Volumen entre 2 cilindros verticales y logaritmo natural | POLARES | Ej. 36 Sección 14.3 LARSON

Summary

En este video, el canal online aborda el desafío de resolver un ejercicio de cálculo de la novena edición del texto de cálculo de Larson, que involucra la utilización de integrales dobles en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido determinado. El problema se centra en un sólido acotado por las gráficas de logaritmos naturales y los radios de dos cilindros concéntricos de radios 1 y √4. Para visualizar y resolver el ejercicio, se utiliza la herramienta GeoGebra para modelar tanto el sólido como el plano de integración. El proceso incluye la integración de la región anular entre los cilindros, utilizando técnicas de integración por partes y el teorema fundamental del cálculo. El resultado final se verifica con programas de matemáticas y se ofrece una respuesta detallada en forma de volumen en unidades cúbicas. El video también anima a los espectadores a utilizar tecnologías gratuitas para facilitar el aprendizaje de cálculo y a practicar con más ejercicios de integrales dobles y triples.

Takeaways

• 📚 Se resuelve un ejercicio de cálculo de volumen utilizando integrales dobles polares.
• 📖 El texto de referencia es de 'Cálculo' de Ron Larson y Edwards, novena edición, página 1009.
• 📏 El problema involucra un sólido acotado por dos cilindros de radio 1 y √4, respectivamente.
• 🚫 El volumen se encuentra entre el plano z=0 y la superficie definida por el logaritmo natural de (x² + y²).
• 📈 Se utiliza GeoGebra para modelar gráficamente el sólido y las regiones de integración.
• 🛠️ La integración es por partes, con límites desde 1 hasta 2, y el ángulo varía de 0 a 2π.
• 🧮 La integral resultante es resuelta aplicando técnicas de integración por partes.
• 📐 Se simplifica la expresión integral utilizando propiedades trigonométricas y logarítmicas.
• 📉 El límite superior del cilindro exterior es 2, y el inferior es 1, formando una región anular.
• 🎨 Se modela el sólido en 3D para visualizar mejor la región de integración y el volumen a calcular.
• 📝 Se recomienda el uso de tecnología para facilitar el cálculo de integrales dobles y triple, como Maple o aplicaciones similares.

Q & A

¿De qué texto de cálculo se trata el ejercicio que se resuelve en el video?

El ejercicio proviene del texto de cálculo de Ron Larson, incluso Edwards, en su novena edición.

¿En qué página del libro se encuentra el ejercicio que se discute?

El ejercicio se encuentra en la página mil nueve.

¿Qué tipo de integral se utiliza para encontrar el volumen del sólido en cuestión?

Se utiliza una integral doble en coordenadas polares.

¿Cuál es la forma de la región que limita el sólido cuyo volumen se busca encontrar?

La región está limitada por dos cilindros concéntricos, uno de radio 1 y otro de radio 2 (raíz de 4).

¿Qué herramienta se utiliza para modelar el sólido y visualizar el ejercicio?

Se utiliza GeoGebra para modelar el sólido y visualizar el ejercicio.

¿Cómo se determina el 'techo' del sólido en coordenadas cartesianas?

El 'techo' del sólido es determinado por la expresión del plano xy formado por los dos cilindros, que es z = logaritmo natural de (r^2).

¿Cuál es la región a integrar en el plano xy?

La región a integrar es la zona anular entre el cilindro de radio 1 y el cilindro de radio 2.

¿Cómo se abordan las coordenadas polares en la integral doble?

Se utilizan las ecuaciones polares para convertir la región a integrar en coordenadas polares, donde 'r' es el radio y 'θ' es el ángulo de barrido.

¿Cómo se evalúa la integral doble para encontrar el volumen?

Se evalúa la integral doble aplicando el teorema fundamental del cálculo, integrando primero con respecto a 'r' y luego con respecto a 'θ', y utilizando la propiedad logarítmica del volumen.

¿Qué resultado se obtiene para el volumen del sólido?

El volumen del sólido se calcula como 4π(r^2 log(r)) evaluado entre los radios 1 y 2, lo que resulta en 4π(2^2 log(2) - 1^2 log(1)).

¿Cómo se verifica la respuesta obtenida en el video?

La respuesta se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple, que confirman el volumen calculado.

¿Qué consejo se da al final del video para mejorar la comprensión de integrales dobles y triples?

Se recomienda la práctica y el uso de tecnología, como aplicaciones gratuitas para modelar integrales, para mejorar la comprensión y habilidad en cálculo de integrales dobles y triples.