Déterminer le SIGNE d'une FONCTION à l'aide de ses VARIATIONS - Première
Summary
TLDRCette vidéo présente une technique pour étudier le signe d'une fonction en se basant sur ses variations. Exemple avec la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5, dont la dérivée est toujours positive, indiquant une croissance stricte. La vérification de 1 comme racine montre f(1) = 0. Le tableau de variation révèle que f est négative pour x < 1 et positive pour x > 1, illustrant comment les variations peuvent déterminer le signe d'une fonction.
Takeaways
- 📚 Cette vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction en utilisant ses variations.
- 🔍 La technique présentée n'est pas infallible mais mérite d'être essayée pour comprendre le comportement d'une fonction.
- 📈 La fonction donnée en exemple est f(x) = x^3 + 4x - 5, dont on cherche à déterminer si elle est croissante sur R.
- 📝 La dérivée de la fonction f(x) est calculée pour analyser son signe et déterminer si la fonction est croissante : f'(x) = 3x^2 + 4.
- 🌟 La dérivée est strictement positive, indiquant que la fonction est strictement croissante sur tout R.
- 🔢 Pour vérifier si 1 est une racine de la fonction, on calcule f(1) et constate que f(1) = 0, confirmant que 1 est bien une racine.
- 📉 Le tableau de variation est utilisé pour déduire le signe de la fonction f(x) à partir de ses variations.
- 📌 En remplaçant x = 1 dans le tableau, on observe que la fonction passe par zéro, ce qui est un point de changement de signe potentiel.
- 📊 Avant x = 1, la fonction étant croissante et passant par zéro, elle doit être négative pour x < 1.
- 📈 Après x = 1, la fonction étant croissante et partant de zéro, elle doit être positive pour x > 1.
- 🔚 En utilisant le tableau de variation, on conclut que f est négative sur (-∞, 1) et positive sur (1, +∞).
Q & A
Quelle est la fonction étudiée dans la vidéo?
-La fonction étudiée dans la vidéo est f(x) = x^3 + 4x - 5.
Comment démontrez-vous que la fonction est toujours croissante sur R?
-On démontre que la fonction est toujours croissante en dérivant la fonction et en étudiant le signe de la dérivée, qui s'avère être strictement positive pour tout x dans R.
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5?
-La dérivée de la fonction est f'(x) = 3x^2 + 4, qui est toujours positive car 3x^2 est toujours positif ou nul et on ajoute 4.
Comment vérifier que 1 est une racine de la fonction f?
-Pour vérifier que 1 est une racine, on calcule f(1) et on constate que f(1) = 1^3 + 4*1 - 5 = 0, ce qui indique que 1 est bien une racine de la fonction.
Quel est le but du tableau de variation dans la vidéo?
-Le but du tableau de variation est de déterminer le signe de la fonction f(x) en utilisant les informations sur ses variations et sa croissance.
Pourquoi le tableau de variation est-il important pour déterminer le signe de la fonction?
-Le tableau de variation est important car il permet de visualiser les changements de signe de la fonction et de déduire son comportement (positif ou négatif) sur différents intervalles.
Quel est le signe de la fonction f(x) pour x < 1?
-Pour x < 1, la fonction f(x) est négative car elle est croissante et passe par zéro en x = 1, donc avant cela elle doit être en dessous de zéro.
Quel est le signe de la fonction f(x) pour x > 1?
-Pour x > 1, la fonction f(x) est positive car elle est croissante et a déjà atteint la valeur zéro en x = 1, donc après cela elle prend des valeurs strictement positives.
Comment la vidéo relie la racine de la fonction à son signe?
-La vidéo relie la racine de la fonction à son signe en utilisant le fait que f(1) = 0 pour déduire que la fonction change de signe en x = 1 et en analysant son comportement avant et après ce point.
Quelle conclusion tire-t-on à partir du tableau de variation pour le signe de la fonction f(x)?
-On conclut que f(x) est négative sur l'intervalle (-∞, 1) et positive sur l'intervalle (1, +∞) en utilisant le tableau de variation et les propriétés de la fonction étudiée.
Outlines
📚 Étude de la fonction et signe avec des variations
Cette partie du script introduit la technique d'étude du signe d'une fonction basée sur ses variations. L'exemple donné est la fonction f(x) = x³ + 4x - 5, dont la dérivée est calculée pour déterminer si elle est croissante sur R. La dérivée, 3x² + 4, est toujours positive, indiquant ainsi que la fonction est strictement croissante. La preuve que 1 est une racine de la fonction est également abordée, en évaluant f(1) qui s'avère être égal à zéro.
Mindmap
Keywords
💡Signe d'une fonction
💡Variations de la fonction
💡Dériver
💡Croissance de la fonction
💡Racine de la fonction
💡Tableau de variation
💡Signe positif
💡Signe négatif
💡Intervalle
💡Étude de la fonction
Highlights
Introduction à l'étude du signe d'une fonction à travers ses variations.
Explication de la méthode pour déterminer si une fonction est positive, négative ou change de signe.
Présentation de la fonction f(x) = x^3 + 4x - 5 comme exemple.
Démonstration que la fonction est toujours croissante sur R.
Étude de la dérivée de la fonction pour déterminer son signe.
Analyse de la dérivée 3x^2 + 4 et sa positivité constante.
Conclusion sur la croissance stricte de la fonction f(x).
Vérification que 1 est une racine de la fonction f(x).
Calcul de f(1) pour confirmer que la valeur est nulle.
Introduction du tableau de variation pour étudier le signe de la fonction.
Utilisation du tableau de variation pour déduire le signe de f(x) en différents intervalles.
Interprétation des variations de la fonction pour déterminer ses valeurs positives ou négatives.
Détermination que f(x) est négative pour x < 1 et positive pour x > 1.
Explication visuelle de la croissance de la fonction et son passage à zéro.
Conclusion finale sur le signe de la fonction f(x) en utilisant le tableau de variation.
Résumé de la séquence et application du tableau de variation pour résoudre des questions sur le signe d'une fonction.
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir
apprendre à étudier le signe d'une
fonction à l'aide des variations d'une
fonction alors c'est une technique qui
ne marche pas toujours mais qui vaut le
coup d'être essayé on va voir comment à
partir des variations de la fonction on
va pouvoir conclure qu'une fonction est
positive négative ou change de signe en
tel valeur donc on y va on part de la
fonction FX = X au cube plus 4 x -5 et
donc dans la première question vous
voudrez déjà démontrer que cette
fonction est toujours croissante sur R
donc évidemment on va commencer par
dériver cette fonction étudier le signe
de la dérivée allons-y X au cube + 4 X -
5 on dérive c'est extrêmement simple la
dérivée dix au cube c'est
3x² + la dérivée de 4x C4 et -5 se
dérivent en 0 on obtient donc comme
dérivé 3 x au carré + 4 et là
immédiatement on voit que cette
expression est toujours positive
pourquoi parce que un carré toujours
positif je multiplie par 3 ça reste
positif je rajoute 4 c'est même
strictement positifs de cette façon là
voilà je ne crois pas que c'est
nécessaire de rédiger plus ici on voit
clairement comme je viens de l'expliquer
que notre expression trois X au carré
plus 4 est strictement positive on peut
donc en conclure que notre fonction f
est strictement croissante
alors dans la deuxième question nous
demande de vérifier que 1 est une racine
de F c'est également une question qui
est assez simple on rappelle que pour
vérifier qu'un nombre est racine d'une
fonction il suffit de vérifier que son
image est nul X1 et racine de F si F de
X1 = 0 alors pour vérifier que 1 est
racine on va tout simplement calculer
F21 et constater qu'on trouve bien zéro
allons-y F21
donc F est ici ça me fait un au cube
plus 4 fois 1
- 5
donc ça fait du 1 + 4 5 - 5 0 bon bah ça
marche
1 et donc √f et dans la dernière
question on demande de dresser le
tableau de variation et c'est grâce à ce
tableau de variation qu'on va pouvoir
répondre à la question qu'on s'était
posée l'objectif donc de cette séquence
c'est dans des dure le signe de F alors
pour l'instant on a l'impression qu'on
travaille un peu dans l'inconnu mais tu
vas comprendre pourquoi le tableau de
variation est donc les variations de la
fonction vont nous permettre de conclure
sur le signe de F préparons déjà ce
tableau voilà donc notre fonction est
définie sur R de -∞
on a vu que la dérivée est strictement
positive et on en a déduit que notre
fonction est strictement croissante
voilà le tableau de variation est
complété et à partir de là il faudrait
en déduire le signe de la fonction f bon
comme ça mystère parce que là on a très
peu d'indications on sait pas ici d'où
ça part on sait pas où ça va on sait pas
à la limite si elle change de signe ou
pas sauf que en remontant dans les
questions précédentes pas très loin il y
a quand même une petite indication on
nous a demandé de prouver que 1 était
racine de la fonction f c'est à dire que
F21 est égal à 0 on le rappelle c'est
écrit ici F21 est égal à zéro si on
place ici notre 1 dans le tableau de
variation on aurait ici un 1 cela
signifierait que là ici on passerait par
zéro
et si on observe maintenant les
variations de la fonction f et bien on
va pouvoir en déduire le signe de F ici
on est en 0 mais avant avant on a une
fonction qui est croissante donc on a
une fonction qui est en train de
rejoindre la valeur 0 donc forcément si
on est en train de rejoindre la valeur 0
on est en dessous de 0 donc dans cette
zone là on est avec des valeurs
négatives de la fonction f ce qui
signifie que pour X plus petit que 1 là
on a un FX qui est négatif à l'inverse
quand on regarde ce qui se passe après 1
donc là je suis en 0 et ma fonction est
croissante donc si je suis en 0 et que
ma fonction est croissante je vais
obtenir des valeurs de F de plus en plus
grande donc de plus en plus grande que 0
et donc positive ce qui veut dire est là
c'est encore également très visuel là je
suis en 0 et là je continue d'augmenter
pour avoir des valeurs qui sont plus
grandes que 0 c'est-à-dire positive et
donc pour X qui est plus grand que 1 ma
fonction f sera positive
alors il y a pas à raconter sa vie on
dit tout simplement qu'on utilise le
tableau de variation
et on conclut F est négative sur
l'intervalle moins l'infini 1 avant 1 f
est positive sur l'intervalle 1 +
l'infini c'est à dire après 1 cette
séquence est terminée
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