Nilai dan Vektor Eigen part 1

Summary

Dans cette vidéo de cours sur l'algèbre linéaire avancée, nous abordons les valeurs et vecteurs propres, en mettant l'accent sur les opérateurs linéaires et leurs propriétés. La vidéo définit les vecteurs propres comme des vecteurs non nuls qui, lorsqu'ils sont transformés par un opérateur linéaire, donnent un multiple de eux-mêmes, ce multiple étant la valeur propre associée. Des exemples pratiques sont donnés, ainsi que des démonstrations des théorèmes liés à ces concepts. Ce contenu est particulièrement utile pour comprendre comment les opérateurs linéaires agissent sur les espaces vectoriels, même dans les espaces de dimension infinie.

Takeaways

• 😀 La définition d'un vecteur propre (vecteur propre) et de la valeur propre est introduite. Un vecteur propre est un vecteur non nul qui, lorsqu'il est appliqué à un opérateur linéaire, est multiplié par un scalaire appelé valeur propre.
• 😀 Un exemple est donné avec un vecteur (1,1) qui est un vecteur propre associé à la valeur propre 3, car lorsqu'il est appliqué à l'opérateur linéaire, il est multiplié par 3.
• 😀 Le vecteur propre (2,2) est également donné comme exemple, avec la valeur propre 3, car l'application de l'opérateur à ce vecteur donne (6,6), ce qui est un multiple de (2,2).
• 😀 Un autre exemple de vecteur propre est (-1,-1), qui est également associé à la valeur propre 3, car l'application de l'opérateur donne (-3,-3), un multiple de (-1,-1).
• 😀 Le vecteur propre (1,-1) est également discuté, avec la valeur propre associée à -1, montrant que le vecteur est transformé en (-1,-1) lorsqu'il est appliqué à l'opérateur linéaire.
• 😀 L'exemple d'un opérateur linéaire agissant sur un espace vectoriel de dimension infinie est présenté, avec une fonction définie par une règle de différentiation.
• 😀 Le vecteur propre e^ax est étudié avec l'opérateur linéaire associé à la dérivée seconde, donnant la valeur propre -1, ce qui permet de comprendre comment les fonctions exponentielles peuvent être des vecteurs propres.
• 😀 Un autre exemple de fonction trigonométrique, sin(Bx), est également présenté comme un vecteur propre avec une valeur propre de -1.
• 😀 L'idée qu'une fonction comme x^2 ne peut pas être un vecteur propre est expliquée, car sa dérivée seconde ne donne pas un multiple scalaire de la fonction elle-même.
• 😀 La première partie du théorème 342 est démontrée, où un vecteur propre associé à une valeur propre appartient au noyau de l'opérateur identitaire, et la seconde partie montre que l'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre forme un sous-espace vectoriel.

Q & A

Qu'est-ce qu'un vecteur propre et une valeur propre ?

Un vecteur propre est un vecteur qui, lorsqu'une transformation linéaire lui est appliquée, ne change pas de direction mais uniquement d'échelle. La valeur par laquelle il est mis à l'échelle est appelée la valeur propre correspondante.

Pourquoi le vecteur [1,1] est-il un vecteur propre avec la valeur propre 3 ?

Le vecteur [1,1] est un vecteur propre car après application de la transformation linéaire, il devient un multiple scalaire de lui-même, c'est-à-dire [3,3], ce qui montre que sa valeur propre est 3.

Que signifie l'expression 'pétamap' utilisée dans le script ?

'Pétamap' est un terme mal orthographié dans le texte et devrait probablement être 'mappage' ou 'transformation' linéaire, indiquant le processus d'application d'un opérateur linéaire sur un vecteur.

Quels sont les critères pour qu'un vecteur soit un vecteur propre d'un opérateur linéaire ?

Pour qu'un vecteur soit un vecteur propre, il doit être non nul et satisfaire la relation T(v) = λv, où T est l'opérateur linéaire et λ est la valeur propre correspondante.

Dans l'exemple avec le vecteur [2,2], pourquoi est-ce également un vecteur propre avec une valeur propre de 3 ?

Le vecteur [2,2] est un vecteur propre car, après application de la transformation, il devient [6,6], ce qui est un multiple scalaire de [2,2], et la valeur propre associée est donc 3.

Comment la fonction e^x est-elle liée à la notion de vecteur propre dans un espace vectoriel de dimension infinie ?

La fonction e^x est un vecteur propre de l'opérateur de dérivation car sa dérivée seconde est égale à la fonction elle-même, ce qui signifie qu'elle est mise à l'échelle par un facteur scalaire de 1.

Pourquoi x² n'est-il pas un vecteur propre dans l'exemple donné ?

Le vecteur x² n'est pas un vecteur propre car sa dérivée seconde ne peut pas être écrite comme un multiple scalaire de x². La dérivée seconde de x² donne une valeur constante, ce qui ne correspond pas à la définition d'un vecteur propre.

Qu'est-ce que le noyau (kernel) de l'opérateur linéaire dans le théorème 3.42 ?

Le noyau (ou kernel) de l'opérateur linéaire est l'ensemble des vecteurs qui sont envoyés vers le vecteur nul par l'opérateur. Le théorème 3.42 stipule que les vecteurs propres associés à une valeur propre λ se trouvent dans le noyau de l'opérateur T - λI.

Que prouve le théorème 3.42 à propos des espaces propres ?

Le théorème 3.42 montre que l'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre λ, avec l'ajout du vecteur nul, forme un sous-espace vectoriel (espace propre). Ce sous-espace est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire.

Quels sont les deux énoncés du théorème 3.42 ?

Le premier énoncé stipule que si un vecteur est un vecteur propre associé à la valeur propre λ, alors ce vecteur appartient au noyau de T - λI. Le deuxième énoncé prouve que l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à λ, combiné avec le vecteur nul, forme un sous-espace vectoriel.