SIR Modell - Teil II
Summary
TLDRDieses Video erklärt das SIR-Modell, eine mathematische Methode zur Simulation der Ausbreitung von Epidemien. Es zeigt, wie durch numerische Methoden die Entwicklung von infizierten, genesenen und anfälligen Personen über Zeit modelliert wird. Das Ziel ist es, die Kurve zu flach zu halten, indem der Infektionsindex gesenkt wird, um die Belastung des Gesundheitssystems zu verringern. Die Wichtigkeit von Hygienemaßnahmen und sozialer Distanz wird hervorgehoben, um die Verbreitung zu verlangsamen.
Takeaways
- 🧑🏫 Das Skript stellt das SIR-Modell vor und erklärt, wie dieses mathematische Modell abgeleitet wird.
- 🔍 Die Materialien dienen ausschließlich der Bildung und enthalten keine offiziellen Daten; das Modell ist stark vereinfacht.
- ⚠️ Die Ergebnisse des Modells dürfen nicht für politische Entscheidungen, Meinungsbildung oder entsprechende Maßnahmen genutzt werden.
- 📈 Die Differentialgleichungen des SIR-Modells beschreiben die Veränderungen der Gruppen Suszeptible, Infizierte und Genesene.
- 📊 Die Lösung dieser Gleichungen erfolgt numerisch durch Diskretisierung, also durch die Verwendung eines Algorithmus, der von einem Computer ausgeführt werden kann.
- 📚 Die Diskretisierung betrachtet die Veränderung innerhalb eines Zeitintervalls, z.B. die Veränderung von Suszeptiblen (ΔS) innerhalb eines Tages (Δt).
- 🌐 Die anfänglichen Werte für S, I und R sowie die Konstanten c und w sind für die Lösung der Gleichungen erforderlich.
- 📉 Das Modell zeigt die zeitabhängige Entwicklung der drei Gruppen: Suszeptible in grün und gestrichelt, Infizierte in rot und Genesene in blau und punktiert.
- 📈 Die Kurve des Infizierten zeigt ein exponentielles Wachstum in der frühen Phase der Epidemie, das nicht unendlich andauern kann.
- 🛑 Die Maßnahmen, die zur Flachstellung der Kurve führen, beinhalten die Reduzierung des Infektionsgrades durch die Reduzierung von Kontakten zwischen Individuen.
- 🔬 Durch das Modell können verschiedene Szenarien simuliert werden, ohne dass tatsächliche Infektionen stattfinden müssen.
- 🔍 Die Reduzierung des Infektionsgrades auf die Hälfte verschiebt das Hoheitsmaximum der Epidemie und reduziert die Anzahl der Infizierten pro 100.000 Einwohner.
- 🌱 Nach etwa 100 Tagen ist die Epidemie gemäß der Simulation vorüber, da alle Individuen immun sind.
- 🤝 Es ist wichtig, die Empfehlungen von Wissenschaftlern und Politikern zu befolgen, um die Belastung des Gesundheitssystems zu verringern und die Epidemie zu überwinden.
Q & A
Was ist das SIR-Modell?
-Das SIR-Modell ist ein mathematisches Modell, das verwendet wird, um die Verbreitung von Infektionskrankheiten in einer Bevölkerung zu beschreiben und zu verfolgen.
Welche drei Gruppen sind im SIR-Modell enthalten?
-Die drei Gruppen sind Suszeptible (S), Infizierte (I) und Genesene (R).
Was sind die beiden Konstanten c und w im SIR-Modell?
-Die Konstanten c und w repräsentieren die Infektionsrate und die Wiederherstellungsrate im SIR-Modell.
Wie wird das SIR-Modell in der Praxis gelöst?
-Das SIR-Modell wird numerisch gelöst, indem Algorithmen verwendet werden, die von Computern ausgeführt werden und die Diskretisierung der Differentialgleichungen beinhalten.
Was bedeutet die Diskretisierung im Zusammenhang mit dem SIR-Modell?
-Die Diskretisierung ist ein numerisches Verfahren, bei dem die Veränderung innerhalb eines Zeitintervalls (z.B. eines Tages) statt der Ableitung verwendet wird, um die Differentialgleichungen zu lösen.
Wie wird die Veränderung der Suszeptiblen (S) im SIR-Modell berechnet?
-Die Veränderung der Suszeptiblen wird durch die Formel Delta S = -2 / (4.5 * T / N * I) berechnet, wobei T die Anzahl der Tage und N die Gesamtbevölkerung ist.
Was zeigt das SIR-Modell in Bezug auf die Verbreitung einer Epidemie?
-Das SIR-Modell zeigt die zeitabhängige Entwicklung der drei Gruppen Suszeptible, Infizierte und Genesene und wie sie sich während einer Epidemie verändern.
Was ist die Bedeutung von 'flatten the curve' im Kontext des SIR-Modells?
-'Flatten the curve' bezieht sich darauf, die Kurve der Infizierten zu verlangsamen, um die Belastung des Gesundheitssystems zu verringern und die Spitzenlast zu reduzieren.
Wie kann die Infektionsrate im SIR-Modell reduziert werden?
-Die Infektionsrate kann reduziert werden, indem die Kontakte zwischen Individuen verringert werden, was die Wahrscheinlichkeit eines Kontakts zwischen Suszeptiblen und Infizierten vermindert.
Was zeigt das Modell, wenn die Infektionsrate halbiert wird?
-Wenn die Infektionsrate halbiert wird, verschiebt sich der Höhepunkt der Epidemie in der Regel, und die Anzahl der Infizierten pro 100.000 Einwohner sinkt, was die Belastung des Gesundheitssystems reduziert.
Was ist die Hauptbotschaft des Videos über das SIR-Modell?
-Die Hauptbotschaft ist, dass das Verständnis mathematischer Modelle wie das SIR-Modell uns hilft, die Verbreitung von Epidemien zu verstehen und zu simulieren, um die Auswirkungen verschiedener Maßnahmen zu bewerten.
Outlines
🧠 Einführung in das SIR-Modell und dessen numerische Lösung
Dieses Video stellt das zweite Teil des SIR-Modells vor, das sich mit der Lösung der Modellgleichungen befasst. Es wird betont, dass das Material ausschließlich pädagogischen Zwecken dient und keine repräsentativen Daten oder Ergebnisse liefert, die für politische Entscheidungen oder Maßnahmen verwendet werden könnten. Das SIR-Modell basiert auf einer System von drei Differentialgleichungen, die die Veränderungen der Gruppen Suszeptible, Infizierte und Genesene beschreiben. Um diese Gleichungen zu lösen, werden initiale Daten und die Konstanten c und w benötigt. Der Lösungsprozess erfolgt numerisch durch Diskretisierung, wobei die Veränderung einer Konstituente innerhalb eines Zeitintervalls betrachtet wird. Das Beispiel zeigt, wie die Anzahl der Infizierten pro Tag berechnet wird. Der Prozess wird für alle drei Gleichungen wiederholt und für mehrere Tage fortgesetzt, um die Entwicklung im Voraus zu berechnen. Der Video-Autor verwendet eine fortgeschrittenere Methode als Euler, um genauere Ergebnisse zu erzielen und stellt das Ergebnis in einer Grafik dar, die die zeitabhängige Entwicklung der drei Gruppen zeigt.
🛡️ Bedeutung von Maßnahmen zur Kurvenflachung im SIR-Modell
Der zweite Absatz des Skripts erläutert die Bedeutung von Maßnahmen zur Kurvenflachung im Rahmen des SIR-Modells. Durch die Reduzierung der Ansteckungsrate c, die durch die Verringerung von Kontakten zwischen Individuen erreicht wird, kann die Anzahl der täglich infizierten Personen gesenkt werden. Dies führt zu einer Verschiebung des Höhepunkts der Epidemie und einer Verringerung der Anzahl der Infizierten pro 100.000 Einwohner. Die Simulation zeigt, dass die Reduzierung der Ansteckungsrate die Last auf das Gesundheitssystem weniger belasten wird. Es wird betont, wie wichtig es ist, die Empfehlungen von Wissenschaftlern und Politikern zu befolgen, um die Verbreitung zu verlangsamen. Die Epidemie ist nicht endlos, und mit Geduld und Einhaltung der Vorsichtsmaßnahmen kann sie überwunden werden. Das Video schließt mit einer Aufforderung, die Informationen zu teilen und die Mathematik hinter einer Epidemie zu verstehen.
Mindmap
Keywords
💡SIR-Modell
💡Differentialgleichungen
💡Numerische Lösung
💡Diskretisierung
💡Infektionsrate
💡Suszeptible
💡Infizierte
💡Genesene
💡Euler-Methode
💡Kurvenverlauf
💡Kurvenflachung
Highlights
Introduction to the second video on the SIR model, emphasizing its educational purpose and disclaimer on data representativeness.
Brief recall of the SIR model equations and the need for initial data and constants c and w for their solution.
Explanation of solving the SIR model equations numerically through computer algorithms and the process of discretization.
Description of the change in susceptible population (S) over time using the infection rate and population size.
Initial data provided with 5.83 infected and 99,994.17 susceptible out of a 100,000 population.
Daily change calculation in the susceptible group leading to approximately 2.6 more infected per 100,000 inhabitants.
Process of repeating the calculation for all three equations and updating S, I, and R values for the next day.
Historical reference to Leonhard Euler's method for solving such equations manually, predating computer use.
Introduction of a more advanced method for numerical solution that yields more accurate results.
Demonstration of the program's ability to produce a figure showing the time-dependent evolution of the three groups.
Observation of the steep curve in the infected population and the typical exponential growth in the early phase of an epidemic.
Explanation of the simulation's progression showing the epidemic's climax and eventual decline after approximately 40 days.
Discussion on the significance of staying indoors and the impact of harsh measures on the epidemic curve.
Illustration of flattening the curve by reducing the infection rate to alleviate the health system's strain.
Simulation of reducing the infection rate by half and its effect on delaying the epidemic's climax and reducing peak infections.
Emphasis on the importance of following recommendations to reduce personal contacts and prevent infection spread.
Conclusion highlighting the temporary nature of the epidemic and the need for patience during these measures.
Final thoughts on the educational value of the video and the encouragement to share the information learned.
Transcripts
Hi, and welcome to the second video
of the SIR model. In the first part we
introduced the SIR model and understood,
how such a mmathematical model is
derived. Now, we want to
solve the model equations. Again,
I would like to stress that
this material is solely meant for education
and contains no official data,
the model is largely
simplified.
In particular, the data and
results are not representative and
cannot be used for political decisions,
opinion making or corresponding
measures.
We cannot accept any liability for
the use of these model calculations and the
videos and the Python Notebook will
be published under a Creative Commons license.
OK, after
clarifying this, let us recall briefly
the equations. Well, we derived a system
of three differential equations for the
change of the groups of susceptible,
infected, and recovered.
For their solution we needed
initial data, i.e. the numbers for S, I, and R
at a starting time, and the two
constants c and w.
How do we solve such
complicated equations? We will solve
the equations numerically, that means
by using an algorithm that can
be executed by a computer.
We call this step the
discretization. Instead of a derivative
we now use the change of
a constituent - for example the group S -
within a time interval. Consider
the change within one day,
Delta t.
The change in S is called Delta S.
Initially we had 5.83 infected and
99,994.17 susceptible pre 100,000
population. Per day this number changes
with a factor Delta S per Delta t
equals minus 2 divided by 4.5 (this is our
infection rate) times T over N times I.
And if we insert the corresponding values
for S, I, and N, we obtain
approximately 2.6.
So, after one day, we get
2.6 infected more per 100,000
inhabitants, or less susceptible. And this
procedure is repeated for all three equations?
Exactly, And when done with this,
we start from the beginning for the next
day, since the values for S,
I, and R have changed by now.
Step-by-step we compute towards
a predefined time in the future.
Got it!
Theoretically, this could be done by myself
on paper, right? Indeed,
this method was published by the Swiss
mathematician Leonhard Euler in 1768
long before computer were
invented. But today we can
assign such boring tasks
to machines.
I chose a slightly more advanced
method that produces more
accurate results. In principle
it works in the same way as just
described. So then, let us run
the program. On today's computers
this is pretty fast.
I programmed it such that it
produces a figure, in which we
can see the time dependend evolution
or the three groups.
In green and dashed the susceptible,
in red the most important number of
infected, and in blue and dotted
the number of recovered. Oh, that is quite
a steep curve! Yes,
that is true.
Initially, not much happens: for
the first 14 days the number
of infected is very low. But then
the curve bends abruptly and
the number of infected
skyrockets.
This is typical, in the early phase
of an epidemic we observe
exponential growth. However,
this cannot go on
indefinitely.
At some point almost all individuals
have been infected. After approximately 40 days in our
simulation the number of susceptible
reaches zero, and then
the number of infected reaches
its maximum. After that this number
decreases and at the same time the number of
recovered increases. At the end, after approx. 100
days in our example simulation
the epidemic is over. There are no
infected any longer, but also almost no
susceptible, since all individuals are imune by now.
But why should we stay inside now?
What is the meaning of all these harsh
measures with respect to our curve?
The curve shows us that at the
climax of the epidemic there are around 50,000
infected per 100,000 population.
So, one half of the population would be
ill. No country can sustain this.
So, we try to flatten the curve
and currently this can be achieved
solely by reducing
the infection rate, that is our constant c.
By reducing contacts
between individuals, the
likelihood of a susceptible
meeting an infected reduces, and
less persons per day get
contaminated.
We can run this trough our
computer model now.
Sure, this is very useful: if we employ
a mathematical model in our computer,
we can simulate all possible
scenarios, without actually infecting
a single person.
I reduced the infection rate by a
factor of two, and plotted the curves
for the infected against each other.
In red the original curve and in green
and dashed the curve with half the
infection rate. We see that
the climax of the epidemic is shifted
to about day 80.
At the same time, only
approximately 25,000 persons per 100,000
inhabitants are infected. The total number
of infected remains equal. We
recall that the total number of
persons
cannot change. So now
the load on the health system will be
less straining. And this is why it is so
important to follow the recommendations
and rules from scientists and politicians:
Wash hands carefully,
avoid as many personal contacts,
no groups of people, no meeting
or parties. Unfortunately, yes. But
we also see that there is a time after.
The epidemic does not last for ever, but
only a few weeks.
We need to be patient. That is right,
and now, we have introduced the mathematics behind
an epidemic. We hope
you enjoyed it. In any case, we
have learned a lot while
producing this video.
You are encouraged to share
this information.
Voir Plus de Vidéos Connexes
Methodisches Arbeiten in der Beratung – Zirkuläre Fragen
How we Learn: Baddeley's Working Memory, Part 1
How to become attractive even if you are ugly (Real life example)
Google Analytics wird abgestellt - Umstellung zu Google Analytics 4 - Was solltest du jetzt tun?
Kniearthrose - Die effektivsten Übungen für Zuhause │ SanoGym
Wie funktioniert ein Induktionsherd?
5.0 / 5 (0 votes)