Volumen de la Bóveda de Viviani en COORDENADAS POLARES | Ej. 37 Sección 14.3 LARSON | GEOGEBRA

Summary

El script de un video educativo se enfoca en la resolución de un problema de cálculo de volumen de una figura geométrica conocida como la bóveda de Viviani. El problema fue tomado del libro de 'Cálculo de Ron Larson', específicamente de la novena edición en la página 1009, sección 14.3, número 37. La explicación detalla cómo utilizar coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido limitado por gráficos de ecuaciones, incluyendo un cilindro y un hemisferio. El video utiliza GeoGebra para modelar la figura y se discute la simetría del sólido, lo que simplifica el cálculo de la integral doble necesaria para encontrar el volumen. Además, se menciona la fórmula de Wallis para integrales de trigonometría y se utiliza el software matemático Maple para verificar los resultados. El video concluye con un cálculo final del volumen de la bóveda de Viviani, ofreciendo una fórmula que puede ser útil para cálculos similares en el futuro.

Takeaways

• 📚 Se discute un problema de cálculo de volumen de sólidos de revolución tomado del libro de Ron Larson y Bruce H. Edwards, específicamente de la novena edición, página 1097, sección 14.3, problema número 37.
• 🔣 El problema involucra el uso de integrales dobles en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido limitado por gráficos de ecuaciones, incluyendo un cilindro y un hemisferio.
• 📏 Se describe cómo el sólido en cuestión es parte superior de una esfera, y cómo se relaciona con una figura conocida como la bóveda o cuerpo de Viviani.
• 📈 Se utiliza GeoGebra para modelar gráficamente el sólido y visualizar mejor la geometría involucrada en el problema.
• ⚙️ Se plantean las ecuaciones de las coordenadas polares y se resuelve la integral doble considerando la simetría del sólido con respecto al eje x.
• 🔄 Se destaca la importancia de la simetría en el cálculo del volumen, lo que permite calcular solo la mitad del sólido y luego multiplicarlo por dos para obtener el volumen total.
• 🧮 Se resuelve la integral doble paso a paso, utilizando técnicas de integración y fórmulas trigonométricas, incluyendo el uso de fórmulas de Wallis para integrales de seno al cubo.
• 🔢 Se menciona el uso del software matemático Maple para verificar los resultados de las integrales y la solución final del problema.
• 📐 Se proporciona una fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de Viviani, tomando en cuenta el diámetro del cilindro y el radio del hemisferio.
• 📝 Se ofrecen consejos para la integración de funciones trigonométricas con exponentes pares e impares, utilizando fórmulas de iguales de Wallis.
• 🌟 Se agradece el apoyo y motivación de Valentino Rossi, destacando su importancia en el proceso de resolución del ejercicio.
• 📧 Se invita al público a suscribirse, dar like, compartir el contenido y comunicarse con el creador del video a través de su correo electrónico para obtener más información o asistencia en cálculo de integrales.

Q & A

¿De qué problema matemático se trata el video?

El video trata sobre el problema de calcular el volumen de un sólido limitado por diferentes superficies, conocido como el cuerpo de Viviani, utilizando integrales dobles en coordenadas polares.

¿Cuál es la figura geométrica que se forma al cortar un hemisferio con un cilindro?

La figura geométrica que se forma es conocida como la bóveda de Viviani o el cuerpo de Viviani, que es una parte superior de una esfera que se interrumpe por un cilindro.

¿Cómo se relaciona el problema presentado con la fórmula de Vicente de Retz?

El video no especifica cómo se relaciona el problema con la fórmula de Vicente de Retz, pero es posible que se refiera a una fórmula o método para calcular el volumen de sólidos de revolución, que podría ser similar al enfoque utilizado en el problema.

¿Por qué es importante identificar la simetría en el sólido para calcular su volumen?

La simetría es importante porque permite reducir la complejidad del cálculo. Si el sólido es simétrico con respecto a un eje, se puede calcular el volumen de una parte y luego multiplicarlo por el factor de simetría para obtener el volumen total.

¿Cómo se definen los límites de integración para el cilindro en el problema?

Los límites de integración para el cilindro se definen por la posición del cilindro en el espacio y las restricciones impuestas por el hemisferio y el plano xy. El cilindro está posicionado de tal manera que su eje está paralelo al eje x y su base está en el plano xy.

¿Cómo se determina el centro y el radio de la circunferencia en el cilindro?

El centro de la circunferencia se determina a partir de la ecuación de la circunferencia en coordenadas cartesianas, que luego se transforma en coordenadas polares. El radio se ajusta para que la circunferencia pase por el origen y su centro se desplaza 2 unidades a lo largo del eje x.

¿Cuál es la ecuación de la superficie que limita superiormente el sólido de Viviani?

La ecuación de la superficie superior que limita el sólido de Viviani es una hemisferio, cuyo radio es la raíz de 16, y su centro está en el origen.

¿Cómo se utiliza la simetría para simplificar el cálculo del volumen del sólido de Viviani?

Al darse cuenta de que el sólido tiene simetría con respecto al eje x, se puede calcular el volumen de una mitad y luego multiplicarlo por 2 para obtener el volumen total,简化了计算过程。

¿Qué método se utiliza para calcular el volumen del sólido de Viviani?

Se utiliza el método de las integrales dobles en coordenadas polares, lo que permite tener un rango de integración variable para el radio y un rango fijo para el ángulo.

¿Cómo se evalúa la integral doble para encontrar el volumen del sólido de Viviani?

Se realiza un cambio de variable y se aplican fórmulas trigonométricas para simplificar la integral. Luego, se evalúa la integral en los límites correspondientes y se multiplica por el factor de simetría para obtener el volumen total.

¿Qué software matemático se menciona para verificar los resultados de las integrales?

Se menciona el uso de Maple, un software matemático, para verificar los resultados de las integrales y validar el cálculo del volumen del sólido de Viviani.

Outlines

00:00

🔍 Análisis del problema de cálculo del volumen de un sólido

Se inicia el análisis de un problema de cálculo de volumen de un sólido limitado por diferentes figuras geométricas. Se menciona el uso de integrales dobles en coordenadas polares para encontrar el volumen del sólido entre un hemisferio y un cilindro. Se discute la importancia de establecer los límites de integración y se grafica el cilindro y la circunferencia involucrada para visualizar los límites del sólido. Se destaca la simetría del problema y cómo esto puede simplificar el cálculo del volumen.

05:00

📐 Construcción del sólido y su simetría

Se detalla cómo construir el sólido de interés, que consiste en una bóveda o cuerpo de Viviani, y cómo se relaciona con el hemisferio y el cilindro. Se describe la simetría del sólido respecto al eje x y cómo esto se puede usar para calcular la mitad del volumen y luego multiplicarlo por dos. Se enfatiza la importancia de modelar el sólido para comprender su forma y simetría, lo cual es crucial para el cálculo del volumen.

10:02

🧮 Desarrollo del cálculo integral en coordenadas polares

Se aborda el cálculo del volumen utilizando coordenadas polares, teniendo en cuenta la simetría del sólido. Se describe el rango de valores para el radio y el ángulo en las integrales, y cómo el radio varía con el ángulo. Se realiza la integral doble considerando la simetría y se resalta la importancia de factorizar y simplificar la expresión antes de integrar. Se menciona el uso de software matemático para verificar los resultados de las integrales.

15:04

📐 Uso de fórmulas de Wallis para integrales de trigonometría

Se discuten las fórmulas de Wallis para calcular integrales de funciones trigonométricas con exponentes pares e impares. Se muestra cómo aplicar estas fórmulas para simplificar y resolver la integral doble del volumen. Se destaca la utilidad de estas fórmulas para acelerar el proceso de integración y obtener resultados precisos.

20:05

📝 Verificación de resultados y agradecimientos

Se presenta el resultado final del volumen del sólido, utilizando el método de integración y las fórmulas de Wallis. Se menciona el uso de software matemático para verificar la precisión del cálculo. Finalmente, se incluye un agradecimiento a Valentino Rossi y se animan a los espectadores a suscribirse, dar like y compartir el contenido.

Keywords

💡Volumen

El volumen es una medida de la cantidad de espacio que ocupa un sólido o un contenedor. En el video, se trata de calcular el volumen de un sólido determinado, conocido como la bóveda de Viviani, utilizando técnicas de integración doble.

💡Coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de referencia para puntos en un plano que utiliza la distancia del origen (radio) y el ángulo medido desde un eje (generalmente el eje x). En el video, se utilizan para transformar la ecuación de una circunferencia en coordenadas polares para facilitar el cálculo del volumen.

💡Cilindro

Un cilindro es un sólido de revolución generado rotando un rectángulo alrededor de uno de sus lados. En el contexto del video, el cilindro define límites para la integración y es parte de la geometría del sólido del que se quiere calcular el volumen.

💡Hemisferio

Un hemisferio es la mitad de una esfera. En el video, el hemisferio se menciona como una de las figuras que limitan el sólido cuyo volumen se busca calcular, siendo parte superior de la bóveda de Viviani.

💡Curva de Viviani

La curva de Viviani es la intersección entre un cilindro y un hemisferio. En el video, se describe cómo esta curva forma parte de la bóveda de Viviani y es crucial para el cálculo del volumen del sólido.

💡Integración doble

La integración doble es un tipo de integral que se utiliza para calcular áreas en el plano, pero también se extiende para calcular volúmenes en el espacio. En el video, se utiliza la integración doble para encontrar el volumen de la bóveda de Viviani.

💡Simetría

La simetría se refiere a una propiedad de un objeto o figura donde una parte es espejeada o reflejada de otra parte. En el video, se utiliza la simetría del sólido para simplificar el cálculo del volumen, calculando solo la mitad y luego multiplicando por dos.

💡GeoGebra

GeoGebra es un software de geometría dinámica que se utiliza para modelar figuras geométricas y visualizar matemáticas. En el video, se menciona el uso de GeoGebra para modelar la bóveda de Viviani y ayudar en el cálculo del volumen.

💡Bóveda de Viviani

La bóveda de Viviani, también conocida como el cuerpo de Viviani, es una figura geométrica formada por la intersección de un cilindro y un hemisferio. El video está centrada en el cálculo del volumen de esta figura.

💡Integral indefinida

Una integral indefinida es una antiderivada que no tiene límites definidos. En el video, se utiliza la integral indefinida como parte del proceso para calcular áreas y volúmenes, y luego se evalúa en los límites correspondientes.

💡Fórmulas de Wallis

Las fórmulas de Wallis son fórmulas matemáticas que se utilizan para calcular integrales de funciones trigonométricas con potencias pares o impares. En el video, se mencionan estas fórmulas como una herramienta para calcular una de las integrales necesarias para encontrar el volumen.

Highlights

Se aborda el cálculo del volumen de un sólido limitado por gráficos de ecuaciones en el espacio tridimensional.

El problema proviene del libro 'Cálculo de Ron Larson', Novena Edición, página 1097, sección 14.3, número 37.

Se utiliza el método de integración doble para encontrar el volumen del sólido.

El sólido en cuestión es parte de una esfera, un cilindro y un hemisferio.

La figura resultante es conocida como la bóveda o el cuerpo de Viviani.

Se discute la relación del problema con la fórmula de Vincenzo Viviani, un matemático del siglo XVII.

Se emplea GeoGebra para modelar gráficamente el sólido y visualizar la figura resultante.

Se describe cómo se definen los límites de integración usando el cilindro como referencia.

Se resalta la importancia de la simetría en el sólido para simplificar los cálculos.

Se calcula el volumen de la bóveda de Viviani utilizando la simetría del sólido.

Se utiliza la integración doble en coordenadas polares para abordar el problema.

Se discuten técnicas de integración, incluyendo el cambio de variables y el uso de fórmulas de Wallis.

Se resalta la complejidad de plantear el rango variable del radio en la integración doble.

Se evalúa la integral indefinida y se aplica el principio de simetría para obtener el volumen total.

Se menciona el uso del software matemático Maple para verificar los resultados de las integrales.

Se proporciona una fórmula alternativa para calcular el volumen del cuerpo de Viviani.

Se agradece el apoyo de Valentino Rossi, destacando su importancia y apoyo constante en el proyecto.

Se ofrece información de contacto para comunicarse con el creador del contenido.

Se animan a los espectadores a suscribirse, dar like y compartir el contenido.

Transcripts

bienvenidos más azúcar a reuniones en

esta oportunidad vamos a realizar un

problema tomado del cálculo de ron

larsson y poseedor de la novena edición

en la página mil nueve sección 14.3 el

37 el que vamos a realizar que dicen

utilizarlo entre el doble con unas

polares para hallar el volumen del

sólido limitado o ajustado por las

gráficas de estas ecuaciones dice

interior el hemisferio la cúpula dentro

del hemisferio el interior a esta

cilindrada era acá interior al

hemisferio interior al cilindro como lo

tiene acá este ejercicio el volumen que

va a formar es la parte superior del de

una esfera que poner a raíz cuadrada

positiva es decir que va a ser como

hemisferio es sobre el plano xy y el

volumen que forma como yo lo voy a

modelar y todo dios de abrahán se van a

dar cuenta que una figura conocida como

la bóveda o el cuerpo de viviana ya lo

va a ver lo puede jubilar esa manera

también y lo vamos a explicar también

cómo vamos a relacionar con esa fórmula

de vincenzo de bien ok listo esto lo

retiro para comenzar con el problema

retiramos acá bien lo primero que

debemos hacer es que no tenemos más

información más limitaciones en la mente

no es tan difícil plantear la integral

doble porque este cilindro que venir acá

como no me están diciendo primero

plantea el primer cuadrante él es el que

va a definir los límites de integración

o sea todo lo que el perejil y se está

va a ser lo que va dentro de la integral

de las aceptas el techo del volumen ya

lo van a ver es sólido y este el piso

vamos a tomar primero

este cilindro para graficar lo que pasa

que es un cilindro el cual la vista

superior la vista del plan aquí que

tiene x cuadrado menos

en su centro no están

la mejor manera vamos a utilizar esta

ecuación ordinaria de las de la

circunferencia para que vean dónde está

el centro y por supuesto pueden realizar

la graficar vamos a ordenar esto a la

siguiente manera x cuadrado menos 4x más

que cuadrado igual se sabe la equis aquí

delante anti cuadrado vamos a hacer

complicación de cuadrados porque tenemos

que llevar un producto notable el lleno

tiene problema porque simplemente los

relleno con cero con las personas que

están acostumbrado a cónicas les voy a

sumar la mitad del segundo alcohol a la

mitad de cuatro en dos al cuadrado 4

sumó 4 este lado sumó 4 escenario

importe aquí sea menos la persona que

tengan problemas con completas son de

cuadrados factorización es y le dejó la

descripción del vídeo un curso completo

de factores a por si quieren reforzar

luego el producto notable sería la equis

signo principal que es menos y la mitad

del segundo sin elevar al cuadrado o la

raíz del tercero sería x menos 2 todo al

cuadrado más chile completa con 0 y el 4

es 2 al cuadrado

el centro de hk no lo olvidemos al que

acompaña la de kiko el signo contrario

acompaña la ecuación encontrar y bueno

en cero el centro y el radio de 2 con la

raíz de 4 del centro será 20 y el radio

vean que el centro no está colorista

ligeramente a la derecha y con el radio

2 él pasará por el oro

y aquí se los tengo listo modelado con

geogebra aquí estaba una circunferencia

centro 20 y el radio es 2 y el centro de

20 y el radio 2 pasa por el origen aquí

hay dos unidades para acá y llega hasta

4 la extensión está cupcake por supuesto

2 aquí arriba hizo entonces el círculo

no es concéntrico se encuentra a la

derecha está todo pintado porque todo es

la base del sólido

antes de continuar quiero mostrarle el

sonido que se va a formar y la curva de

viviani todo aquello que estaba

comentando se llamó no saber para qué a

cómo se modelan ya les prepare todo el

universo del sólido y luego regresamos a

hacer el planteamiento del integral de

lo que son los límite del radio y el

ángulo y luego la integral como tal

acompáñeme por favor

muy bien aquí estamos yendo evra aquí

tenemos el s azul vertical el eje rojo

el x y el eje verde será el eje che bien

como habían visto en la lámina anterior

el cilindro se encuentra en el eje x se

contraría de este lado hoy vamos a

colocar el cilindro completo recuerde

que un cilindro porque le falta la

variable z por lo tanto el es paralelo

ese tiempo se extiende completamente en

ese eje

este es el cilindro mucho como está

justamente a un costado del eje central

es éste el signo que termina acá estado

en el centro 20 radio 2 pegadas cada

cuatro pegada cabe de los días que están

en este signo

vamos a colocar el círculo que viene

bonita que era la que sería la tasa que

queda como el plano xy

recuerden que va a ser debajo del

hemisferio y el hemisferio de mente sólo

llega hasta el problema no de 60 igual a

cero para adicional de rosas sobre

tiempo porque es el hemisferio comienza

hacia arriba es este

ahora el hemisferio hasta ver

el hemisferio ustedes pudieron ver que

la ecuación es 16 - x 4 pero ya fueron

el hemisferio la una mitad la mitad

superior de una esfera el radio en la

raíz de 16 ya que radio 4 ya que el

hemisferio justamente donde termina el

extremo del cilindro ahí va a llegar al

hemisferio para aprovechar a explicar el

sólido completo al estar en exterior se

lo coloque bien el hemisferio justamente

sus radios el diámetro de cierta manera

el diámetro del cilindro justamente es

el radio del hemisferio tal cuadro y si

esto sucede de esta forma el cilindro

hasta dónde llega quisiste el sonido de

la parte derecha el sóleo tiene que ser

y esto que está atrapado que adentro que

el techo de esta cúpula esta parte de la

cúpula que está acá y el cuerpo de lo

que tanto el civil

eso es lo que se llama un cuerpo de

viviana pero el cuarto de viviani para

que fuera matemático italiano siglo 17

que estableció este problema es completo

sabes con la esfera completa schalke la

parte superior y parte inferior este

problema sería medio sólido de vivían y

medio cuando vivían y lo pueden golear

entonces vean esto

esta que está cadáver tiene un momento

los sólidos para que veas la curva que

nace de la intersección del cilindro con

en el hemisferio de la por bajo esta

curva

aquí esta curva se conoce como la

probabilidad está completa esta pulpa

que modela con a modelar el sólido que

vamos a representar en esta curva

destacar es la curva de viaje de la

tierra

ahora vamos a regresar o no colocar

nuevamente al cilindro y la fe el

hemisferio

para seguir construyendo el sol y donde

no quiere usarlo

ok y aquí tenemos de vuelta el cilindro

del hemisferio el piso este círculo que

está acá y tenemos la curva de viviani

ahora

yo voy a colocar

había coloqué

piso del sólido aquí estoy colocando el

hemisferio que estoy colocando el cuerpo

del cilindro ya van a ver vamos a

retirar el lo que no me interesa

el restante el ciento restante el

hemisferio más retirarlo para quedar

como que del sol yo

retiramos el hemisferio retiramos estos

señores estén sólidos este el cuerpo de

la bóveda de vivían esta es

vean el piso y telviso que es el círculo

que tenemos acá la base la base del sol

y el cuerpo azul es completamente el

cilindro el cuerpo del cilindro y el

techo también el techo es

es parte de lo que nos dejó el

hemisferio

señores este el volumen que vamos a

calcular esta belleza es dentro del

cilindro

debajo del hemisferio y por supuesto el

piso es el plano y bueno pues eso es lo

que se conoce como la bóveda de viviana

o también puede ser la mitad superior

del cuerpo de viviani hacia vincenzo muy

bien matemático italiano

no ha sido en el siglo 17

aunque antes de regresar a la mina

quiero que vean algo yo quiero que se

den cuenta que esté sólido tiene una

simetría

justo en el eje x es decir la parte

derecha una parte superior ahora es

igual a la parte inferior de cuenta ya

que para calcular el volumen y saber

para qué es simétrico totalmente

canadiense está mira que yo puedo

calcular el volumen de esta parte y

multiplicarlo por 2 y conseguir el

volumen completo dijo porque cuál es la

polar es más fácil si conseguimos

simetría y si la piel sea por supuesto

una simetría con respecto a lleno la y

obviamente pero con respecto al

ejercicio la gira es simétrico esta

parte de alcalá éste es sólido que deja

aquí

este es sólido de acá igual a este

totalmente entonces la asimetría va a

ser nuestra arma aquí pero es importante

la simetría no siempre se puede ver sólo

por la función del piso puesto que es

importante modelar el sólido tener una

idea de cómo es el sólido claro si es un

hemisferio ya uno sospecha de que si

méxico cree que se hace a dónde está la

simetría

muy bien ahora si nos vamos a la lámina

y continuamos para hacerlo con simetría

y calcular la integral doble

hoy estamos de vuelta aquí en la lámina

ya vamos a recuperar las ecuaciones de

coordenadas polares y buenos recursos

del ángulo y bueno x con amaya córdoba

igual al cuadrado porque es también

parte de la ecuación por ahí el

diferencial de área que vale integral

doble r de diferencial de real

diferencial de la culo lo vamos a hacer

por simetría

vamos a hacer solamente la parte de

arriba que esta parte de arriba porque

este volumen va a ser igual a este

volumen porque ya lo comprobamos en el

espacio no porque sea simétrico esta

esta base cuidado por eso esto del radio

el ángulo de barrido vean que el eje

polar a que el polo o el centro va a ir

de cero o xavi acá en el semi x positivo

hasta pri medios al tiene que barrer de

aquí hasta acá

pero si te das cuenta el radio variable

porque el radio va a ser desde el origen

o polo hasta la parte externa del del

círculo pero como el círculo no es

concéntrico el radio no es constante

porque aquí de hecho aquí el radio 4

aquí aquí el radio 4 y si sigue subiendo

el radio va disminuyendo date cuenta

hasta que llegue el radio ser porque

cuando pones es polar que regresar el

radio es variable el ángulo no hay

problema porque el ángulo vale cero no

voy a decir que el ángulo de cero a pi

porque no es el ángulo del círculo es el

ángulo que va a reelegir polar si el

círculo estuviese concéntrico si fuese

cero pi porque sería el aire ahora

tendré que barrer de izquierda a derecha

completamente no es lo que barre el eje

polar no el ángulo del círculo

necesariamente para que sea nulo el

círculo tiene que está concéntrico

ahora pero el radio no es constante como

hacemos porque el radio cada vez que

sale cambia cada vez que el radio va de

la mano con el ángulo ok

va de la mano pues de acuerdo se lo que

tienes que hacer es tomar el cilindro y

el cilindro convertirlo ecuaciones

polares o pasar nuestros coordenadas

cartesianas pasar los osos polares x

cobramos de cuadrados es re cuadrado xs

reconocer

sacamos factor común del radio que queda

de al menos 40 el radio se iguala 0 r -

cuatro coseno también se iguala 0 y se

despeja si te das cuenta queda que el

radio cero que es cuando nacen al polo y

el extremo es cuatro cosas en el ángulo

quiere decir que cada vez que el ángulo

va cambiando el radio también es decir

si el ángulo es cero por ejemplo si le

ponen cero cosas del radio 4 que cuando

está aquí pero si lo vas colocando

valores en radiales

peter ciop y sexto el te va dando el

radio de acuerdo al ángulo de barrido o

sea que el radio es variable 4 coseno de

hecho cuando el círculo está la derecha

4 consejos cuando el círculo está arriba

es con el seno eso lo que de momento no

va aprendiendo cada vez que investiga

ecuaciones polares son señores el radio

es 4 coseno el radio de salido el radio

externo se por simetría solamente va a

usar la parte superior será el radio va

de 0 a 4 con seno el ángulo de cero pi

medio y tenemos que multiplicar la

integral doble por dos pero la integral

doble vamos a tomar secta que es lo que

vale integral se acabó factor común

menos importante eso y que economía

cuadro que he recuadrado

se le integra el doble para lo que serán

todos por simetría porque es la parte

superior nada más de 0 p y medio que el

ángulo que va de último de 0 4 kos en un

radio variable raíz

16 - radio al cuadrado por el

diferencial que rdr de diferencial del

ángulo

señores hasta aquí es la parte más

difícil de problemas modelar el sólido

ver de qué se trata de se muestra con

simetría planteamiento del ángulo

planteamiento del rango que el radio

variable cómo plantearlo este la parte

más complicada quiero que ponga pausa

retrasar lo que tenga que retrasar tomen

nota porque la siguiente la mina es sólo

para resolver la integral y por supuesto

yo siempre comprobar los resultados todo

está modelado con geogebra que es la

parte de las de los sólidos peronista

que el espacio y la parte de del plano

físico

voy a pasar entonces la siguiente lámina

tome nota era gracias por su paciencia

fue para mí un excelente ejercicio me

gustó mucho moderar el sólido porque

tuve que investigar un poquito sobre el

lago de debilidad y que no la conocía y

ahora se las traigo ustedes va a quedar

un buen ejercicio quieren el canal

l

muy bien aquí les dejo en esta esquina

la bóveda bibiana para dejar este

trabajo quedará me gustó mucho hacerlo

para ustedes está el volumen que estamos

calculando existan integral x 2

tenemos la integral de raíz de dice

menos recuadrado por rdr esta integral

yo lo voy a tomar aparte y la va a ser

indefinida porque y luego voy a regresar

acá se puede hacer con cambio variable

llamando a la raíz solamente elevada al

cuadrado le queda un cuadrado igual a

dice que no es recordable más al

cuadrado por la igualdad derivas 2

budebo aquí menos 2 veces el radio por

el diferencial de radio que es tercero

el menos lo puedes pasarlo de izquierdo

y el dos cancelas veces queda menos

google el df cuando vamos la integral

nos queda el menos fuera de la integral

la riesgo y el ere de rtve se queda un

cuadrado integral que podrá normal le

dejó también curso integrales en la

descripción del vídeo para que la

persona quien refuerza el cambio

variable la integrales curso sobre tres

voy a colocar más c por qué ejemplo nada

más por si acaso hay profesores que

quitan noto por eso es la raíz

o que al menos un tercio del cubo esté

la integran

lo regresamos a la integral doble con

sus límites 0 4 con 0 mira aquí está sin

el más por supuesto aquí ha definido el

menos un tercio lo voy a sacar de la

integral para que quede menos dos

tercios y evaluamos quedará menos dos

tercios evaluamos el 4 coseno acá al

cuadrado queda 16 coseno cuadrado que va

aquí en el radio al cuadrado menos y

cuando evalúa el 0 no hace falta porque

queda en la raíz de 16 que evaluar

superior acá queda todo al cuadrado mira

al cubo la raíz y cuando va lucense nos

quedaría sin de raíces y solamente

y menos dos tercios voy a sacar aquí

factor común de 16 pero esto lo voy a

simplificar aparte porque tiene

trigonometría saco factor común de 16 1

- con cero cuadrado es una identidad

fundamental es cero cuadrado raíz para

cada uno queda raíz de dice que 4 y rey

16 tercero coloque a cero pero están al

cubo satura sacar la raíz e

inmediatamente y quedan al cubo el 4 al

cubo y el seno que el cuadrado se

cancela con la raíz queda el cubo

cuidado con eso muy delicado a esto y

esto regresa a leer esto claro estos 64

que éste 4 464 sean al cubo y aquí

también raíces cuanto al cubo 64

puedo sacar factor común de 64 sería muy

bueno eso y no quedarse en un cubo menos

ahora si yo separo en dos integrales

aquí 64 por 2 128 le queda la primera

integral de cero para medio del seno al

cubo me dieron la integral de cero y

medio del diferencial del ángulo porque

algunos solamente

ahora está integral del seno al cubo se

puede hacer

separando cambio variable tendrá su

trabajo pero resulta que no sé si usted

está bien pero hay una fórmula que saben

las fórmulas de cuáles son wallis fue un

matemático que estableció en fórmula

para hacer esta integral se hacen o

coseno con potencia par o impar más

rápido se con su permiso hasta para un

momento acá luego lo retiro y esto

también lo consigue en el texto del

lapso el texto que ustedes tengo lo

peculiar las fórmulas iguales fíjate

algo aquí están con coseno pero funciona

igual con el seno cuando es impar se

utiliza esta esta relación y cuando es

par se utiliza esta relación como

funciona si impar por ejemplo si es 3 y

es de 0 y medios el nuevo consejo en la

respuesta de dos tercios nada más si es

5 sería sería 3 por cada valor impar 3

579 agregando una fracción y se

multiplica hasta el término enésimo

propio 100 5 sería dos tercios por

cuatro quinto porque serían dos valores

impares 35

si es 7 por ejemplo es aquí es a las 7

se estaría 357 serían dos tercios por

cuatro quintos por seis séptimos sería

tres fracción multiplica si van a

multiplicar los y si es para por ejemplo

si es con cero a la 4 014 consumo no

tiene que ser cero y medio sería un

medio contra el cuarto por medio hay que

agregar y media lo pueden verificar con

aplicaciones con calcular como ustedes

quieran entonces como el 0 al cubo es el

primer valor impar sería solamente 23

así es así pero señores esto integrales

reuters así de rápido

y si fuera cero a las cinco serían dos

tercios por cuatro quintos sería 2 por

48 08 15 a 2 para citar a ser rápido la

integral de tita dictarse lo que martita

que transita como lo quieran llamar

vamos aquí tenemos dos tercios y de cero

y medio la q lo vamos a evaluar que a

dos tercios y medio porque el ser o no

importante sería dos tres o menos

primero de esta integral sale dos

tercios de distinta gracias a los

pequeños en estas fórmulas de iguales

las pueden crear las pueden buscar el

subtexto preguntar procesos y me

problema funcionan con 50 de las gracias

a lo cual es por este aporte tan valioso

que me ahorra mucho tiempo de

integración y da perfecto la retiró

entonces por contados bebido si

necesitan y la puede investigar sin

brote

gracias juanes

señor estamos casi listos ya aquí

podemos hacer distributiva sin ningún

problema aquí 128 poner menos por menos

más a poner el de pi delante es 128

mitad de 64 tercios de pi y acá menos

aquí será 128 por 256 por 39 esta es la

respuesta o el volumen de esta bóveda de

viviana ok pero en el texto si buscará

respuestas porque la pregunta es impar

lo consigue de esta manera porque le

hiciera un factor común que es

totalmente válido sacar 64 novenos si

saca fotos muy 64 - de acá te dan a ésta

porque 64 metros multiplicar por 3

simplifica que da tercio y sentí 4x4

queda 205 que se innove no esté la

respuesta que consigue en el libro y

está la respuesta que nos tenemos son

tal cual aciago distributiva me da

perfecto unidades cúbicas ese sería el

resultado ahora como tú veas

el cuerpo de envidia no para

tú puedes emplear esto consigues esta

fórmula que ya está lista porque siempre

y cuando esté claro el cilindro ver el

radio

el hemisferio sea el diámetro del

cilindro y está a un lado si eso es así

esta fórmula funciona pero esta fórmula

consigue las dos mitades a la parte de

arriba la parte de abajo porque es para

la escena completa o sea que para que

pueda aplicarlo en este ejercicio

solamente lo multiplicas o lo divides

para dos otorga promedio ya que sería

aquí

peter se aquí 49 y el radio r el radio

del hemisferios a 4

sea 1064

64 por mi tercio menos 49 la respuesta

directa en directo tu google es cuerpo y

bienes como es la mitad le agregas el un

medio y tendrá el resultado perfecto

a su vez yo utilicé maple que el

software matemático que usó para

verificar eran integrales y da muy bien

aquí está a menos 256 novenos más de 4

al ser éste el resultado verificado

como el cuerpo de díaz ni la mitad por

supuesto y con maple

me decía que había despedido habitual

quiero dar un gran saludo cariñoso y con

mucho amor a valentino rossi no una

persona muy especial que siempre me

apoyan y me estuvo dando ánimo durante

este ejercicio cariño un beso inmenso

para ti gracias por estar siempre allí

desde hace muchos años poniendo todo mi

proyecto tomando todo todo todo todo en

la buena vibra todo el amor que te

podemos darte acá te quiero un montón

gracias de verdad gracias valentina te

mando un beso gracias por tu apoyo

aquí les dejo a todos entonces para que

se suscriban darle like la campanita

suscríbete comparte y también que eso te

gustaría a ver acá tengo mi correo para

que te puedes comunicar conmigo y acá

más integrales dobles y triples que te

puedan servir de este hermoso mundo de

skype

gracias por tu apoyo no olvides lavarse

bien las manos que las fuerzas que

acompañe el próximo