¿por qué la derivada de ln(x)= 1/x?

Summary

En este video, un estudiante explica de manera clara y detallada cómo obtener la derivada del logaritmo natural de X, utilizando la definición de derivada y propiedades de los logaritmos. A través de una serie de pasos matemáticos, demuestra que la derivada es igual a 1 sobre X, aprovechando el concepto de límite y el número 'e'. La explicación es comprensible, incluso para quienes no están tan familiarizados con el cálculo, y termina con una invitación a seguir al creador para más contenido educativo.

Takeaways

• 😀 Se muestra cómo explicar la derivada del logaritmo natural de X de manera sencilla y detallada.
• 😀 Se utiliza la definición de la derivada para demostrar el resultado paso a paso.
• 😀 Se introduce el concepto de límite y se aplica para calcular la derivada.
• 😀 Se explica la relación entre logaritmos, especialmente la propiedad que permite restar logaritmos de dos números.
• 😀 Se hace un cambio de variable para simplificar el proceso de derivación.
• 😀 Se utiliza la propiedad de los logaritmos que permite escribir una expresión como un logaritmo natural.
• 😀 Se aplica una factorización para simplificar la expresión que involucra logaritmos.
• 😀 Se demuestra que el límite de una expresión matemática se aproxima a una constante, en este caso, el número 'e'.
• 😀 Se evalúa el límite, utilizando la definición del número 'e' como una constante.
• 😀 Se concluye que la derivada del logaritmo natural de X es igual a 1 sobre X, lo que responde a la pregunta planteada inicialmente.
• 😀 Se cierra el video invitando a los espectadores a dar like, suscribirse y seguir el canal para más contenido educativo.

Q & A

¿Por qué la derivada del logaritmo natural de X es 1 sobre X?

La derivada del logaritmo natural de X se obtiene utilizando la definición de derivada y las propiedades de los logaritmos, como el logaritmo de una fracción y el cambio de variable. Al evaluar los límites, se llega a la conclusión de que la derivada es 1 sobre X.

¿Qué definición se usa para derivar el logaritmo natural de X?

Se usa la definición de derivada como el límite cuando H tiende a 0 de la expresión (f(x + h) - f(x)) / h.

¿Cómo se expresa f(x) y f(x + h) en la demostración?

Se expresa como f(x) = logaritmo natural de X y f(x + h) = logaritmo natural de (x + h).

¿Qué propiedad de los logaritmos se utiliza durante la demostración?

Se utiliza la propiedad de que el logaritmo natural de A menos el logaritmo natural de B es igual al logaritmo natural de A sobre B.

¿Cómo se reestructura la expresión usando la propiedad de los logaritmos?

La expresión (logaritmo natural de (x + h) - logaritmo natural de X) se reestructura como logaritmo natural de ((x + h) / x).

¿Cuál es el cambio de variable realizado durante la demostración?

El cambio de variable es u = x / h, lo que simplifica la expresión y permite evaluar el límite cuando u tiende a infinito.

¿Qué se logra al hacer el cambio de variable u = x / h?

Este cambio facilita la evaluación del límite y ayuda a simplificar la expresión logarítmica, lo que lleva al resultado final.

¿Qué ocurre con el límite cuando u tiende a infinito?

Cuando u tiende a infinito, la expresión logarítmica se convierte en el logaritmo natural de e, ya que se evalúa como el límite de (1 + 1 / u) elevado a u.

¿Qué propiedad de los logaritmos se utiliza al convertir el u multiplicando el logaritmo en un exponente?

Se utiliza la propiedad de que un número multiplicando un logaritmo puede reescribirse como el logaritmo de ese número elevado a la potencia indicada.

¿Por qué el límite puede evaluarse como logaritmo natural de e?

Esto se debe a la definición del número e, que es el límite cuando u tiende a infinito de (1 + 1/u) elevado a u, lo cual es igual a e. El logaritmo natural de e es 1.

¿Cómo se obtiene la respuesta final de que la derivada del logaritmo natural de X es 1 sobre X?

Una vez evaluado el límite, se sustituye el logaritmo natural de e por 1, y se obtiene el resultado final de que la derivada es 1 sobre X.