Derivada de Logaritmo Natural | Ejemplo 1
Summary
TLDREn este video, el profesor imparte un curso sobre derivadas, iniciando con la derivada del logaritmo natural. Expone el proceso de derivación paso a paso, utilizando ejemplos sencillos y avanzando a casos más complejos, como el logaritmo de una función con exponente. Destaca la importancia de enfocarse en el argumento del logaritmo para hallar la derivada y proporciona trucos para simplificar las expresiones. Al final, motiva a los estudiantes a practicar con ejercicios y a suscribirse al canal para más contenido educativo.
Takeaways
- 📚 El curso trata sobre cómo encontrar la derivada del logaritmo natural.
- 🔍 La derivada de una función que es logaritmo natural de algo se calcula derivando el argumento y dividiendo por la función misma.
- 📝 Se ilustra el proceso con ejemplos sencillos para facilitar la comprensión.
- 👉 Al derivar logaritmos naturales, se enfoca en el argumento y se simplifica la expresión resultante.
- 📌 La derivada del logaritmo natural de una variable 'x' es 1/x.
- 📈 En casos donde el logaritmo natural está elevado a una potencia, se multiplica la derivada por esa potencia.
- 📘 Se muestra cómo manejar la derivada de funciones que son logaritmos naturales de expresiones algebraicas.
- 📑 Se enfatiza la importancia de simplificar las expresiones después de encontrar la derivada.
- 📐 Se da un ejemplo de cómo derivar una función que es el logaritmo natural de una variable al cubo.
- 👨🏫 El profesor anima a los estudiantes a practicar con ejercicios para reforzar los conceptos aprendidos.
- 📢 Se invita a los estudiantes a suscribirse y dar like al canal para recibir más contenido similar.
Q & A
¿Qué es el curso de derivadas y qué se enseña en él?
-El curso de derivadas es una clase donde se enseña cómo encontrar la derivada de diferentes funciones matemáticas, incluyendo el logaritmo natural. En este caso, el curso se enfoca en enseñar el proceso de derivación y resolver ejemplos prácticos.
¿Cómo se encuentra la derivada de una función que es el logaritmo natural de algo?
-Para encontrar la derivada de una función que es el logaritmo natural, se toma la derivada del argumento de la función y se divide entre la función misma. Es decir, si la función es log(x), la derivada es 1/x.
¿Qué es el argumento en el contexto de derivar una función logarítmica?
-El argumento es la expresión dentro de la función logarítmica, por ejemplo, en log(3x), el argumento es 3x, y es lo que se derivará para encontrar la derivada de la función.
¿Cómo se simplifica la derivada de logaritmo natural de 3x?
-La derivada de logaritmo natural de 3x es 1/(3x). Para simplificar, se puede dividir el numerador y el denominador por 3, resultando en 1/x.
¿Qué es la regla de derivación para una función que está en el exponente?
-La regla de derivación para una función en el exponente implica que se multiplica la derivada del argumento por el exponente, y se resta 1 al exponente. Por ejemplo, si la función es e^(5x), la derivada es 5e^(5x).
¿Cómo se simplifica la derivada de la función e^(5x)?
-La derivada de e^(5x) es 5e^(5x). Para simplificar, se puede dividir el 5 del numerador y el 10 del denominador, resultando en xe^(5x)/x, que simplifica a e^(5x)/x.
¿Qué significa 'simplificar' en el contexto de matemáticas y derivación?
-Simplificar en matemáticas significa reducir una expresión a su forma más básica y fácil de entender, eliminando términos redundantes o factores comunes que pueden ser cancelados.
¿Cómo se maneja una constante multiplicando una función logarítmica al derivar?
-Cuando una constante multiplica una función logarítmica, la constante se deja fuera de la derivada y se derivan solo el argumento de la función logarítmica.
¿Por qué se simplifica la derivada de una función compuesta de varias partes?
-Se simplifica la derivada de una función compuesta para hacerla más fácil de entender y trabajar con ella, y para evitar errores en cálculos futuros.
¿Qué se debe tener en cuenta al simplificar términos en una derivada que incluye sumas o restas?
-Cuando se simplifican términos en una derivada que incluye sumas o restas, no se pueden simplificar término a término; se deben simplificar todos los términos a la vez para mantener la integridad del resultado.
¿Cuáles son algunos consejos para simplificar correctamente en matemáticas?
-Algunos consejos para simplificar correctamente incluyen factorizar expresiones, identificar y cancelar términos comunes, y asegurarse de que las operaciones sean válidas para todo el conjunto de términos involucrados.
Outlines
📚 Introducción al Curso de Derivadas
El primer párrafo presenta el inicio de un curso sobre derivadas, en particular, cómo calcular la derivada del logaritmo natural. Se enfatiza que el proceso es directo: se toma la derivada del argumento del logaritmo y se divide por el argumento mismo. Se ilustra con un ejemplo sencillo, donde la función es 'y = ln(3x)', y se muestra paso a paso cómo se llega a la derivada '1/x'. Además, se menciona la importancia de simplificar la expresión al final del proceso.
🔍 Procedimiento para Derivar el Logaritmo Natural
En el segundo párrafo, se explica con más detalle el proceso de derivación del logaritmo natural, destacando que se debe centrar en el argumento de la función. Se presentan ejemplos que incluyen exponentes y constantes multiplicando el logaritmo, mostrando cómo se manejan estas situaciones. Se enfatiza la simplificación de la expresión resultante, como se ve en el ejemplo donde se simplifica '3/(2x^3)' a '3/(2x)'. Al final, se invita a los estudiantes a practicar con ejercicios y a suscribirse al canal para recibir más contenido similar.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas
💡Logaritmo natural
💡Argumento del logaritmo
💡División
💡Función
💡Ejemplos
💡Simplificación
💡Exponente
💡Constante
💡Multiplicación de funciones
Highlights
Bienvenida al curso de derivadas y explicación de cómo encontrar la derivada del logaritmo natural.
Introducción a la regla de derivación para funciones que son logaritmos naturales de cualquier expresión.
La derivada de una función logarítmica se calcula dividiendo la derivada del argumento por la función misma.
Ejemplo práctico de derivación del logaritmo natural de 3x, simplificando el resultado.
Explicación de cómo simplificar fracciones al dividir exponentes.
Derivación del logaritmo natural de una función con exponente, ejemplificada con e^(5x).
Proceso de derivación incluye la manipulación de exponentes y la simplificación de términos.
Importancia de simplificar la derivada para una presentación más clara.
Ejercicio adicional de derivación con constante multiplicada por el logaritmo natural, demostrando la regla de留下了
La constante en una función logarítmica se deja fuera de la derivada y se multiplica por la derivada del argumento.
Demostración de la derivación de logaritmo natural multiplicado por una constante, simplificando la expresión.
Ejercicios de práctica propuestos al final del video para reforzar los conceptos aprendidos.
Invitación a suscribirse y dar like al canal para recibir más contenido educativo.
Recordatorio de que los ejercicios de práctica están disponibles para aplicar los conocimientos adquiridos.
Aclaración sobre cómo abordar la derivación de funciones que no son simplemente constantes multiplicadas por el logaritmo natural.
Explicación detallada de la derivación de funciones complejas, incluyendo la manipulación de exponentes y términos variables.
Sugerencia de ver el curso completo para un entendimiento más profundo de derivadas.
Despedida del video con un mensaje de éxito en tareas o evaluaciones y una invitación a interactuar con el canal.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de derivadas y
ahora veremos cómo encontrar la derivada
del logaritmo natural
[Música]
i
[Música]
a
y en este vídeo pues vamos a resolver
varios ejercicios empezando por el más
sencillo aquí tenemos una función y
igual a logaritmo natural de algo no
importa lo que esté aquí si en el
argumento de este logaritmo lo
importante es que si nosotros llegamos a
tener una función cualquier función que
sea logaritmo natural de algo sin aquí
puede estar cualquier expresión entonces
la derivada de esa función sería miren
aquí está sencillo simplemente a este
argumento le hallamos la derivada y eso
siempre se tiene que dividir por la
misma función que esté aquí en el
argumento obviamente pues lo vamos a ver
con varios ejemplos para que simplemente
practiquemos que esto es muy sencillo
entonces aquí de alguna vez vamos a
encontrar la derivada entonces cómo
vamos a encontrar la derivada de la
función ye pues escribimos derivada de y
y eso es igual ya sabemos que siempre la
derivada del logaritmo natural de y lo
que sea nos va a dar una división
entonces que escribimos en el numerador
de esa división miren que en este caso
el argumento
3x y en eso es en lo que debemos
fijarnos para encontrar la derivada del
logaritmo natural ya aquí no vamos a
volver a escribir logaritmo natural
porque la derivada simplemente es lo que
está en el argumento entonces en el
numerador que hacemos derivar ese
argumento entonces la derivada de 3x es
3 y en el denominador dejamos ese mismo
argumento o sea como aquí dice 3x pues
dejamos 3x y ya ahí encontramos la
derivada de la función logaritmo natural
de 3x obviamente siempre en matemáticas
cuando se pueda simplificar escribir más
sencillo alguna expresión pues el
siguiente paso sería simplificar en este
caso vuelvo a escribir la derivada de
ella es igual y aquí podemos simplificar
en este caso podemos sacar tercera al
numerador y denominador entonces sacamos
tercera tercera de 3 1 y tercera de 3 1
entonces que nos quedó simplemente en el
numerador dice 1 sobre y en el
denominador dice 1 por equis que eso es
y ahora si esta ya es la derivada
escrita un poco mejor entonces esto 1
sobre x es la derivada del logaritmo
natural de 3x y como la idea es
practicar pues entonces vamos a resolver
otro ejercicio vamos ahora a derivar
esta función en este caso pues dice efe
de x no hay problema simplemente pues la
derivada es f derivada o más bien
derivada de f ex tenemos simplemente que
escribirlo aquí la cometa de shannon
entonces siempre cuando tengamos
logaritmo natural lo que hacemos es
fijarnos en el argumento sí porque eso
es lo que va a quedar acá entonces en el
numerador que se hace hallamos la
derivada del argumento entonces aquí
esta derivada acordémonos que bajamos el
exponente y restamos 1 entonces es
exponente se multiplica con el 5 no aquí
sería 5 por 2 10x y al exponente le
restamos 12 menos 11 sobre en el
denominador escribimos el argumento
exactamente igual en este caso sería 5 x
al cuadrado esta ya es la derivada de la
función pero como siempre les digo hay
que simplificar para escribir la
respuesta un poquito mejor entonces aquí
sigo escribiendo
de fx es igual y simplificamos entonces
aquí podemos sacar quinta quinta de 10 2
quinta de 5 una y aquí podemos
simplificar una equis no aquí acordemos
que dice x y x al cuadrado pues quiere
decir x por equis entonces eliminamos
una x con una de las dos que están en el
denominador y nos queda solamente una
entonces que nos quedó en el numerador
nos quedó solamente el 2 sobre y en el
denominador nos quedó 1 por x que eso es
x y ya esta es la derivada de la función
porque ya sé que van a tener la pregunta
de por qué x dividido en x al cuadrado
queda una sola x acordémonos que bueno
voy a escribir solamente las x en el
numerador decía x y en el denominador
decía x al cuadrado que eso quiere decir
x por x por eso es que uno dice que
simplifica una x de arriba con una de
abajo si simplemente queda una x por eso
aquí pues sólo resulta es como tachando
el exponente no por eso es que queda una
sola x en el denominador y por último y
antes de dejarles los ejercicios de
práctica vamos a resolver esta derivada
entonces aquí nuevamente tenemos el
logaritmo natural que es
que cambia pues que el logaritmo natural
está multiplicado por una constante aquí
pues simplemente acordémonos que cuando
tenemos una constante por una función se
deja la constante y se deriva la función
entonces aquí sacamos la derivada
entonces la derivada de y es igual la
constante que multiplica la función
simplemente se escribe ahí aparte
dejamos la constante y lo multiplicamos
por la derivada de la función que ya
saben ustedes para derivar el logaritmo
natural solamente miramos el argumento
entonces qué hacemos en el numerador
derivamos el argumento ya más rápido 3 x
2 6 x y al exponente de la restamos 13
menos 12 sobre esto mismo 2 x al cubo
nuevamente simplificamos entonces aquí
podemos sacar mitad mitad de 21 y mitad
de 63 lo mismo podemos simplificar las x
arriba miren que hay 2x y abajo hay 3
entonces eliminamos esas dos de arriba
con 2 de abajo y abajo solamente nos
queda una x
aquí pues por eso quitamos el exponente
pues porque simplemente queda uno en el
exponente no queda una sola equis y ya
solamente queda escribir la respuesta
entonces que escribimos la derivada de
que es igual en el numerador que nos
quedó dice tres por tres acordémonos que
este tres se multiplica por el numerador
generalmente uno dice que le coloca un 1
en el denominador para poderlo
multiplicar aquí dice 3 por 3 y nada más
3 por 3 eso es 9 sobre y abajo dice uno
por uno por equis que eso es
y ya con esto termino mi explicación
como siempre por último les voy a dejar
unos ejercicios para que ustedes
practiquen ya saben que pueden pausar el
vídeo ustedes van a encontrar la
derivada de estas dos funciones primera
y segunda y la respuesta va a aparecer
en 32 espera un momento si llegaste
hasta esta parte del vídeo supongo que
fue porque te gustó te sirvió porque
aprendiste algo nuevo porque el profesor
explica muy bien bueno o por alguna de
estas razones y si es así te invito a
que apoyen mi canal suscribiéndote y
dándole like al vídeo
ahí abajo like
bueno ahora sí te dejo para que observes
de la respuesta en el primero como hay
una constante multiplicada por el
logaritmo natural entonces dejamos esta
constante cuidado que si ustedes llegan
a tener aquí aparte algo que no sea una
constante o sea algo que también tenga
la variable en este caso sería la equis
si si aquí hay algo que tenga la equis
eso ya sería una multiplicación de
funciones así que eso ya lo vamos a ver
más adelante los números dos y ya lo
vimos bueno entonces se resolvería como
una multiplicación el primero por la
derivada del segundo más el segundo por
la derivada del primero pero bueno aquí
es una constante entonces se deja esa
constante y se deriva el logaritmo
natural solamente nos fijamos en el
argumento en el numerador se deriva a
ese argumento bajamos el exponente 3 y
se le resta unos 3 menos 12 y ese
argumento lo dejamos en el denominador
aquí simplemente pues que simplificamos
las 2 x de arriba con 2 de abajo perdón
abajo nos quedaría una x si está x en el
numerador pues queda 2 x 36 en el
segundo no importa lo que diga aquí
simplemente siempre se hace lo mismo
entonces encontramos la derivada no se
les olvide colocarle
y hallamos la derivada en el numerador
la derivada del argumento la derivada de
esto sería 3 por 2 6 x menos y la
derivada de 2x que es 2 sobre y dejamos
esto en el denominador cuidado no
cometan el error de decir que aquí
simplificamos el 3 con el 6 porque
acuérdense que si hay suma o resta no se
puede hacer simplificación término a
término si no tendremos que simplificar
todos los términos a la vez si eso ya lo
vimos en un vídeo de consejos de
simplificación bueno
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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