🟦 Máximos y Mínimos de una Función (Criterio de la Primer Derivada) | Video 3

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur présente une méthode détaillée pour calculer la première dérivée d'une fonction rationnelle en utilisant la règle du quotient. Après avoir trouvé la dérivée, il identifie le point critique et applique le test de la dérivée première pour déterminer qu'il s'agit d'un maximum local. Enfin, il calcule les coordonnées du maximum et conclut que la fonction possède un point maximum aux coordonnées (1/2, -8). Ce processus est expliqué de manière claire et accessible, avec des calculs étape par étape et des tests de dérivées pour analyser la fonction.

Takeaways

• 😀 Le premier pas consiste à calculer la dérivée de la fonction en utilisant la règle de la dérivée d'un quotient.
• 😀 La formule de la dérivée d'un quotient est : (v * f'(x) - u * g'(x)) / v², où u et v sont les fonctions du numérateur et du dénominateur.
• 😀 L'application de la règle donne un numérateur complexe, où il faut dériver chaque terme individuellement.
• 😀 Après simplification, on obtient un résultat de dérivée en termes de x.
• 😀 Le second pas consiste à égaler la dérivée à zéro pour identifier les points critiques, ce qui nous permet de rechercher des maxima ou minima.
• 😀 On résout l'équation pour x et trouve x = 1/2 comme point critique, ce qui est un candidat potentiel pour un maximum ou un minimum.
• 😀 On choisit des valeurs pour tester la dérivée en utilisant des points avant et après le point critique (1/4 et 3/4).
• 😀 Lorsqu'on évalue la dérivée en ces points, on obtient des résultats spécifiques qui nous aident à analyser le signe de la dérivée.
• 😀 En évaluant la dérivée à x = 1/4 et x = 3/4, on constate que la dérivée change de signe, indiquant un maximum au point critique x = 1/2.
• 😀 Pour déterminer les coordonnées du point maximum, on remplace x = 1/2 dans la fonction originale et on obtient le maximum à (1/2, -8).
• 😀 La fonction a donc un maximum en x = 1/2 avec une valeur de f(x) égale à -8, ce qui marque la conclusion de l'analyse.

Q & A

Quelle est la première étape pour dériver la fonction dans ce script ?

La première étape consiste à calculer la première dérivée de la fonction f(x) en appliquant la règle de dérivation d'un quotient.

Quelle est la règle de dérivation appliquée pour un quotient dans ce script ?

La règle appliquée est celle de la dérivation d'un quotient : (u/v)' = v * u' - u * v' / v², où u et v sont des fonctions de x.

Comment se calcule la dérivée de la fonction dans le numérateur ?

La dérivée du numérateur est calculée en multipliant le terme x² - x par la dérivée du numérateur, qui est 2x, puis en soustrayant 2 fois la dérivée du dénominateur.

Quels sont les candidats pour les points critiques de la fonction ?

Le candidat pour le point critique est x = 1/2, qui est trouvé en égalisant la première dérivée à zéro et en résolvant l'équation.

Pourquoi ne peut-on pas simplifier davantage le quotient pour trouver les valeurs de x ?

Le quotient ne peut pas être simplifié davantage, donc la seule solution consiste à égaliser le numérateur à zéro pour résoudre l'équation.

Comment détermine-t-on si x = 1/2 est un maximum ou un minimum ?

On applique le critère de la première dérivée, en choisissant des valeurs de x inférieures et supérieures au point critique, puis en examinant les signes de la dérivée pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Que signifie un changement de signe de la dérivée première de positif à négatif ?

Un changement de signe de la dérivée de positif à négatif indique qu'il y a un maximum local au point critique.

Quelles valeurs de x ont été choisies pour évaluer la dérivée première ?

Les valeurs de x choisies pour évaluer la dérivée première étaient x = 1/4 (moins que x = 1/2) et x = 3/4 (plus que x = 1/2).

Comment se calculent les coordonnées du point où la fonction atteint un maximum ?

Les coordonnées du point maximum sont trouvées en substituant x = 1/2 dans la fonction f(x) et en résolvant pour obtenir les valeurs correspondantes de y.

Quelle est la conclusion du calcul du maximum pour la fonction f(x) ?

La conclusion est que la fonction f(x) atteint un maximum local en x = 1/2, avec les coordonnées du maximum étant (1/2, -8).