Sinus-/Kosinusfunktion verdeutlicht mit Einheitskreis, Kreisfunktionen | Mathe by Daniel Jung

Summary

Das Skript erklärt die Sinus- und Kosinusfunktionen anhand des Einheitskreises im Koordinatensystem. Es beginnt mit der Darstellung der Sinusfunktion als y-Wert (α) geteilt durch die Hypotenuse und Kosinus als Ankathete geteilt durch die Hypotenuse. Es zeigt die Verläufe der Funktionen für Winkel von 0° bis 360°, die Periodizität und die Verschiebung um 90° zwischen den Funktionen. Die Sinusfunktion geht durch den Ursprung und hat Spitzen bei 1 und Tiefen bei -1, während die Kosinusfunktion einen Spitzenwert bei 1 und Tiefen bei -1 mit einem Versatz von 90° zeigt.

Takeaways

• 📚 Die Sinus- und Kosinusfunktionen werden aus dem Einheitskreis und dem Einheitsdreieck hergeleitet.
• 📐 Der Einheitspreis im Koordinatensystem ist die Länge 1 vom Ursprung ausgehend, mit verschiedenen Verschiebungen nach oben, links oder rechts.
• 🔶 Der Sinus ist definiert als die y-Koordinate (Gegenkathete) geteilt durch die Hypotenuse (Länge 1).
• 🔷 Der Kosinus ist definiert als die x-Koordinate (Ankathete) geteilt durch die Hypotenuse (Länge 1).
• 📈 Die Sinusfunktion hat bei 0° einen Wert von 0, bei 90° einen Wert von 1, bei 180° einen Wert von 0, bei 270° einen Wert von -1 und bei 360° wieder einen Wert von 0.
• 📉 Die Kosinusfunktion hat bei 0° einen Wert von 1, bei 90° einen Wert von 0, bei 180° einen Wert von -1, bei 270° einen Wert von 0 und bei 360° wieder einen Wert von 1.
• 🌀 Die Sinusfunktion ist periodisch mit einer Periode von 360° und wechselt zwischen den Werten 1 und -1.
• 🌐 Die Kosinusfunktion ist ebenfalls periodisch mit einer Periode von 360° und wechselt zwischen den Werten 1 und -1.
• 🔄 Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind um 90° gegeneinander versetzt, was bedeutet, dass die höchsten und tiefsten Werte der Funktionen um 90° verschoben sind.
• 📊 Die Sinusfunktion geht durch den Ursprung, während die Kosinusfunktion bei 0° ihren höchsten Wert hat.
• 📈📉 Beide Funktionen zeigen eine sinusförmige Verlauf, mit den höchsten und tiefsten Werten entsprechend ihrer Definition.

Q & A

Was ist der Einheitspreis im Kontext dieses Skripts?

Der Einheitspreis bezieht sich auf die Darstellung in einem Koordinatensystem, wobei die Länge 1 vom Ursprung ausgesehen wird, eins nach oben und eins nach links.

Was ist das Verhältnis zwischen Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck?

Im rechtwinkligen Dreieck ist Sinus von Alpha gleich dem Gegenkatheten (y-Wert) geteilt durch der Hypotenuse (Länge 1), während Kosinus von Alpha gleich dem Adjacenten (x-Wert) geteilt durch der Hypotenuse ist.

Wie wird die Sinusfunktion in Grad dargestellt?

Die Sinusfunktion in Grad wird dargestellt als f(x) = Sin(x), wobei x in Grad angegeben ist und die Funktion die y-Werte des rechten Winkels im Einheitskreis liefert.

Was ist der Sinus von 0 Grad?

Der Sinus von 0 Grad ist 0, da das Dreieck flach ist und der Gegenkatheten zur y-Achse 0 beträgt.

Was ist der Sinus von 90 Grad?

Der Sinus von 90 Grad ist 1, da der Gegenkatheten in diesem Fall die gesamte Länge der Hypotenuse hat.

Was ist der Sinus von 180 Grad?

Der Sinus von 180 Grad ist 0, da das Dreieck wieder flach ist und der Gegenkatheten zur y-Achse 0 beträgt.

Was ist der Sinus von 270 Grad?

Der Sinus von 270 Grad ist -1, da der Gegenkatheten in diesem Fall die gesamte Länge der Hypotenuse in entgegengesetzte Richtung hat.

Wie wird die Kosinusfunktion in Grad dargestellt?

Die Kosinusfunktion in Grad wird dargestellt als f(x) = Cos(x), wobei x in Grad angegeben ist und die Funktion die x-Werte des rechten Winkels im Einheitskreis liefert.

Was ist der Kosinus von 0 Grad?

Der Kosinus von 0 Grad ist 1, da der Adjacent in diesem Fall die gesamte Länge der Hypotenuse hat.

Was ist der Kosinus von 90 Grad?

Der Kosinus von 90 Grad ist 0, da das Dreieck hochgeklappt ist und der Adjacent zur x-Achse 0 beträgt.

Wie unterscheiden sich Sinus- und Kosinusfunktionen in ihrer Periodizität?

Beide Funktionen sind periodisch mit einer Periode von 360 Grad, aber die Kosinusfunktion ist um 90 Grad versetzt im Vergleich zur Sinusfunktion, was bedeutet, dass die höchsten und tiefsten Werte der Kosinusfunktion 90 Grad später auftreten als die der Sinusfunktion.