78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes
Summary
TLDREste vídeo de 'Mate, fácil' explora las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, explicando su definición y cómo se extiende a órdenes superiores. Se destacan ejemplos de ecuaciones lineales y se enfatiza la importancia de las ecuaciones homogéneas, especialmente aquellas con coeficientes constantes, que son más fáciles de resolver. Además, se menciona que la multiplicación de una solución por una constante siempre resulta en otra solución para ecuaciones diferenciales homogéneas. El vídeo concluye con una promesa de futuras explicaciones sobre soluciones linealmente independientes y la solución general de ecuaciones de segundo orden.
Takeaways
- 📘 Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación donde la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma están multiplicadas por funciones de x, y son iguales a otra función de x.
- 🔍 Se puede extender la definición de ecuaciones diferenciales lineales a ordenes superiores, como tercer orden o cuarto orden.
- 🌐 Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden incluyen ecuaciones donde la función de x por la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma están multiplicadas por constantes o funciones de x.
- 🎯 Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son aquellas donde la función de x al lado derecho de la ecuación es cero.
- 📚 Las ecuaciones diferenciales homogéneas son más fáciles de resolver que las no homogéneas, y a menudo se resuelven primero para luego abordar las no homogéneas.
- 🔢 Las ecuaciones diferenciales homogéneas de coeficientes constantes son las más sencillas de resolver, ya que las funciones de x son constantes.
- 🔄 Para verificar si una función es solución de una ecuación diferencial, se calculan sus derivadas y se sustituyen en la ecuación para verificar si se anula.
- 🔄 Al multiplicar una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea por una constante, se obtiene otra solución de la ecuación.
- 🔄 Existen soluciones que no se pueden expresar como múltiplos de una sola solución, y estas soluciones son esencialmente distintas entre sí.
- 🔄 Las funciones linealmente independientes son aquellas que no se pueden obtener mutuamente multiplicando una por una constante, y son fundamentales para entender la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.
Q & A
¿Qué es una ecuación diferencial lineal de segundo orden?
-Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es una ecuación en la que la función de la segunda derivada, la primera derivada y la función en sí misma son multiplicadas por funciones de x, y son igualadas a otra función de x. No hay exponentes ni funciones dentro de funciones.
¿Cuál es la diferencia entre una ecuación diferencial lineal de segundo orden y una de primer orden?
-La diferencia principal es que una ecuación de segundo orden incluye la segunda derivada, mientras que una de primer orden solo incluye la primera derivada.
¿Qué es una ecuación diferencial lineal homogénea?
-Una ecuación diferencial lineal se llama homogénea cuando la función que está al lado derecho de la igualdad es cero, es decir, no hay término no homogéneo.
¿Por qué son importantes las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes?
-Son importantes porque son las más sencillas de resolver y proporcionan una base para entender cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales más complejas.
¿Cómo se demuestra que una función es solución de una ecuación diferencial lineal homogénea?
-Para demostrar que una función es solución, se calculan sus derivadas correspondientes y se sustituyen en la ecuación. Si el resultado es cero, entonces la función es solución de la ecuación.
¿Qué significa que dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea sean linealmente independientes?
-Dos soluciones son linealmente independientes si no se puede expresar una como una combinación lineal de la otra. Esto significa que ambas aportan información única para construir la solución general de la ecuación.
¿Cómo se puede obtener una nueva solución a partir de una solución conocida de una ecuación diferencial lineal homogénea?
-Se puede obtener una nueva solución multiplicando la solución conocida por una constante arbitraria. Esto se debe a que las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas tienen la propiedad de que la multiplicación de una solución por una constante da como resultado otra solución.
¿Cuál es la relación entre la ecuación diferencial no homogénea y la ecuación homogénea relacionada?
-La ecuación no homogénea se relaciona con la ecuación homogénea al ser la misma ecuación pero con un término adicional en el lado derecho que no es cero. Para resolver la no homogénea, primero se resuelve la homogénea y luego se busca una solución particular para la no homogénea.
¿Cómo se puede verificar si la suma de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución?
-Se verifica tomando la suma de las funciones y sus derivadas correspondientes, y sustituyéndolo en la ecuación. Si el resultado es cero, entonces la suma es también una solución de la ecuación.
¿Qué se aprenderá en el siguiente vídeo sobre ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden?
-En el siguiente vídeo se explorarán conceptos como las soluciones linealmente independientes y cómo se expresa la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.
Outlines
📘 Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
En este primer párrafo, se presenta la definición de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, que es una ecuación donde la segunda derivada de una función aparece multiplicada por una función de x, sumada a la primera derivada multiplicada por otra función de x y más otra función de x, todo igualado a otra función de x. Se enfatiza que las funciones de x pueden ser de cualquier tipo, pero las derivadas no aparecen con exponentes ni dentro de otras funciones. Se proporcionan ejemplos de ecuaciones que cumplen con esta definición y se diferencian las ecuaciones homogéneas, donde el término libre es cero, de las no homogéneas. Además, se menciona que las ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes son las más fáciles de resolver y que son fundamentales para abordar ecuaciones no homogéneas.
🔍 Análisis de soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas
Este segundo párrafo se enfoca en cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Se explica que para resolver una ecuación no homogénea, primero se debe resolver la ecuación homogénea correspondiente. Se utiliza un ejemplo específico para demostrar cómo se obtiene una solución y cómo se verifica que esa solución es correcta al sustituirla en la ecuación y verificar que el resultado es cero. Además, se muestra que cualquier multiplicación de una solución conocida por una constante resulta en otra solución válida para la ecuación, lo que se puede demostrar algebraicamente.
🔄 Exploración de soluciones adicionales y la suma de soluciones
El tercer párrafo explora la posibilidad de obtener soluciones adicionales a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas que no se pueden expresar simplemente multiplicando una solución conocida por una constante. Se introduce la idea de que existen soluciones esencialmente distintas, como la función exponencial a la 3x, que no se puede obtener multiplicando la exponencial a la 2x por ninguna constante. Se demuestra que la suma de dos soluciones de una ecuación diferencial también es una solución, lo que lleva a la conclusión de que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas pueden ser expresadas como combinaciones lineales de soluciones fundamentales. Se anuncia que en un vídeo futuro se profundizará en el concepto de soluciones linealmente independientes y cómo se puede expresar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones diferenciales
💡Ecuaciones lineales de segundo orden
💡Función de x
💡Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas
💡Solución de ecuaciones diferenciales
💡Funciones linealmente independientes
💡Derivada
💡Ecuaciones no homogéneas
💡Coeficientes constantes
💡Solución general
Highlights
Definición de una ecuación diferencial lineal de segundo orden y su extensión a órdenes superiores.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y su representación matemática.
Diferenciación entre notación y^{'} y y'' para representar derivadas en ecuaciones diferenciales.
Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y su comparación con las no homogéneas.
Importancia de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas antes de abordar las no homogéneas.
Análisis de las soluciones de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.
Demostración de que e^(2x) es una solución de una ecuación diferencial homogénea específica.
Explicación de que multiplicar una solución por una constante da como resultado otra solución de la ecuación diferencial.
Identificación de soluciones adicionales a través de la multiplicación de la solución base por diferentes constantes.
Descubrimiento de nuevas soluciones distintas a e^(2x), como e^(3x), y su verificación como soluciones válidas.
Concepto de funciones linealmente independientes y su aplicación en ecuaciones diferenciales lineales.
Demostración de que la suma de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución.
Promesa de un próximo vídeo para explicar soluciones linealmente independientes y la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.
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Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a hablar
acerca de las ecuaciones diferenciales
lineales de segundo orden para empezar
hay que recordar que es una ecuación
diferencial lineal de segundo orden
ya antes subí un vídeo explicando lo que
es una ecuación diferencial lineal en
general pero de cualquier manera aquí
voy a recordar esta definición una
ecuación diferencial lineal se define de
esta manera cuando este segundo orden es
una función de x multiplicada por la
segunda derivada más una función de x
multiplicada por la primera derivada más
otra función de x multiplicada porque
igual a otra función de x en este caso
noten que ninguna de las derivadas ni la
propia aie aparecen con exponentes ni
dentro de ninguna otra función pero las
funciones de x esas pueden ser de
cualquier manera para ellas no hay
restricciones entonces esto es una
ecuación diferencial lineal de segundo
orden porque la mayor derivada es la
segunda derivada pero es fácil extender
esta definición a 3º orden cuarto orden
y a cualquier orden
buenos ejemplos de ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden
son estos de aquí por ejemplo este x
cuadrada yeví prima más 5x y prima menos
2 e iguala a a la x en este caso esta es
una ecuación diferencial lineal de
segundo orden porque aquí aparece en
función de x por la segunda derivada
función de x por la primera derivada
función de x porque aunque aquí no
aparezca ninguna x esto es una función
de x es una función constante y la
podemos considerar como función de x y
esto es igual a otra función de x
otro ejemplo esta de aquí también es una
ecuación diferencial lineal de segundo
orden aunque está escrita en otra
anotación noten que aquí en lugar de
poner mi prima pusimos la de cuadra de
ayer sobre de x cuadrada que significa
simplemente la segunda derivada de jr
respecto de x y aquí la derivada de ella
respecto de x esto es lo mismo que
ponerle mi prima y esto es lo mismo que
poner y prima es más usual escribirlo de
esta manera porque después mucho más
corto que escribir todo esto entonces a
partir de aquí utilizar este tipo de
notación javi prima de prima quizá en
alguna ocasión utilice esta anotación
pero
así siempre estaré utilizando esta otra
anotación pero simplemente notar qué
significan exactamente lo mismo entonces
aquí tenemos una función de x que otra
vez es simplemente una función constante
aunque aquí no aparezca ninguna equis
esto es una función de x esto es otra
función de x aquí también esto es una
función de x y esta es otra función de x
bueno
entre las ecuaciones diferenciales
lineales de segundo orden
hay que considerar unas ecuaciones que
son más sencillas las más fáciles de
resolver que se llaman ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas por
ejemplo esta de aquí una ecuación
diferencial lineal se va a llamar
homogénea cuando la función v x sea
igual a 0 es decir que aparezca la
segunda derivada de ella con una función
la primer derivada de y con una función
de x y la quiere con otra función de x y
nada más la otra función de x que es la
que se encuentra sola esa va a ser cero
en este caso esa es una ecuación
diferencial lineal homogénea ya antes
habíamos visto otras otras ecuaciones a
las cuales les llamamos homogéneas
fueron de las primeras que vimos en las
cuales para resolverlas lo que hacíamos
era una sustitución para resolverlas
bueno en este caso estas ecuaciones
homogéneas no tienen nada que ver con
aquellas a aquellas también se les llama
homogéneas realmente no entiendo muy
bien la razón por la que se les llama
así realmente yo prefiero que únicamente
a éstas
llamar a homogéneas y aquellas no pero
bueno en muchos textos así es como se
manejan a ambas se les llama homogéneas
pero no tienen nada que ver unas con las
otras entonces hay que distinguir eso
aquí les vamos a llamar homogéneas a las
ecuaciones que están igualadas a cero
otra ecuación diferencial lineal
homogénea es por ejemplo esta de aquí
5 javi prima menos 3 de prima 4 igual a
cero entonces estas se llaman ecuaciones
diferenciales homogéneas bueno dentro de
las ecuaciones diferenciales homogéneas
las más sencillas las más fáciles de
resolver son las que tienen coeficientes
constantes es decir donde estas
funciones de xb de excede x son
funciones constantes como esta de aquí
aquí nada más aparecen constantes estas
son las más fáciles de resolver y son
con las que vamos a empezar y ya más
adelante veremos otras ecuaciones como
estas de aquí
bueno entonces
a estas ecuaciones que son las con las
que vamos a empezar esas que se llama de
ecuaciones diferenciales homogéneas de
coeficientes constantes también tenemos
el caso en las cuales no son homogéneas
como por ejemplo esta ecuación en su
forma no homogénea sería por ejemplo
esta de aquí noten que es lo mismo lo
que está del lado izquierdo pero la
diferencia es que aquí del lado derecho
aparece un cero y por eso es homogénea
mientras que aquí del lado derecho
aparece una función de x en este caso la
exponencial de x así que esta es una
ecuación diferencial no homogénea de
coeficientes constantes porque estas
funciones son constantes bueno pues
resulta que para resolver una ecuación
diferencial no homogénea como esta de
aquí siempre tendremos que empezar
resolviendo la ecuación homogénea
relacionada en este caso la ecuación
homogénea relacionada con esta es esta
de aquí o sea simplemente quitar la
función de x que aparece del lado
derecho ponerle un cero y empezar
resolviendo esta ecuación una vez que
tengamos esta solución a partir de ahí
podremos resolver esta ecuación es por
eso que es importante empezar
resolviendo ecuaciones diferenciales
homogéneas así que más adelante
vamos a empezar a resolver precisamente
ecuaciones diferenciales homogéneas de
coeficientes constantes que son las más
sencillas de resolver pero por el
momento vamos a analizar cómo son las
soluciones de una ecuación diferencial
homogénea desde segundo orden por
ejemplo consideremos esta ecuación
diferencial
javi prima menos cinco primas es igual a
cero
una solución de esta ecuación
diferencial es esta de aquí que igual a
la 2 x para obtener esta solución ya más
adelante veremos qué métodos utilizar
pero por el momento nos dan esta
solución nos dice que esto es una
solución de esta ecuación como
comprobamos que esto es una solución
bueno la manera de comprobarlo es
obtener la primera derivada y la segunda
derivada y sustituir aquí y ver que
después de hacer las operaciones nos
queda como resultado 0 vamos a hacer eso
a partir de esta función calculamos la
primera derivada entonces derivamos la
exponencial de 2x la cuales dos lados x
porque recuerden que se deriva el
exponente la derivada de 2 x 2 y luego
se vuelve a multiplicar por la propia
exponencial ahora a partir de aquí
volvemos a derivar para obtener jerry
prima entonces derivamos el exponente de
la derivada del exponente es 2 por este
2 nos da 4 y multiplicamos por la misma
exponencial entonces ya tenemos que
prima y prima sustituimos en la ecuación
diferencial y nos queda lo siguiente
aquí en lugar de lleve y prima ponemos 4
ea la 2 x luego tenemos menos 5 porque
prima que es
a la 2 x + 6 que es a la 2 x ahora hay
que hacer estas operaciones y ver que el
resultado es cero entonces lo primero
que hacemos es esta multiplicación 5 por
2 nos da 10 y luego aquí como todos
estos son términos semejantes podemos
sumar los 4 menos 10 nos da menos seis y
menos 66 nos da 0 así que efectivamente
aquí nos queda cero por lo tanto podemos
concluir que igualaría la 2x es una
solución de esta ecuación diferencial
ahora la pregunta es hay más soluciones
aparte de ésta pues si realmente hay
muchas más soluciones por ejemplo otra
solución se obtiene de multiplicar esta
misma solución pero por ejemplo por 3 si
multiplicamos 3 por ea la 2x podemos
demostrar que ésta también es una
solución de esta ecuación diferencial
vamos a hacerlo derivamos una vez
entonces ya prima va a ser 6 2 x porque
la derivada de 2x es 22 por tres son 6 y
multiplicamos por la propia exponencial
y la segunda derivada va a ser 12 a la 2
x
ahora sustituimos esto en la ecuación
diferencial y nos queda esto de aquí
jerry prima que es 12 g a la 2x luego es
menos 5 porque prima de una vez
multiplicamos 5 por 6 nos da 30 entonces
queda 32 x y luego más 6 y como ya es 3
será 2 x 3 por 6 son 18 entonces queda
18 que a la 2 x ahora hay que hacer las
operaciones 12 menos 30 nos da menos 18
y menos 18 más 18 nos queda 0 eso
significa que entonces de igual a 3 a la
2 x también es una solución de esta
ecuación diferencial ahora porque
multiplicar por tres y no multiplicar
por ejemplo por cinco o por días o por
veinte o por cualquier otro número bueno
pues sin importar por cual número
multiplicamos aquí vamos a obtener una
solución de esta ecuación diferencial
eso lo podemos expresar de esta manera
que una solución es igual hace ea la 2 x
donde se es cualquier constante aquí con
cualquier constante que sustituyamos
obtenemos siempre una solución para esta
ecuación diferencial podemos demostrar
cualquier función de esta forma es
solución de esta ecuación diferencial
simplemente calculamos la derivada de
esta función considerándose como una
constante entonces la derivada va a ser
12 ea la 2x luego la segunda derivada va
a ser 40 a la 2x sustituyendo aquí al
hacer las operaciones vamos a ver que
nos da como resultado 0 eso ya no lo voy
a hacer aquí si quieren ustedes lo
pueden hacer como ejercicio en su
libreta y van a ver que efectivamente
esta va a ser una solución de esta
ecuación diferencial sin importar el
valor que le pongamos a la constante
pero otra pregunta que surge aquí es si
hay más soluciones
aparte de estas aparte de multiplicar
una constante por ea la 2x y resulta que
si hay otra solución que no se puede
expresar de esta forma por ejemplo ésta
se iguala a a la 3x noten que esta
solución es una solución distinta a
cualquiera de estas porque por mucho que
multipliquemos era la 2x por cualquier
constante sin importar cual constante
pongamos aquí nunca vamos a obtener la
exponencial de 3x estas dos funciones
son esenciales
distintas y más adelante explicaremos
qué significa eso de esencialmente
distintas pero podemos comprobar que
esta es una solución de esta ecuación
diferencial para eso simplemente
tendríamos que derivar dos veces
sustituir aquí y ver que efectivamente
al final nos da como resultado cero
pero igual que ocurría con esta función
de 2x resulta que si multiplicamos ésta
a la 3x por cualquier constante
obtenemos también una solución de esta
ecuación diferencial todo eso no son
casualidades todo eso se puede demostrar
que cuando tenemos una solución de una
ecuación diferencial lineal homogénea
multiplicar dicha solución por una
constante nos vuelve a dar una solución
de la ecuación diferencial pero es
importante que debe ser una ecuación
diferencial homogénea para ellas es para
los para las que se satisface esto que
les estoy mencionando que si tenemos una
solución al multiplicar la por cualquier
constante volvemos a obtener una
solución entonces aquí cualquier
solución que tenga la forma se crea la
3x donde se puede ser cualquier
constante también va a ser solución de
esta ecuación diferencial y ahora la
pregunta que surge es si las únicas
soluciones son soluciones de este tipo o
soluciones de este tipo y la respuesta
es que no que está que hay otras
soluciones
que se forman sumando soluciones de este
tipo con soluciones de este tipo por
ejemplo si aquí tomamos como 2 y aquí
tomamos como menos 10 y sumamos esas
soluciones
resulta que el 2 2 x menos 10 ea la 3x
todo eso completo también forma una
solución de esta ecuación diferencial en
general con las ecuaciones diferenciales
lineales homogéneas resulta que si
tenemos dos soluciones de la ecuación
diferencial la suma de esas dos
soluciones también es una solución de la
ecuación diferencial
pero bueno tenemos que aprender a
diferenciar entre un tipo de función con
otro tipo de función en este caso noten
que como les mencionaba a la 3x no se
puede obtener a partir de la 2 x
multiplicando por ninguna constante
siempre van a ser funciones distintas a
ese tipo de funciones que son así
esencialmente distintas se les llama
funciones linealmente independientes
bueno esto lo voy a explicar con mayor
detalle en el siguiente vídeo en el
siguiente vídeo voy a hablar acerca de
qué significan las soluciones
linealmente independientes y cómo es que
se expresa la solución general de una
ecuación diferencial de segundo orden
así que los invito a que vean este vídeo
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