Calculo Integral 04: La integral definida. The definite integral.

Luis Corona
7 Jan 201317:48

Summary

TLDREn esta clase de cálculo integral, se exploran los orígenes y las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral, creados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Se aborda el problema histórico de calcular áreas bajo curvas, introduciendo el concepto de sumas de Riemann para aproximar el área bajo una función. A través de un proceso de subdivisión en rectángulos, se llega a la definición formal de la integral definida como el límite de estas sumas. La clase también establece la diferencia entre la integral y la derivada, profundizando en la notación y los procedimientos básicos para realizar integrales.

Takeaways

  • 😀 Newton y Leibniz fueron los creadores del cálculo diferencial e integral, transformando la ciencia y la tecnología desde el siglo XVII.
  • 😀 El problema de calcular áreas de figuras regulares e irregulares ya existía desde la época de los griegos, pero se resolvió recién en el siglo XVII.
  • 😀 Para calcular el área bajo una curva, se divide la región en subintervalos y se utiliza la suma de rectángulos con base en el valor de la función en puntos específicos.
  • 😀 El proceso de aproximación se puede hacer evaluando la función en el extremo derecho, izquierdo o en cualquier punto dentro del intervalo del rectángulo.
  • 😀 Las sumas de Riemann son la clave para calcular el área bajo una curva, representando una aproximación que se perfecciona al aumentar el número de rectángulos.
  • 😀 El área exacta bajo la curva se obtiene como el límite de las sumas de Riemann cuando el número de rectángulos tiende a infinito.
  • 😀 La integral definida es, en términos simples, el área bajo la curva de una función continua.
  • 😀 El cálculo de integrales implica calcular sumas de Riemann y luego tomar el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito.
  • 😀 La notación de integral se introdujo por Leibniz y está relacionada con la suma infinita de áreas de los rectángulos de aproximación.
  • 😀 El concepto de integral involucra la noción de límite, similar a la derivada, pero con un límite al infinito en lugar de uno a cero.
  • 😀 En el cálculo integral, las integrales generalmente se realizan sobre una sola variable, pero en cursos posteriores se tratarán integrales de varias variables.

Q & A

  • ¿Quiénes son los creadores del cálculo diferencial e integral mencionados en la clase?

    -Los creadores del cálculo diferencial e integral mencionados en la clase son Isaac Newton, un inglés, y Gottfried Leibniz, un alemán.

  • ¿Cuál es la importancia de los descubrimientos de Newton y Leibniz para la ciencia y la tecnología?

    -Los descubrimientos de Newton y Leibniz transformaron la ciencia y la tecnología desde el siglo XVII hasta la actualidad, siendo considerados fundamentales para el desarrollo del cálculo y de diversas áreas científicas.

  • ¿Qué problema matemático se trataba de resolver desde la época de los griegos?

    -Desde la época de los griegos, el problema que se trataba de resolver era calcular el área de figuras regulares e irregulares.

  • ¿Cómo se define la región de interés para calcular el área bajo una curva en el cálculo integral?

    -La región de interés para calcular el área bajo una curva se define por una función f(x), el eje x, y las rectas en x = a y x = b, donde se divide el intervalo original en n subintervalos.

  • ¿Qué representa la fórmula utilizada para calcular el área de los rectángulos en la suma de Riemann?

    -La fórmula para calcular el área de los rectángulos en la suma de Riemann es la suma de los productos de las alturas (evaluadas en un punto específico) y los anchos de los rectángulos, donde el ancho es delta x y la altura es f(xi).

  • ¿Qué es una suma de Riemann y cómo se usa en el cálculo integral?

    -Una suma de Riemann es una aproximación al cálculo del área bajo una curva, sumando las áreas de rectángulos cuyo ancho es delta x y cuya altura se obtiene evaluando la función en puntos dentro de cada subintervalo.

  • ¿Cómo se determina el área bajo la curva de una función continua?

    -El área bajo la curva de una función continua se determina tomando el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subintervalos n tiende a infinito.

  • ¿Qué es la integral definida y cómo se relaciona con el área bajo la curva?

    -La integral definida es el símbolo que representa el cálculo del área bajo la curva de una función continua. Se calcula tomando el límite de las sumas de Riemann.

  • ¿Cuál es la diferencia entre el concepto de integral y derivada en términos de límites?

    -La diferencia principal es que la integral involucra un límite cuando n tiende a infinito, mientras que la derivada implica un límite cuando delta x tiende a cero.

  • ¿Qué representa la notación de la integral definida?

    -La notación de la integral definida incluye el símbolo de integración (∫), el límite inferior y superior de integración, la función a integrar (el integrando), y la diferencial de la variable (dx).

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