Déterminer des FONCTIONS du SECOND DEGRÉ avec 2 racines - Première
Summary
TLDRDans cette vidéo, l'apprentissage est centré sur la détermination d'une fonction polynomiale du second degré à partir de deux racines connues. La présentation graphique en forme de parabole est discutée, ainsi que la façon dont les racines déterminent la forme et les points d'intersection de l'axe des ordonnées. L'application de connaissances pour résoudre des équations et trouver le paramètre manquant est expliquée, menant à l'expression finale de la fonction. L'ajout d'une condition supplémentaire, liée à la valeur de la fonction pour un certain x, permet de déterminer le coefficient manquant et d'aboutir à l'expression précise de la fonction polynomiale.
Takeaways
- 📚 La vidéo traite de la détermination d'une fonction polynomiale du second degré dont on connaît deux racines et deux points où elle s'annule.
- 📈 Géométriquement, cela signifie que la parabole représentative de la fonction passera par les points d'abscisse -3 et 5.
- 🔍 La forme factorisée d'une telle fonction est ( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) ), où ( x_1 ) et ( x_2 ) sont les racines et ( a ) est un nombre réel non nul.
- ✅ On peut écrire la fonction en utilisant les racines -3 et 5, ce qui donne ( f(x) = a(x + 3)(x - 5) ).
- 🔄 La forme factorisée est initialement utilisée sans connaître la valeur de ( a ), car il y a une infinité de paraboles pouvant passer par les points donnés.
- 📉 Lorsqu'une condition supplémentaire est donnée, comme ( f(-1) = 3 ), cela permet de déterminer la valeur unique de ( a ).
- 🧮 En remplaçant ( x ) par -1 dans la forme factorisée, on obtient une équation pour trouver ( a ) : ( a(-1 + 3)(-1 - 5) = 3 ).
- 🔢 En résolvant l'équation, on trouve que ( a = -1/4 ).
- 📝 La fonction déterminée est donc ( f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5) ), qui vérifie les conditions données.
- 🤔 La vidéo montre comment une condition supplémentaire peut réduire le nombre de solutions possibles d'une équation à un seul cas.
- ✋ L'importance de la forme factorisée est soulignée comme un outil efficace pour résoudre des problèmes d'analyse de fonctions polynomiales.
Q & A
Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré?
-Une fonction polynôme du second degré est une expression mathématique qui peut être représentée sous la forme ax² + bx + c, où a, b, et c sont des constantes réelles avec a non nul. La représentation graphique de cette fonction est une parabole.
Que signifie le fait qu'une fonction s'annule en certains points?
-Une fonction s'annule en un point lorsque sa valeur est égale à zéro à ce point. Graphiquement, cela correspond aux intersections de la courbe de la fonction avec l'axe des abscisses.
Comment peut-on décrire géométriquement les racines d'une fonction polynôme du second degré?
-Géométriquement, les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les points où la parabole correspondante coupe l'axe des abscisses. Ces points d'abscisse sont les valeurs pour lesquelles la fonction est égale à zéro.
Quelle est la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré connaissant ses racines?
-La forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré, connaissant ses racines x1 et x2, est a(x - x1)(x - x2), où 'a' est une constante réelle non nulle. Cela montre comment le polynôme peut être décomposé en produits de facteurs linéaires basés sur ses racines.
Pourquoi y a-t-il une infinité de fonctions polynôme du second degré qui s'annulent aux mêmes points?
-Il y a une infinité de telles fonctions car le coefficient 'a' dans la forme factorisée a(x - x1)(x - x2) peut prendre n'importe quelle valeur réelle non nulle, ce qui modifie l'amplitude et l'orientation de la parabole sans changer ses racines.
Comment peut-on utiliser la condition F(-1) = 3 pour déterminer la valeur de 'a' dans la fonction polynôme?
-On substitue -1 à la variable x dans la forme factorisée de la fonction, et on égale le résultat à 3. Cela donne une équation en 'a' que l'on peut résoudre pour trouver la valeur spécifique de 'a' qui satisfait cette condition.
Quel est l'effet de connaître F(-1) = 3 sur le nombre de solutions possibles pour 'a'?
-Connaître F(-1) = 3 restreint le nombre de solutions possibles pour 'a' à une seule, car cela fixe une valeur spécifique que doit prendre 'a' pour que la fonction passe par le point de coordonnées (-1, 3) sur le graphique.
Quelle est l'expression finale de la fonction f après détermination de 'a'?
-L'expression finale de la fonction f, après détermination de 'a' comme -1/4, est f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5).
Comment vérifie-t-on que cette expression de f correspond à la condition donnée F(-1) = 3?
-On substitue x = -1 dans l'expression trouvée pour f(x) et vérifie que le résultat est égal à 3. Cela confirme que l'expression est correcte et que la valeur de 'a' est correctement déterminée.
Quelles sont les implications de l'existence de différentes paraboles passant par les mêmes racines?
-Cela illustre que les racines seules ne définissent pas complètement une parabole; la constante 'a' influence également la forme et l'orientation de la parabole. Cela montre la variabilité et la flexibilité des fonctions polynomiales du second degré, même avec des racines fixes.
Outlines
📚 Détermination d'une fonction polynomiale du second degré
Dans le premier paragraphe, l'objectif est de déterminer une fonction polynomiale du second degré dont on connaît deux racines réelles distinctes. La fonction est représentée par une parabole et s'annule en -3 et 5. Cela signifie que la parabole passera par les points d'abscisse -3 et 5. On utilise la propriété des racines pour écrire la fonction sous sa forme factorisée, qui est \( a(x - x_1)(x - x_2) \), où \( x_1 \) et \( x_2 \) sont les racines connues, et \( a \) est un nombre réel non nul. L'exemple donné utilise \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = 5 \), ce qui donne la forme \( a(x + 3)(x - 5) \). L'inconnu \( a \) représente l'infini de solutions possibles pour la forme générale de la parabole.
🔍 Utilisation d'une condition supplémentaire pour déterminer la fonction
Le deuxième paragraphe traite de la détermination de la fonction polynomiale du second degré en utilisant une condition supplémentaire. On sait que la fonction \( F \) est telle que \( F(-1) = 3 \). Avec cette information, on peut tracer une seule parabole qui satisfait à toutes les conditions données. En remplaçant \( x \) par -1 dans la forme factorisée de la fonction, on obtient \( a(-1 + 3)(-1 - 5) = 3 \). En résolvant cette équation pour \( a \), on trouve que \( a = -\frac{1}{4} \). Ainsi, la fonction \( F(x) \) est déterminée comme \( -\frac{1}{4}(x + 3)(x - 5) \), s'annulant en -3 et 5, et passant par le point \( (-1, 3) \).
Mindmap
Keywords
💡Fonction polynôme du second degré
💡Racines
💡Parabole
💡Forme factorisée
💡Paramètre a
💡S'annuler
💡Point d'abscisse
💡Équation
💡Graphique
💡Déterminer
💡Fonction f
Highlights
La fonction est un polynôme du second degré représenté par une parabole
La fonction s'annule en -3 et 5, ce qui est une information importante
La courbe représentative passe par les points d'abscisse -3 et 5
On peut exprimer la fonction sous sa forme factorisée avec les deux racines connues
Il existe une infinité de paraboles pouvant passer par les points -3 et 5
On garde un paramètre a dans la solution pour représenter cette infinité de solutions
La forme factorisée de la fonction est f(x) = a(x - (-3))(x - 5)
On simplifie la forme factorisée en f(x) = a(x + 3)(x - 5)
Une condition supplémentaire est donnée: f(-1) = 3
Cette condition détermine qu'il n'y a qu'une seule parabole possible
On utilise f(-1) = 3 pour déterminer la valeur de a
En remplaçant x par -1, on obtient l'équation 1*a - 3*a - 5 = 3
En résolvant l'équation, on trouve a = -1/4
La fonction déterminée est f(x) = -1/4(x + 3)(x - 5)
Cette fonction s'annule en -3 et 5 et vérifie f(-1) = 3
C'est une fonction polynôme du second degré
La méthode utilisée permet de déterminer la forme d'une fonction connaissant ses racines et un point supplémentaire
La vidéo explique clairement les étapes pour déterminer la forme factorisée et la forme générale de la fonction
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir
apprendre à déterminer une fonction
polynôme du second degré dont on connaît
deux racines on sait qu'elle s'annule en
deux nombres réels distincts ici
justement on a une fonction f qui est du
second degré et qui s'annule en moins 3
et en 5 déjà géométriquement qu'est-ce
que cela signifie bon bah on sait que
c'est une fonction polynôme du second
degré elle est donc représentée par une
parabole alors je sais pas si les
branches sont tournées vers le bas ou
vers le haut mais enfin en tout cas
c'est sûr ça représentation graphique
c'est une parabole et cette fonction
s'annule en -3 et en 5 ça c'est une
information qui est très importante
parce que à partir de là géométriquement
alors je vais faire une parabole avec
les branches tournées vers le haut mais
je le répète on en est pas sûr en tous
les cas si cette fonction s'annule en
moins 3 et en 5 ça veut dire que la
courbe représentative va passer par les
points d'abscisse -3 et 5 elle va
intercepter l'axe des abscisses en -3 et
en 5 on dit là que -3 et 5 sont les
racines de notre fonction polynôme là où
elle s'annule et là on a une petite
propriété qui justement va nous
permettre de répondre à cette question
cette propriété nous dit que si on
connaît deux racines X et X2 de notre
fonction f donc c'est bien le cas ici je
connais deux racines - 3 et 5 et bien on
peut exprimer cette fonction sous sa
forme factorisée qui est à facteur de X
- X1 x - X2 ou X et X2 sont justement
ces deux racines et a est un nombre réel
non nul oui parce que il existe beaucoup
de solutions on imagine bien toutes les
paraboles qui peuvent passer par les
points d'abscisse -3 et 5 il y en aurait
ici des un peu plus allongé il y en
aurait ici retourner dans l'autre sens
comme on l'a dit tout à l'heure avec
donc les branches tournées vers le bas
donc il y a une infinité de solution en
fait c'est pour cette raison que on
trouve également une infinité de
solutions et c'est pour cette raison
qu'on va garder un petit paramètre a
dans la solution d'ailleurs dans la
question on voit bien qu'on nous dit
déterminer les fonctions f du second
degré tel que blabla donc cela veut bien
dire que c'est un ensemble de fonctions
qu'il y a tout plein de solutions
différentes écrivons déjà cette première
forme FX
= alors notre petit paramètre a facteur
de X - x on va prendre -3 pour X1 toute
façon ça n'a pas d'importance on peut
échanger la position des deux facteurs
dans la formule on comprend bien donc x
- x ça fait donc x - 3
x - X2 donc X - 5 en prenant donc X2
pour 5 alors on va pas garder sous cette
forme là on va un tout petit peu
simplifier le premier facteur moi -3 ça
fait x + 3 X - 5 donc finalement on a FX
qui est égal à a facteur de X + 3
facteur de X -5 avec un nombre réel non
nul
mais dans la deuxième question les
choses se précisent puisqu'on nous
demande dans déduire l'expression de F
sous sa forme factorisée bon bah toute
façon on l'a déjà sous sa forme
factorisée mais on nous rajoute une
condition nous dit cette fois-ci que F
de -1 est égal à 3 et là ça change tout
parce qu'il n'y aura plus des solutions
mais il y aura une solution si on
regarde d'ailleurs sur un logiciel on
sait donc que notre parabole passe par
les points d'abscisse -3 et 5 ça c'est
clair mais on sait en plus maintenant
que F de -1 est égal à 3 ce qui veut
dire que par F l'image de -1 C3 ce qui
veut dire que le Point de coordonnées -
1 3 appartient à la représentation
graphique donc à la parabole et là il
n'y a qu'une seule parabole on peut la
tracer qui répond à la question et on va
le démontrer assez facilement vu que F2
-1 égal à 3 on va pouvoir travailler
avec cette expression et pouvoir terminé
le paramètre a qui nous manquait
alors on nous dit
F2 - 1
= 3 F de X est ici il suffit donc de
remplacer X par -1 pour obtenir F2 - 1
soit 1 facteur 2 - 1 + 3 facteur de -1 -
5 et ceci est égal à 3 ces notes F2 - 1
ça ça fait 3
bon bah qu'est-ce qu'on obtient ici on
obtient finalement une équation avec une
seule inconnue qui est à normalement on
devrait pouvoir déterminer assez
facilement à allons-y ça nous fait du 1
fois moins 1 + 3 donc 2 x - 1 - 5 donc -
6 ceci nous donne 3
on simplifie deux fois moins 6 ça nous
fait moins 12 donc moins 12 à égal à 3
ou encore à est égal à 3 sur -12 qui se
simplifie un tout petit peu le moins on
le met devant 3 sur 12 ça fait un quart
et bien voilà on a trouvé a à vos - 1/4
ce qui veut dire que dans le cas où F2
-1 vaut 3 on a FX qui est égal à - 1/4
facteur de
x + 3 facteur de
x -5 et ça c'est l'expression de la
fonction f qui s'annule en moins 3 et 5
tel que F de -1 = 3 est tel que bien sûr
il s'agit d'une fonction polynôme du
second degré mais ça on l'a dit dès le
début en tous les cas cette séquence est
terminée
関連動画をさらに表示
Déterminer le signe d'une fonction du 2nd degré donnée sous sa forme factorisée - Première
FONCTIONS : Afficher une courbe - Tutoriel TI
LE COURS : Fonctions du second degré - Première
Trajectory of a projectile with linear drag
EXERCICE : Factoriser un trinôme - Première
Notions de fonctions - Maths seconde - Les Bons Profs
5.0 / 5 (0 votes)