Bisección

Summary

Cette vidéo présente des méthodes numériques pour approximativement résoudre les racines d'équations non linéaires, en particulier la méthode de la bisection. Elle explique comment réduire un intervalle successivement pour localiser un zéro d'une fonction. Le processus inclut des calculs détaillés, avec un exemple pratique de l'utilisation de la méthode pour approximer la racine carrée de 20. La vidéo démontre également l'importance de l'erreur tolérée et la manière d'optimiser le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une solution précise, ce qui permet une compréhension approfondie des applications pratiques des méthodes numériques.

Takeaways

• 😀 Le script présente des méthodes numériques pour approximer les racines des équations non linéaires de la forme F(x) = 0.
• 😀 Les deux types de méthodes sont les méthodes fermées (bisection et règle fausse) et les méthodes ouvertes (point fixe et Newton-Raphson).
• 😀 Le principe de la méthode de bisection est de réduire l'intervalle contenant la racine jusqu'à ce qu'il devienne suffisamment petit.
• 😀 La méthode de bisection nécessite deux valeurs initiales aux signes opposés de la fonction f(x).
• 😀 Lors de l'application de la méthode, l'intervalle est divisé à chaque itération, en choisissant le milieu pour créer un nouveau sous-intervalle.
• 😀 La condition pour arrêter la méthode de bisection est que l'intervalle soit suffisamment petit, c'est-à-dire lorsque l'erreur absolue soit inférieure ou égale à epsilon (la tolérance).
• 😀 La formule pour calculer le nombre d'itérations minimum, n, est n >= ln(b-a) / ln(2), où a et b sont les bornes initiales de l'intervalle et epsilon est la tolérance.
• 😀 Pour un exemple concret, on utilise la méthode de bisection pour approximer la racine carrée de 20, avec une tolérance de 10^-4.
• 😀 L'exemple montre qu'après 14 itérations, l'intervalle devient suffisamment petit, et la valeur approchée de la racine carrée de 20 est 4.4721, avec une précision de 4 décimales.
• 😀 La méthode de bisection garantit que l'erreur absolue sera réduite à chaque itération, assurant une approximation précise de la racine.

Q & A

Qu'est-ce que la méthode de bisection et comment fonctionne-t-elle ?

La méthode de bisection est une technique numérique utilisée pour approximativement trouver les racines des équations non linéaires. Elle consiste à diviser de manière itérative un intervalle [a, b] où la fonction change de signe, et à réduire progressivement la taille de cet intervalle jusqu'à obtenir une solution précise.

Quelles sont les conditions nécessaires pour appliquer la méthode de bisection ?

Pour appliquer la méthode de bisection, il est nécessaire d'avoir deux points initiaux, a et b, où la fonction f(x) présente des signes opposés. Cela garantit qu'il y a au moins une racine entre ces deux points.

Quel est l'objectif de chaque itération dans la méthode de bisection ?

L'objectif de chaque itération est de réduire la taille de l'intervalle [a, b] où se trouve la racine. Cela se fait en calculant le point médian c et en déterminant si la racine se trouve dans l'intervalle [a, c] ou [c, b], en fonction du signe de la fonction.

Comment savoir si la racine se trouve dans l'intervalle [a, c] ou [c, b] ?

Si la fonction aux points a et c présente des signes opposés, la racine se trouve dans l'intervalle [a, c]. Si la fonction aux points c et b présente des signes opposés, la racine se trouve dans l'intervalle [c, b].

Quelle est la principale différence entre les méthodes fermées et ouvertes pour résoudre les équations non linéaires ?

Les méthodes fermées, comme la bisection et la règle fausse, utilisent un intervalle avec des valeurs fonctionnelles de signes opposés pour brider la solution, tandis que les méthodes ouvertes, comme la méthode de Newton et le point fixe, ne nécessitent pas un tel intervalle initial.

Qu'est-ce que l'erreur absolue et comment est-elle utilisée dans la méthode de bisection ?

L'erreur absolue mesure la différence entre la valeur estimée de la racine et la vraie valeur de la racine. Dans la méthode de bisection, l'algorithme continue jusqu'à ce que l'erreur absolue soit inférieure ou égale à une tolérance donnée (epsilon), indiquant que la solution est suffisamment précise.

Comment déterminer le nombre minimal d'itérations nécessaires dans la méthode de bisection ?

Le nombre minimal d'itérations peut être déterminé en utilisant la formule n ≥ ln(b - a) / ln(2), où a et b sont les bornes de l'intervalle initial, et ln représente le logarithme naturel. Ce calcul permet d'estimer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir un erreur absolue inférieure ou égale à la tolérance spécifiée.

Dans l'exemple donné pour approximé la racine carrée de 20, quel est l'intervalle initial choisi ?

L'intervalle initial choisi pour approximé la racine carrée de 20 est [4, 5], car 4² = 16 et 5² = 25, et 20 se situe entre ces deux valeurs.

Pourquoi utiliser un fix à 4 décimales dans cet exemple ?

Un fix à 4 décimales est utilisé dans cet exemple pour garantir que le résultat est arrondi avec une précision adéquate, en évitant d'atteindre une précision excessive tout en obtenant une approximation suffisante de la racine.

Quel est le résultat final obtenu après les 14 itérations dans l'exemple de la racine carrée de 20 ?

Après 14 itérations, la méthode de bisection donne une approximation de la racine carrée de 20 égale à 4.4721, avec une erreur absolue d'environ 10⁻⁴.