Aproximaciones. Uso de la diferencial.

Summary

Este video explica cómo realizar aproximaciones usando diferenciales, específicamente para calcular raíces cuadradas. Se toma como ejemplo la raíz de 70, utilizando una fórmula que permite aproximar el valor de la función mediante su derivada. A través de un caso práctico, se muestra cómo elegir un valor cercano (en este caso, 64) y aplicar la fórmula para obtener una aproximación precisa. El resultado obtenido (8.375) es muy cercano al valor real (8.37), demostrando la efectividad de la técnica de las diferenciales para obtener resultados rápidos y precisos en matemáticas.

Takeaways

• 😀 La aproximación diferencial es una técnica matemática que permite estimar el valor de una función en puntos cercanos al valor real.
• 😀 La fórmula utilizada es f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀) * Δx, donde f(x₀) es el valor de la función en un punto cercano y f'(x₀) es la derivada evaluada en ese punto.
• 😀 Δx representa la diferencia entre el valor aproximado (x) y el punto de referencia (x₀), lo que se conoce como el cambio en x.
• 😀 La elección de x₀ debe ser un valor cercano al que se desea aproximar la función y en el cual la función sea fácil de resolver.
• 😀 Para el ejemplo, se utiliza la raíz cuadrada de 70, y se elige x₀ = 64, ya que √64 = 8, lo cual es fácil de calcular.
• 😀 La función elegida es f(x) = √x, la cual se expresa como x^(1/2) para poder calcular su derivada.
• 😀 La derivada de f(x) = √x es f'(x) = 1 / (2√x), lo que facilita la aproximación.
• 😀 Se calcula Δx como la diferencia entre el valor de 70 y 64, lo cual da como resultado Δx = 6.
• 😀 Al sustituir en la fórmula de la aproximación, se obtiene que f(70) ≈ 8 + (1 / (2√64)) * 6, lo que resulta en un valor de 8.375.
• 😀 La aproximación obtenida de 8.375 está muy cerca del valor real de √70, que es 8.37, lo que demuestra la precisión de la técnica.
• 😀 Esta aproximación se utiliza principalmente para obtener estimaciones rápidas cuando calcular la función exacta es complicado o innecesario.

Q & A

¿Qué es una aproximación diferencial?

Una aproximación diferencial es un método para estimar el valor de una función en un punto cercano a un valor conocido, utilizando la derivada de la función en ese punto.

¿Cuál es la fórmula utilizada para la aproximación diferencial?

La fórmula es: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀), donde f(x₀) es el valor de la función en el punto conocido, f'(x₀) es la derivada de la función en ese punto, y (x - x₀) es la diferencia entre el valor aproximado y el valor conocido.

¿Por qué se usa el símbolo 'aproximadamente' en la fórmula?

El símbolo de aproximación indica que el valor obtenido por la fórmula es cercano al valor real, pero no exacto. Es una estimación que es útil cuando no es posible calcular el valor exacto fácilmente.

¿Qué es Δx en la fórmula y cómo se calcula?

Δx representa la diferencia entre el valor de x y x₀, es decir, Δx = x - x₀. Es un valor pequeño que refleja cuánto se aleja el valor de x del punto conocido x₀.

¿Por qué se escoge x₀ igual a 64 en el ejemplo de la raíz cuadrada de 70?

Se escoge x₀ igual a 64 porque la raíz cuadrada de 64 es un número exacto y conocido, en este caso 8, lo que facilita los cálculos en la aproximación.

¿Cómo se obtiene la derivada de la función f(x) = √x?

La derivada de f(x) = √x se obtiene utilizando la regla de potencias. Reescribimos la función como x^(1/2) y luego aplicamos la derivada: f'(x) = (1/2) x^(-1/2), lo cual es igual a 1/(2√x).

¿Qué valor tiene la derivada en x₀ = 64 para la función f(x) = √x?

La derivada en x₀ = 64 es f'(64) = 1 / (2√64) = 1 / 16.

¿Cómo se calcula el valor aproximado de la raíz cuadrada de 70 usando la fórmula?

Usamos la fórmula de aproximación: f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀). Sustituyendo f(x₀) = 8, f'(64) = 1/16, y Δx = 6, obtenemos 8 + (1/16) × 6 = 8 + 0.375 = 8.375.

¿Cuál es la diferencia entre el valor aproximado de 8.375 y el valor real de la raíz cuadrada de 70?

El valor real de la raíz cuadrada de 70 es aproximadamente 8.37, lo que muestra que la aproximación de 8.375 está muy cerca del valor real, con una diferencia mínima de solo 0.005.

¿Por qué es útil la aproximación diferencial en cálculos?

La aproximación diferencial es útil porque permite estimar valores de funciones complicadas sin necesidad de hacer cálculos exactos, especialmente cuando los valores exactos son difíciles de obtener o los cálculos son complejos.