Why there are no 3D complex numbers

Deeper Science
17 Nov 202315:20

Summary

TLDRВ этом видео представлен простой аргумент о том, почему не существует трехмерных комплексных чисел. Автор вдохновился видео Майкла Пенна, в котором используется абстрактная алгебра для объяснения перехода от вещественных чисел к комплексным, затем к кватернионам и далее. В видео показывается, что для трехмерных комплексных чисел невозможно определить умножение, сохраняющее важные свойства, такие как вращение на 90° при умножении на единицу虚. Это делает невозможным их использование в геометрии трехмерного пространства.

Takeaways

  • 🔢 Существует интересный вопрос, почему не существует трёхмерных комплексных чисел.
  • 🔍 Идея видео вдохновлена сложным объяснением от Майкла Пенна, который использует абстрактную алгебру для этого вопроса.
  • 🧮 Комплексные числа определяются как решения уравнения x² = -1, что не имеет реального решения.
  • 📈 Комплексные числа можно представить в виде a + bi, где a и b — это действительные числа, а i² = -1.
  • 🔄 Умножение на i в комплексной плоскости поворачивает числа на 90°, что является важным свойством комплексных чисел.
  • 🌐 Трёхмерные комплексные числа могли бы быть полезны в трёхмерном пространстве, но такие числа не могут быть определены.
  • ❌ Основная проблема заключается в невозможности корректно определить произведение i * j для трёхмерных комплексных чисел.
  • ⚠️ Если попытаться определить i * j = 1 или -1, возникают противоречия, и не удается сохранить ортогональность осей.
  • 🔧 Умножение i на j также приводит к противоречиям, если попытаться определить его как линейную комбинацию других осей.
  • 🚫 В результате, трёхмерные комплексные числа невозможны, так как невозможно соблюсти необходимые алгебраические свойства.

Q & A

  • Почему не могут существовать трехмерные комплексные числа?

    -Трехмерные комплексные числа не могут существовать, потому что невозможно определить операцию умножения для этих чисел так, чтобы сохранить свойства, которые делают комплексные числа полезными, например, возможность вращения и ортогональность осей.

  • Что происходит при попытке определить произведение i и j в трехмерных комплексных числах?

    -При попытке определить произведение i и j возникают противоречия, такие как невозможность сохранить ортогональность осей и независимость измерений, что делает невозможным определение таких чисел.

  • Какое основное свойство комплексных чисел делает их удобными для использования в математике?

    -Одним из основных свойств комплексных чисел является то, что умножение на мнимую единицу i приводит к вращению на 90 градусов на комплексной плоскости, что позволяет использовать обычные алгебраические операции для решения геометрических задач.

  • Что происходит, если попытаться определить i * j как реальное число?

    -Если попытаться определить i * j как реальное число, возникает противоречие, так как это приводит к тому, что одна из осей становится зависимой от другой, что нарушает требование трехмерности и независимости осей.

  • Почему невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей?

    -Невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей, потому что при этом возникает противоречие: например, при попытке решить получившееся уравнение для коэффициентов оказывается, что один из коэффициентов должен быть мнимым числом, что неприемлемо в рамках реальных чисел.

  • Какую роль играет ассоциативность в доказательстве невозможности существования трехмерных комплексных чисел?

    -Ассоциативность используется для упрощения операций и проверки противоречий. Если бы ассоциативность отсутствовала, многие алгебраические операции, которые делают числа полезными, были бы невозможны.

  • Какую аналогию можно провести между комплексными числами и гипотетическими трехмерными комплексными числами?

    -Аналогия заключается в том, что, как и комплексные числа, трехмерные комплексные числа должны иметь оси, ортогональные друг другу, и умножение на одну из мнимых единиц должно приводить к вращению в соответствующей плоскости. Однако в случае трехмерных чисел это невозможно без противоречий.

  • Какие типы чисел существуют, если продолжить расширение от вещественных чисел?

    -После вещественных чисел существуют комплексные числа (двумерные), кватернионы (четырехмерные) и октанионы (восьмимерные). Однако трехмерных комплексных чисел не существует.

  • Почему важно сохранять независимость измерений при определении трехмерных комплексных чисел?

    -Независимость измерений важна, потому что это позволяет каждой оси быть независимой от других, что необходимо для выполнения алгебраических операций и описания трехмерного пространства.

  • Что произойдет, если попытаться определить i * j = j?

    -Если попытаться определить i * j = j, это приведет к противоречию, так как получится, что j равно 1, что не должно быть возможным, поскольку это нарушает требование независимости осей.

Outlines

plate

Cette section est réservée aux utilisateurs payants. Améliorez votre compte pour accéder à cette section.

Améliorer maintenant

Mindmap

plate

Cette section est réservée aux utilisateurs payants. Améliorez votre compte pour accéder à cette section.

Améliorer maintenant

Keywords

plate

Cette section est réservée aux utilisateurs payants. Améliorez votre compte pour accéder à cette section.

Améliorer maintenant

Highlights

plate

Cette section est réservée aux utilisateurs payants. Améliorez votre compte pour accéder à cette section.

Améliorer maintenant

Transcripts

plate

Cette section est réservée aux utilisateurs payants. Améliorez votre compte pour accéder à cette section.

Améliorer maintenant
Rate This

5.0 / 5 (0 votes)

Étiquettes Connexes
Комплексные числаАлгебраТримерные числаМатематическое видеоМногомерные системыМатематические объясненияМатематическое образованиеАбстрактная алгебраМатематикиТеория чисел
Besoin d'un résumé en anglais ?