Trigonometric Fourier Series

Summary

In dieser Vorlesung geht es um die trigonometriche Fourier-Reihen-Expansion. Es wird erklärt, wie periodische Signale als Summe von DC-Werten, Kosinus- und Sinustermen dargestellt werden. Zunächst werden die Formeln und Fourier-Koeffizienten wie a₀, aₙ und bₙ eingeführt und deren Berechnungsweise erläutert. Der Dozent erklärt auch die physikalische Bedeutung dieser Koeffizienten und gibt wertvolle Hinweise, wie man in speziellen Fällen, wie symmetrischen oder geraden/ungeraden Signalen, auf die Berechnung von a₀ und bₙ verzichten kann. Der Kurs endet mit praktischen Beispielen zur Fourier-Analyse.

Takeaways

• 😀 Fourier-Reihenexpansionen sind nur für periodische Signale anwendbar, nicht für nicht-periodische Signale.
• 😀 Es gibt drei Haupttypen der Fourier-Reihenexpansion: trigonometrisch, komplex-exponential und polar/harmonisch.
• 😀 In der trigonometrischen Fourier-Reihenexpansion wird ein periodisches Signal als Summe von DC (Durchschnittswert), Kosinus- und Sinustermen dargestellt.
• 😀 Der DC-Wert (a₀) eines Signals wird durch das Berechnen des Flächeninhalts eines Zeitintervalls und das Teilen durch die Grundperiode T₀ ermittelt.
• 😀 Die Fourier-Koeffizienten aₙ und bₙ werden durch Integrationen von signal × Kosinus(nω₀t) bzw. signal × Sinus(nω₀t) über eine Periode berechnet.
• 😀 Wenn das Signal symmetrisch zur Zeitachse ist, ist der DC-Wert (a₀) null.
• 😀 Bei einem even Signal sind alle bₙ-Koeffizienten null, während bei einem odd Signal alle aₙ-Koeffizienten null sind.
• 😀 Der Unterschied zwischen den Kosinus- und Sinus-Terms in der Fourier-Reihe kann durch den Vergleich der Koeffizienten aₙ und bₙ untersucht werden.
• 😀 Bei einem periodischen Signal mit Frequenzn harmonisch können aₙ und bₙ als Gewichte für die Beteiligung von Kosinus bzw. Sinus zu dieser Frequenz betrachtet werden.
• 😀 Wenn ein Signal symmetrisch zur Zeitachse ist, muss der Benutzer keine Berechnung des a₀ oder bₙ durchführen, da sie in diesem Fall null sind.

Q & A

Was ist die Fourier-Reihen-Expansion?

Die Fourier-Reihen-Expansion ermöglicht es, periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinus-Terms darzustellen. Es gibt drei Arten von Fourier-Reihen-Expansionen: trigonometrische Fourier-Reihe, komplexe Exponential- oder exponentielle Fourier-Reihe und polare oder harmonische Fourier-Reihe.

Was ist der Unterschied zwischen den verschiedenen Arten von Fourier-Reihen?

Die trigonometrische Fourier-Reihe verwendet Sinus- und Kosinus-Terme, die komplexe Exponentialreihe verwendet Exponentialfunktionen, und die polare Fourier-Reihe stellt das Signal in Form von harmonischen Komponenten dar.

Was bedeutet der Begriff 'a₀' in der trigonometrischen Fourier-Reihe?

a₀ bezeichnet den DC-Wert oder den Durchschnittswert des Signals. Er wird berechnet, indem man die gesamte Fläche des Signals über eine Periode integriert und durch die Periode teilt.

Wie berechnet man die Fourier-Koeffizienten aₙ und bₙ?

aₙ wird durch die Integration des Signals X(t) multipliziert mit cos(nω₀t) über eine Periode und durch T₀/2 geteilt berechnet. bₙ wird durch die Integration von X(t) multipliziert mit sin(nω₀t) über eine Periode und ebenfalls durch T₀/2 geteilt.

Was sind die physikalischen Bedeutungen der Fourier-Koeffizienten aₙ und bₙ?

Die Fourier-Koeffizienten aₙ und bₙ repräsentieren die Gewichtung der Kosinus- bzw. Sinus-Terme bei der Repräsentation des Signals. Ein hoher Wert von aₙ oder bₙ zeigt an, dass dieser harmonische Beitrag im Signal dominant ist.

Was passiert, wenn das Signal symmetrisch über die Zeitachse ist?

Wenn ein Signal symmetrisch über die Zeitachse ist, ist der DC-Wert (a₀) null, da die Flächen unter und über der Zeitachse sich aufheben. In solchen Fällen muss a₀ nicht berechnet werden.

Wann ist der Fourier-Koeffizient bₙ gleich null?

Der Koeffizient bₙ ist null, wenn das Signal eine gerade Funktion ist. Bei einem geraden Signal bleibt das Signal bei einer Zeitspiegelung unverändert.

Wann ist der Fourier-Koeffizient aₙ gleich null?

Der Koeffizient aₙ ist null, wenn das Signal eine ungerade Funktion ist. Bei einem ungeraden Signal wird das Signal bei einer Zeitspiegelung invertiert.

Welche Schritte sind bei der Berechnung der Fourier-Reihe eines Signals zu beachten?

Zuerst muss der DC-Wert (a₀) berechnet werden. Danach werden die Fourier-Koeffizienten aₙ und bₙ berechnet, indem das Signal mit den entsprechenden Kosinus- und Sinusfunktionen multipliziert und integriert wird. Diese Koeffizienten werden dann in die Fourier-Reihe eingesetzt.

Warum sind die Koeffizienten aₙ und bₙ wichtig?

Die Koeffizienten aₙ und bₙ sind entscheidend, um die genaue Zusammensetzung eines periodischen Signals aus seinen harmonischen Komponenten zu bestimmen. Sie zeigen, wie stark jeder harmonische Beitrag (Kosinus- oder Sinus-Komponente) im Signal vertreten ist.