Derivando desde cero (parte 1 de 2) (Introducción a las derivadas-derivadas básicas)
Summary
TLDREn este video, se introduce y explica fundamentalmente el cálculo diferencial, centrándose en las reglas básicas para derivar funciones. Se discuten las derivadas de constantes, la multiplicación de constantes por variables, la derivada de la variable x, y las reglas para derivar potencias de x. Además, se ilustran estas reglas con ejemplos prácticos y se menciona que se profundizará en futuras partes del video, incluyendo derivadas de funciones con exponentes fraccionarios.
Takeaways
- 😀 La derivada de una constante es siempre cero.
- 🔢 La derivada de una variable multiplicada por una constante se reduce a la constante multiplicada por la derivada de la variable, que es 1.
- 📚 La derivada de una variable a una potencia es la variable con la potencia disminuida en uno, multiplicada por el exponente original.
- 📝 La derivada de una potencia de x, donde la potencia es un número, se calcula utilizando la fórmula n * x^(n-1).
- 👉 La derivada de una función que es una suma o resta de otras funciones es la suma o resta de sus derivadas individuales.
- 📌 La propiedad de la suma y resta de funciones se aplica a cualquier número de funciones, no solo dos.
- 🎓 La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.
- 📘 La derivada de x elevado a cero es igual a uno, debido a que cualquier número elevado a cero es uno.
- 👌 La derivada de una función es independiente del signo de la función, ya que el signo se mantiene en la derivada.
- 🔄 La derivada de una función es una herramienta fundamental para entender cómo cambia la función en relación con el eje de las x.
Q & A
¿Qué es la derivada de una constante según el script?
-La derivada de una constante es siempre cero, ya que no cambia al variar el valor de la variable.
Si una función es de la forma 'cx', ¿cuál es su derivada según lo explicado en el video?
-La derivada de una función de la forma 'cx', donde 'c' es una constante y 'x' es la variable, es simplemente 'c', ya que la variable 'x' desaparece y se queda con la constante.
¿Cómo se calcula la derivada de una variable 'x' elevada a un exponente 'n'?
-La derivada de 'x' elevado a 'n' se calcula como 'n' veces 'x' elevado a 'n-1', es decir, 'nx^(n-1)'.
Si se tiene una función que es la suma de varias funciones, ¿cómo se calcula su derivada?
-La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función individualmente, es decir, si la función es f(x) + g(x), su derivada es f'(x) + g'(x).
¿Qué pasa con la derivada de una función cuando el exponente es negativo?
-Cuando el exponente es negativo, la derivada sigue la misma fórmula pero con un signo negativo, por ejemplo, la derivada de x^(-n) es -n*x^(-n-1).
Si una función es una constante multiplicada por una variable, ¿cómo se ve afectada su derivada?
-La derivada de una constante multiplicada por una variable es simplemente la constante, ya que la variable se 'desaparece' en el proceso de derivación.
¿Cuál es la derivada de una función que es la suma de una constante y una variable?
-La derivada de una función que es la suma de una constante y una variable es la derivada de la variable, ya que la constante se 'cancela out' en la derivada.
¿Cómo se relaciona la derivada de una función con la idea de cambio instantáneo de una variable?
-La derivada de una función representa el cambio instantáneo de la variable con respecto a un cambio en otra variable, generalmente el tiempo o una medida de distancia.
¿Por qué es importante entender las reglas de derivación para las potencias de 'x'?
-Es importante entender las reglas de derivación para las potencias de 'x' porque son muy comunes en matemáticas y ciencias aplicadas, y son la base para entender más conceptos avanzados de derivación.
¿Cómo se calcula la derivada de una función que es la suma de múltiples términos con exponentes?
-La derivada de una función que es la suma de múltiples términos con exponentes se calcula derivando cada término por separado y luego sumando las derivadas resultantes.
Outlines
📚 Introducción a las derivadas y reglas básicas
El primer párrafo introduce el tema del cálculo diferencial, enfocándose en las derivadas. Se mencionan las reglas fundamentales, como la derivada de una constante (que es cero), la derivada de una variable multiplicada por una constante, y la derivada de una variable a la potencia de un número. Se proporcionan ejemplos para ilustrar estas reglas, como la derivada de 15, -42 y fracciones como 9/5. Además, se presenta la segunda regla, relacionada con la multiplicación de una constante por una variable, y se enfatiza la importancia de comprender estas reglas antes de avanzar.
🔍 Explicación de la regla de derivación de potencias y su aplicación
Este párrafo se centra en la regla de derivación para funciones en forma de potencias, es decir, f(x) = x^n. Se describe el proceso de derivar una potencia, donde el exponente se reduce en uno, y se conservan el número y la variable base. Se incluyen ejemplos numéricos y se discuten casos con exponentes negativos, destacando la importancia de recordar que la derivada de x (a cualquier potencia) es 1, lo cual se utiliza para resolver casos en que el exponente es 1 o se omite.
📘 Aplicação de reglas de derivación a funciones combinadas
El tercer párrafo explora cómo derivar funciones que son la suma o diferencia de otras funciones, como c * f(x), donde c es una constante y f(x) es una función de x. Se ejemplifica la derivada de una constante multiplicada por una función, como 6 * x^11, y se muestra cómo se puede simplificar el proceso de derivación. También se discuten casos donde la función es una potencia negativa, y se enfatiza la coherencia en el proceso de derivación, comparando diferentes enfoques y técnicas.
📌 Conclusión del video sobre derivadas y anticipación de contenidos futuros
El último párrafo concluye el video introductorio sobre derivadas, resumiendo los conceptos aprendidos y destacando la importancia de comprender cada fórmula antes de aplicarlas en ejercicios más complejos. Se menciona que el orden en que se presentan las reglas puede variar en diferentes fuentes, pero la clave es la comprensión. Además, se anuncia un segundo video que incluirá los mismos conceptos pero también abordará derivadas de funciones con exponentes fraccionarios.
Mindmap
Keywords
💡derivada
💡constante
💡potenciación
💡multiplicación por constante
💡suma y resta de funciones
💡regla de derivación
💡función
💡exponente
💡variable
💡táctica de aprendizaje
💡aplicación de reglas
Highlights
Introducción al cálculo diferencial y concepto básico de derivadas.
La derivada de una constante es siempre cero.
La derivada de una constante multiplicada por una variable es la constante.
La derivada de una variable x es igual a 1.
La derivada de una potencia de x, x^n, es n*x^(n-1).
Ejemplo de derivación de x^9 y x^(-4).
La derivada de x elevado a cero es igual a uno.
La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.
Ejemplo de derivación de 6x^11 y 3x.
La propiedad de la suma y resta en derivación: la derivada de una suma es la suma de las derivadas.
Ejemplo de derivación de funciones sumadas y restadas.
Importancia de entender las reglas de derivación antes de aplicarlas en ejercicios.
La derivada de una función constante, como 10, es cero.
La derivada de una fracción, como 9/5, es cero.
La derivada de una función que es la suma de múltiples términos se calcula derivando cada término por separado.
Ejemplo de derivación de una función que es la suma de tres términos diferentes.
La derivada de una constante por sí sola es siempre cero.
Conclusión del video introductorio a las derivadas con una segunda parte planeada para profundizar más.
Transcripts
bien en esta oportunidad quiero que
trabajemos algo de cálculo diferencial y
específicamente en este vídeo quise
llamarlo derivando desde cero la idea
por supuesto es que veamos lo más básico
del cálculo diferencial de las derivadas
y en el otro vídeo la parte 2 pues vamos
a profundizar lo que veamos en este
vídeo vamos a empezar
bien la primera regla que quiero que
tengamos en cuenta es la siguiente si
una función es igual a c donde se es una
constante que hace referencia a un
número siempre que ustedes les hablen de
constantes hace referencia a números por
ejemplo vamos que se allegó a la 10 oye
igual a 50 llegó a la 8 llegó al menos 4
llegó a la pi llegó a las 3 medios
cualquier número sea el que sea vamos a
decir que la derivada que lo vamos a
escribir como ye prima de aquí en
adelante digamos que hacer la anotación
más utilizada aunque posteriormente
vamos a hacer uso de otra pero bueno por
ahora vamos a utilizar esta es la
función de prima o sea que con comillas
es la derivada de la función de prima es
igual a cero siempre siempre que tengan
un número su verdad es cero veamos
algunos ejemplos para que nos quede
bastante claro nuestro ejemplo 1
coloquemos un número cualquiera por
ejemplo y vamos a igual a 15 entonces
concluimos que ye prima o sea la ayuda
de 15 es simplemente
y eso es todo coloquemos cualquier otro
por acá o podría ser incluso negativo
digamos ya igual a menos 42 entonces de
prima que su derivada es cero
simplemente seis positivos de negativos
siempre será cero y coloquemos un tercer
ejemplo que incluso como les mencioné
antes podría ser un fraccionario digamos
de igual a nueve quintos también
simplemente decimos que la derivada es
igual a cero
nuestra segunda regla es esta llegó a la
c ya sabemos que ese es una constante
pero esta vez va a estar ya no va a
estar sola si no va a estar multiplica
específicamente por equis esto cuando
pase eso vamos a decir que la derivada
es decir que prima es simplemente se
visto tengan mucho cuidado de pronto no
con que no parezca contradictorio no
porque aquí es digamos que la derivada
de todo número era cero y aquí ya nos
dio 0 fíjense que acá la c está sola
obligatoriamente está solo el 15 el
menos 42 el 9 quintos ahí de acero pero
en este caso como la c acompaña a la
variable x la que se va a desaparecer
llamémoslo así por ahora es la equis y
nos va a quedar viva la constante c
veamos un ejemplo para que nos quede en
claro y más adelante les voy a contar un
poquito sobre esto aplicando otra regla
y digamos que ahí como que se va a
entender mucho mejor porque es que esto
da c entonces coloquemos supongamos de
nuestro ejemplo 1 cualquier cosa digamos
ya igual a 8 acompañado de x por
supuesto que simplemente decimos que
sería igual a 8 nada más esto por ahora
vamos a verlo así y como les digo más
adelante lo vamos a ver como con más más
calma y cómo
digamos que relacionando con otra cosa
que nos va a servir muchísimo digamos ya
igual a negativo digamos menos 7x
entonces ya prima simplemente sería
menos 7 se conserva común y corriente
como ésta y la constante en este caso
menos 7 queda exactamente igual lista
nuestra tercera regla es ésta acá ya
iguala x únicamente va a estar la x
solita tal cual como está ahí entonces
vamos a decir que esta derivada
simplemente va a ser igual a 1 listo
entonces si ustedes se fijan esto se
parece muchísimo lo que acabamos de
hacer aquí en nuestra segunda regleta
ahora teníamos una constante
multiplicada por equis y fíjense que
quedó viva la constante en este caso es
como digamos si el número que acompaña
la equis es un 1 cierto 1 invisible
porque pues ya sabemos que todo número x
1 d al mismo número
a uno por equis y al aplicar la segunda
regla antes nos quedaría vivo el 1 y se
desaparece la equis por eso es que queda
1 esa sería una manera de verlo sin
embargo vamos a hacer otra cosa para que
todo quede mucho más claro
listo nuestra cuarta regla es esta llegó
a la equis a la n iv una vez que le
expliquemos vamos a volver nos saca un
poquito para que entendamos algo mucho
mejor listo entonces si tenemos llego a
la equis a la n donde n va a representar
un número también cualquier número puede
ser igual de positivo o negativo
fraccionario cualquier número
simplemente vamos a decir que esta
derivada que es la derivada digamos de
una potenciación se conoce así y es como
la derivada más utilizada en matemáticas
durante estas como la que más se usa y a
partir de ella salen muchísimas cosas
que pues más adelante me gustaría que
las revisaran en otros vídeos entonces
vamos a decir que la derivada
simplemente es ese número que tengamos
ahí simplemente lo vamos a bajar tal
cual como está ahí sn vamos a conservar
la x tal cual como está ahí pero el
exponente que estaba inicialmente ya nos
vamos a colocar como n sino que deseen
le vamos a restar una unidad listo
digamos que dice que como con letras
pero pues la idea es que lo veamos con
ejemplos
con números para que para que quede
muchísimo más claro si vamos que tenemos
ya iguala x elevado la 9 es simplemente
pues 9 haría el papel de la n iv
simplemente aplicamos esta fórmula que
aparece ahí que sería el 9 baja dejamos
exactamente la equis pero ya no serían 9
sino 9 -1 y pues por supuesto que nueve
menos uno es 8 es decir que la derivada
de x a la 9 sería 9 x a la 8
listo veamos otro ejemplo de esta
propiedad para que nos quede muy claro
incluso pues con exponente negativo que
también funciona digamos ya igual a x
elevado a la menos cuatro por ejemplo es
lo mismo hacemos exactamente lo mismo
derivamos y la derivada sería el menos 4
baja con todo el signo no hay dice n
baja la n menos 4 baja todo el menos 4
se le conserva la equis y aplicamos esta
formulita simplemente el exponente le
restamos 1 pero tengan cuidado acá
porque es menos 4 no son menos 4 - 1
pues haciendo personas entre enteros
sería menos 5 no menos 4 menos uno es
menos 5 y esta sería la derivada de esta
función
y como tercer ejemplo algo que les
comenté ahorita que se lleva a
relacionar con este ejemplo acá fíjense
que si yo coloco igual a equis
y de pronto a nosotros se nos olvidará
que la derivada de x es igual a 1 si se
nos llegara a olvidar eso y pues esta
común obviamente que la vamos a tener en
cuenta de aquí en adelante porque es
como la más usada en matemáticas pues
apliquemos esto y nos tendrá que hacer
este mismo uno que sería la idea esto es
fíjense que llegó a la equis es
exactamente lo que llegó a la equis
elevado la 1 no pues porque cuando no
aparece exponente pues se toma como un 1
al aplicar esta fórmula quedaría la
derivada sería igual a el 1 baja la
equis se deja igual y uno menos uno
daría cero
cerdó y entonces nos quedaría lo
siguiente uno pues bueno conservemos lo
igual y resulta que por propiedad de
potencias son x elevado a la cero un
número elevado a la cero es uno listo
eso es una propiedad potenciación que
pues yo creo que ya la conocemos todos
número elevado a la cero es igual a uno
y con esto concluimos que uno por uno es
igual a uno y llegamos exactamente al
mismo resultado que teníamos por acá
listo en caso insisto de que pronto se
llegara a olvidar
directamente que la derivada de x es 1
se aplica la formulita de x a la n y se
obtiene el mismo resultado bien antes de
que continuamos y me gustaría mucho
decirles que no necesariamente lo que
estamos viendo acá en ese orden
específico
asimismo parece ser en otro libro o de
pronto con el profesor que ustedes
tengan en la universidad no realmente
digamos que pues este es como el orden
que de pronto quiero explicarlo donde de
pronto como que todo se va viendo paso a
paso pero la idea es que comprendamos
cada una de estas fórmulas para
posteriormente aplicarla en todos los
ejercicios que vendrán en los otros
vídeos así que si lo llegan a ver en
otro orden en otro lado no se preocupen
lo importante es que estamos
comprendiendo todo lo que vamos viendo
hasta ahora aquí en este vídeo y bueno
la idea es que continuemos con nuestra
quinta fórmula veamos
nuestra quinta fórmula hace referencia a
lo siguiente y dice que es igual a c y
hacemos que es una constante
multiplicada por una función en términos
de x esta función ya no necesariamente
va a ser sólo x sino podría ser por
ejemplo una de estas x a la 9 ó x será
menos 4 o cualquier otra cosa en
términos de de x
entonces siempre que tengamos eso vamos
a decir lo siguiente es que la derivada
es igual a la constante la vamos a
conservar tal cual como está ahí y a
esta función que tengamos ahí la vamos a
derivar con las propiedades son las
reglas que ya hayamos visto
anteriormente
por ejemplo coloquemos lo siguiente
vamos a que nuestro ejemplo 1 sea que
supongamos que igual la colocamos un
número y gamón 6 y una función una
función digamos x elevado la 11 podría
ser algo así entonces apliquemos esta
esta fórmula que aparece acá y miramos
el resultado y miramos una alternativa
que también sería muy útil
veamos cómo sería la derivada sería
entonces el 6 se conserva tal cual como
dice ahí la c se baja y se deriva la
función pero resulta que x a la 11 ya
los debemos derivar como lo trabajamos
acá la deriva x de la once sería 11 x
elevado a la 10 no porque 11 menos 1 10
pero resulta que en este caso nos queda
un número x otro número que por supuesto
lo podemos efectuar seis por once sería
66 x a la 10 este sería el resultado de
esta derivada sin embargo digamos que
más adelante con ustedes con más
práctica que la idea ustedes van a pasar
de aquí
directamente que sería simplemente como
bajar el 11 y bajar a multiplicar de 1
al 6 6 por 11 66 x a la 10 s sería como
la manera digamos más rápida sin embargo
antes de hacer eso me gustaría
mencionarles los siguientes por ejemplo
suponemos que yo tengo ya igual a 3 x
cierto que este equipo digamos que es
una función otra vez 3 resulta que la
derivada sería simplemente el 3 lo
bajamos y derivamos la función pero
resulta que la derivada de x con esta
forma que lo hicimos a cada uno o si lo
aprendemos directamente justamente a uno
sería tres por uno que por supuesto tres
por uno sería tres pero si ustedes
recuerdan esto ya lo vimos en nuestra
segunda fórmula no hay decía que llegó a
la sede x x la derivada simplemente era
la constante por ejemplo acá 8 x nos dio
8 en este caso 13 que nos dio tres
entonces piense que todos los temas
empiezan como a compactar de una manera
digamos que muy coherente y con eso
digamos que va a ser más fácil si
ustedes entienden
en esta forma derivarlo o la segunda que
ya habíamos hecho o está acá o todas que
sería lo mejor pues digamos que todo se
va a efectuar de una manera muy muy
sencilla
listo veamos dos ejemplos más
relacionados 34 y una vez relacionados
con lo que hablábamos acá hacerlo
directamente 6 por 11 66 x a la 11 menos
110 hagámoslo de esa manera por ejemplo
y vamos a sacar con un 2x a la 8 podría
ser y aquí me gustaría mucho que
colocaremos no sé por ejemplo un 7 pero
que esté x este león exponente negativo
si miramos cómo sería ahí por ejemplo
menos 3 algo así esté listo colocamos la
derivada sería entonces aplicando esto
directo sería 2 por 8 16 x elevado a la
8 menos 17 y eso es todo y aquí estamos
exactamente lo mismo que sería la
derivadas de bala 7 x menos tres
recuerden que el menos tres baja con
todo y signo más por menos menos siete
por 321 x elevado la menos tres menos
uno nos daría menos
bien para finalizar vamos a ver una
propiedad muy importante referente a la
suma de la resta y la idea es que le
apliquemos con los casos que ya vimos y
profundizamos mucho más
veamos cómo sería listo esta propiedad
lo que nos dice lo siguiente si tenemos
una función que es la suma de dos
funciones en términos de x simplemente
vamos a hacer lo siguiente la derivada
será derivamos la primera función
derivamos la segunda función tal cual
como están ahí y si dice más pues
colocamos más simplemente sumamos las
dos derivadas la buena noticia es que en
realidad también funciona con resta
estos días
fx - g x la derivada será f primera x
menos g prima de x veamos ejemplos para
que nos quede mucho más claro por
ejemplo supongamos que nuestra función
es igual a x al cubo más x a la 5
entonces según lo que dice acá
simplemente signos que la derivada es
igual a esto ya lo sabemos hacer 3x al
cuadrado esto ya lo que vamos a hacer
debido a x de las 5 es
5 x a la 4 y simplemente sumamos eso es
todo derivamos la primera derivamos la
segunda y nada más simplemente la
derivada de una suma es la suma de las
derivadas listo con menos funciona
exactamente de la misma manera entonces
la derivada sería igual a estas ya los
vamos a hacer no 2 por 6 12 x elevado a
las 6 menos 15 y aquí igual menos 4 x 2
daría menos 8 x elevado a la 2 - 11 pero
ya sabemos que exponente uno lo omitimos
y pues ya se entiende que es así
xx solitos de x elevado a la 1 y esta
sería la derivada de esta segunda
función
bien veamos nuestros dos últimos
ejemplos aplicando todo lo que ya
sabemos y listo por ejemplo este tercer
ejemplo la buena noticia es que en
realidad esto que aparece acá que se
define en realidad puede ser con muchas
más funciones acá solamente hay dos pero
podrían ser tres o cuatro o cinco o las
que queramos y se aplica es exactamente
el mismo concepto en este caso
tendríamos tres entonces simplemente
derivamos cada uno por aparte y listo
esa sería la deriva
es decir la realidad sería igual a la
derivada de 8x como ya lo vimos en los
primeros ejemplos dijimos que se
conservaba el 8 y se desaparece a la
equis que simplemente sería 8 el de acá
sería derivada de x a la menos 3 bien sé
que acá hay un más no es más x menos
daría menos 3 el baja x elevado al menos
3 menos uno que sería por supuesto menos
cuatro y aquí hacemos exactamente lo
mismo menos 7 x 9 que baja nos daría
menos 63 x elevado a la 9 menos 1
listo ya para finalizar nuestro último
ejemplo que sería este que aparece por
acá
veamos cómo sería entonces simplemente
aplicamos lo que ya hicimos por acá y
por acá entonces la herida de 6x a lo
menos tres del menos tres bajas 6 x
menos 3 sería menos 18 x elevado la
menos 3 menos un área menos 4 la
derivada de menos 12 x según los
ejemplos anteriores es menos 12 la
derivada de 11 x al cuadrado el 2 baja
no sería más 22 x elevado la 2 - 1 1 y
la derivada de 10 bueno inicialmente
coloquemos la griega de 10 es 0 no
recordemos que cuando es una constante
solita sin nada más su derivada de cero
pero entonces en este caso podemos
concluir que pues como todo número
sumado con cero da el mismo número
entonces simplemente lo borramos lo
quitamos de ahí y nos quedaría escrito
como menos 18 x al menos 4 menos 12 más
22
y esta sería la solución a nuestro
cuarto y último ejemplo
y con eso concluimos nuestro vídeo
introductorio a las derivadas
espero que haya sido de gran ayuda este
vídeo que han despejado muchas dudas se
publicará también una segunda parte
donde se incluirá todo lo que vimos pero
también con fraccionarios muchos éxitos
como siempre para todos y nos
encontraremos en otro caso chao
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