente).

¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 1.1 usando la aproximación lineal?

Al sustituir x por 1.1 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 1.1 + 2/3, que se calcula como 1.03 (con un 3 repetido indefinidamente).

¿Por qué es confiable usar la aproximación lineal para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1?

Es confiable porque estos valores están cerca de 1, y la línea tangente es una buena aproximación en la cercanía del punto donde se toma la derivada.

¿Cómo se verifica la precisión de las estimaciones usando una calculadora?

Se verifica la precisión al calcular los valores aproximados y compararlos con los resultados exactos de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, observando que los valores son muy cercanos.