DERIVADA DE LOS 4 PASOS CON RAICES
Summary
TLDREn este video, se presenta un ejercicio de derivadas utilizando la fórmula del límite. El profesor explica paso a paso cómo aplicar el límite para encontrar la derivada de la función raíz de X. El proceso involucra cuatro pasos, destacando la importancia de la racionalización para evitar una indeterminación de 0/0. Finalmente, tras simplificar y aplicar el límite, se llega a la derivada de la función, que es 1 sobre 2 veces la raíz de X. El video concluye con una explicación detallada de cada paso y la resolución completa del ejercicio.
Takeaways
- 📘 El ejercicio se encuentra en la página 66 y se resuelve utilizando la fórmula de derivación de cuatro pasos.
- 🔢 El primer paso es encontrar F(x+h), reemplazando x por (x+h) en la función.
- ➖ En el segundo paso, se resta F(x) a F(x+h), pero la resta no se puede resolver directamente.
- 🔄 Para el paso tres, se divide el resultado del paso dos por h.
- 🚫 Se menciona que no se puede dividir h entre h, ya que están dentro de una raíz y hay una jerarquía de operaciones que no se puede saltar.
- 🔄 El cuarto paso implica aplicar el límite cuando h tiende a cero, pero antes se debe racionalizar el denominador para evitar divisiones por cero.
- 📐 Se utiliza la racionalización para eliminar las raíces cuadradas en el denominador.
- 🔢 Al racionalizar, se multiplica por el conjugado del binomio para eliminar las raíces.
- ➗ Se resuelve la resta en el numerador después de la racionalización, facilitando la división.
- 🔍 Al aplicar el límite cuando h tiende a cero, se obtiene la derivada de la función que se buscaba.
- 📝 Se concluye que la derivada es 1/2 veces la raíz de x, y se agradece a los espectadores por seguir el tutorial.
Q & A
¿Cuál es el objetivo del ejercicio que se presenta en el guion?
-El objetivo es resolver una derivada utilizando la fórmula del límite de cuatro pasos.
¿Cuál es la función que se está derivando en el ejercicio?
-La función que se está derivando es la raíz de X, es decir, \( \sqrt{X} \).
¿Cuál es el primer paso al resolver la derivada según el guion?
-El primer paso es encontrar \( F(x+h) \), que es la función original \( F(x) \) pero reemplazando X por \( x+h \).
¿Por qué no se puede simplificar la resta en el paso 2 del ejercicio?
-No se puede simplificar la resta en el paso 2 porque ambas expresiones están dentro de una raíz y no se pueden combinar directamente.
¿Qué estrategia se sugiere para evitar la división por cero en el paso 3 del ejercicio?
-Se sugiere racionalizar el binomio para evitar la división por cero al multiplicar por el conjugado de lo que está dentro de la raíz.
¿Qué significa 'racionalizar' en el contexto de este ejercicio?
-Racionalizar significa eliminar las raíces al cuadrado de una expresión multiplicando por el conjugado correspondiente.
¿Cuál es la fórmula que se utiliza para encontrar la derivada según el guion?
-La fórmula utilizada es el límite cuando h tiende a 0 de \( (F(x+h) - F(x)) / h \).
¿Qué significa 'jerarquía de operaciones' mencionada en el guion?
-La 'jerarquía de operaciones' hace referencia al orden en que se realizan las operaciones matemáticas, como paréntesis, exponentes, multiplicación y división, y sumas y restas.
¿Cómo se resuelve el problema de la división por cero que aparece en el paso 3 del ejercicio?
-Se resuelve el problema de la división por cero al racionalizar el binomio y luego realizar la división entre los términos sin raíces.
¿Cuál es el resultado final de aplicar el límite cuando h tiende a cero en el ejercicio?
-El resultado final es \( 1/(2\sqrt{x}) \), que es la derivada de la función \( \sqrt{x} \).
¿Qué significa el término 'binomio conjugado' utilizado en el guion?
-Un 'binomio conjugado' es la expresión que resulta de cambiar el signo del término medio en un binomio, como en \( a - b \) se convierte en \( a + b \).
Outlines
📘 Resolviendo la derivada usando la fórmula de los 4 pasos
En este párrafo, se introduce un nuevo ejercicio de la página 66 que requiere el uso de la fórmula de la derivada mediante los cuatro pasos. El presentador explica cómo utilizar el límite cuando h tiende a 0 para obtener la derivada de una función dada, comenzando con F(x + h) menos F(x) dividido entre h. En este caso, la función es la raíz cuadrada de X. El primer paso es encontrar F(x + h) reemplazando la X en la función original por X + h.
➗ Procedimiento de la resta en la derivada
Aquí, el presentador avanza al segundo paso, que es restar F(x) de F(x + h). Se menciona que esta resta no puede resolverse directamente debido a la presencia de raíces cuadradas. Luego se describe cómo representar la resta de forma horizontal y se concluye que el problema se debe a la imposibilidad de simplificar las raíces en este paso, lo que prepara el terreno para el siguiente paso en el proceso de derivación.
⚠️ Complicaciones con la división en el tercer paso
En el tercer paso, se intenta dividir el resultado obtenido en el paso 2 por h, pero surgen complicaciones porque las raíces y la variable h no permiten simplificar la expresión. El presentador señala que aplicar el límite en este punto conduce a una forma indefinida de 0 sobre 0, lo que sugiere que algo más debe hacerse antes de proceder al paso 4.
🔄 Solución mediante la racionalización
El presentador propone la racionalización como solución a la forma indefinida de 0 sobre 0. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado de la expresión con raíces. Al hacerlo, las raíces desaparecen al elevarse al cuadrado, lo que permite simplificar la expresión. Esta estrategia elimina las raíces y permite restar los términos en el numerador, resultando en h, que se simplifica con la h del denominador.
✅ Aplicación del límite y resultado final
En este párrafo se explica cómo, tras racionalizar y simplificar la expresión, se puede aplicar el límite cuando h tiende a 0. Esto permite resolver la derivada correctamente, resultando en 1 sobre 2 veces la raíz de X. Finalmente, se concluye que este es el resultado correcto de la derivada, y el presentador agradece a los espectadores por su atención, terminando la explicación del ejercicio.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Límite
💡Racionalización
💡Función
💡H tendiendo a 0
💡Binomios conjugados
💡Indeterminación 0/0
💡Jerarquía de operaciones
💡Raíz cuadrada
💡Fórmula de la derivada
Highlights
Presentación del ejercicio de derivada de la página 66 utilizando la fórmula conocida.
Explicación de la fórmula límite cuando h tiende a 0 para F(x+h) - F(x) todo dividido entre h.
Paso 1: Encontrar F(x+h) reemplazando la x en la función por x + h.
Explicación de cómo F(x+h) no se puede simplificar ya que x + h está dentro de una raíz cuadrada.
Paso 2: Resta de F(x+h) menos F(x) y la imposibilidad de resolver la resta directamente.
Consejo: Reescribir la resta de forma horizontal como dos raíces menos dos raíces.
Paso 3: División del resultado del paso 2 entre h, con explicación de por qué h no se puede simplificar fácilmente.
Advertencia sobre cómo la jerarquía de operaciones evita la simplificación entre la h y las raíces.
Problema identificado al intentar aplicar el límite en el paso 4, resultando en 0/0.
Solución sugerida: Racionalizar el binomio utilizando la conjugada.
Multiplicación de binomios conjugados para eliminar las raíces en el numerador.
Resolución de la resta en el numerador después de eliminar las raíces.
Simplificación final al dividir h entre h y aplicar el límite cuando h tiende a 0.
Resultado final: la derivada es igual a 1 sobre 2 veces la raíz de x.
Conclusión del ejercicio con la obtención de la derivada de la función raíz de x.
Transcripts
Bueno ahora vamos a ver otro ejercicio
ahora de la página 66
voy a comenzar a presentar otra vez
es este ejercicio aquí ya igual la raíz
de X de la página 66 de la misma manera
tenemos que resolverlo utilizando la
fórmula que ya conocemos para encontrar
la derivada de los cuatro pasos
que dice así el límite cuando h tiende a
0 para F de x + h menos F de x y todo
eso dividido entre H esto de aquí es lo
que vamos a usar Esta es la fórmula
vamos con el paso 1 el paso 1 es
encontrar FX + H Entonces esto lo voy a
obtener
tomando la función porque acuérdense que
ya es lo mismo que F de X Entonces esta
es la función la voy a tomar tiene la
forma raíz de X voy a quitar la x y en
su lugar aquí adentro voy a poner el
valor x + h Sí en lugar de X ahora vale
x + h y bueno ojo con esto aquí a estos
valores x + h si gustan lo pueden poner
sin paréntesis también es correcto estos
valores no se les puede sacar raíz
cuadrada menos porque se están sumando
Entonces esto no hay nada que hacérsela
no se puede desarrollar Entonces
vamos a continuar con el paso 2
paso 2 tengo que hacer
restarle menos F de X
a esto de aquí que ya tengo le voy a
restar FX
entonces
esta resta no se puede resolver fíjense
bien ahí acá Parece que tengo un dos
manos esto se fue paso 2 Sí en El Paso 2
voy a restar
esto de aquí o sea la función original
pero esta resta ojo con esto esa resta
no se puede restar no se puede resolver
no se puede hacer esa resta o resolver
esa resta Entonces qué hago si no se
puede resolver bueno la otra opción es
Aquí la estoy restando de forma vertical
lo de arriba menos lo de abajo lo puedo
escribir de forma horizontal
esta raíz menos esta otra
y está aquí tiene un poco esta forma se
fija
luego en El Paso 3
lo que voy a hacer es dividir todo eso
dividido entre H verdad el resultado del
paso 2 Entre H entonces
que voy a hacer pues esto que me quedó
del paso 2
Lo voy a dividir entre h y Bueno aquí ya
me metí en un lío porque esto no parece
tener solución un detalle esta H no se
puede dividir con esta H por mucho que
se antoje esta x no se puede restar por
nuestra x Ok están comprometidos dentro
de una raíz hay una división además
recuerden la jerarquía de operaciones
uno no puede saltarse exagerarquía
entonces fíjense bien Qué pasaría si me
voy hasta el paso 4 se aplicó el límite
cuando h tiende a cero Pues aquí lo que
va a ocurrir Es que aquí me va a quedar
un cero y aquí a otro cero Y entonces
esto Me quedaré así raíz de X menos raíz
de x entre 0 pues Esto me da cero entre
cero y Santo cielo Esto no se puede
entonces eso No no estoy camino adecuado
entonces
antes de saltarme al paso 4 quiere decir
que tengo que hacer algo entre el
nosotros y el paso 4 hay algo que
necesito hacer para evitar ese cero
entre cero se acuerdan cuando empezamos
a trabajar los límites que a veces nos
ocurría eso y qué hacíamos Pues en los
límites Donde había raíz lo que hacíamos
es racionalizar
Ah pues vamos a hacer eso este este
binomio que está aquí lo voy a escribir
lo de adentro de la primera raíz
igualito la segunda raíz igualita pero
este signo de aquí lo voy a poner
contrario acá y luego voy a repetir todo
esto idéntico en la parte de abajo para
poder racionalizar y lo que voy a hacer
pues es multiplicar lo de arriba por lo
de arriba como aquí en esta parte de
arriba tengo binomios conjugados este
tiene la forma a menos B este tiene la
forma a + b Pues acá me va a quedar un
acua cuadrada menos B cuadrada cómo
queda esto cuadrado de este de aquí pues
al Elevar al cuadrado pierde la raíz
menos
cuadrado de este otro y también pierde
la raíz luego en la parte de abajo voy a
usar paréntesis H que multiplica a todo
esto y lo dejo así expresar con
paréntesis no lo resuelvo solo lo dejo
expresar ahora un detalle aquí fíjense
bien
aquí ya puedo restar porque ya no hay
raíces Entonces ya puedo resolver la
resta en esta parte de acá arriba del
numerador puedo restar Esto si es
eliminar acuérdense restar y eliminar es
lo mismo a x le resto x y me queda 0 H +
0 cuánto da h+0 pues h
y acá abajo sigue quedando lo mismo una
vez que la H ya quedó solita que ya no
está comprometida en una suma o en una
resta o en una raíz ahora sí ya puedo
dividir
el de arriba con el de abajo vean la
diferencia de estos de acá se restaron x
- x - 0 H entre H me da uno y ese uno se
pone aquí y luego me queda acá arriba
bueno en este caso queda uno sobre y
aquí abajo me queda esto de acá verdad
Entonces Déjenme vuelvo esto Entonces
esto queda
uno de la división H entre H me da 1
entre esto que está aquí en el
paréntesis raíz de x + h
+ raíz de x y a esto que me quedó ahora
sí ya le puedo aplicar el paso 4 que es
el límite cuando h tiende a cero para
esto que me quedo aquí Y entonces qué va
a pasar pues que donde hay H voy a poner
un cero entonces Esto va a quedar así
uno sobre raíz de X + 0 + raíz de X X +
0 pues me da x entonces me queda uno
sobre raíz de X más otra raíz de X Y
esto es igual a 1 sobre 2 veces la misma
raíz de x y esto de aquí es la derivada
de esta función que está acá y ahí dice
que y ahí se termina ya ya nos quedó
resuelto Esto entonces Bueno
ahí está Espero que les haya servido
esta grabación Muchas gracias
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