LE COURS : Notion de limite d'une fonction - Terminale

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur explique les concepts de limites en mathématiques, abordant pourquoi et comment on les utilise. Il commence par une fonction simple, illustrant les limites en un point donné et ensuite les limites à l'infini. L'auteur détaille les différentes situations où une fonction peut avoir une limite infinie, une limite finie, ou pas de limite du tout, en utilisant des exemples concrets et des représentations graphiques pour clarifier le sujet. La vidéo éclaire également sur l'importance des asymptotes dans la représentation graphique des fonctions et comment les limites sont utilisées pour prédire le comportement d'une fonction à l'infini.

Takeaways

• 📌 La notion de limite est introduite pour comprendre le comportement des fonctions lorsqu'elles approchent certaines valeurs spécifiques.
• 🔢 Dans l'exemple de la fonction f(x) = 2x/(x-5)^2, l'image en x=5 est mathématiquement interdite, mais on peut étudier le comportement pour des valeurs proches de 5.
• 💭 Lorsque x approche une valeur donnée, la fonction peut se rapprocher d'une certaine valeur, tendre vers l'infini ou ne pas avoir de limite du tout.
• 🚀 La limite en l'infini est utilisée pour décrire le comportement d'une fonction lorsque x devient très grand (positif ou négatif).
• 🌌 Lorsque x tend vers l'infini, une fonction peut avoir une limite infinie (en plus ou en moins l'infini) ou une limite finie.
• 📈 Une fonction peut se rapprocher d'une asymptote, qui est une droite horizontale ou verticale qui représente le comportement de la fonction à l'infini.
• 🔄 Les fonctions périodiques, comme les fonctions trigonométriques, n'ont pas de limite en l'infini car elles sont cycliques et ne tendent pas vers un seul point ou valeur.
• 🔄 Les fonctions qui ne sont pas définies à un certain point peuvent avoir des asymptotes verticales à ce point, indiquant un comportement à deux sens.
• 🔢 L'exemple de la fonction réciproque 1/x montre que les limites peuvent être différentes selon que x est positif ou négatif, avec des asymptotes à la fois en plus et en moins l'infini.
• 📚 Le calcul des limites est un outil important pour prédire le comportement des fonctions et est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques et scientifiques.
• 🔍 Étude des limites permet de comprendre les situations où la fonction n'est pas définie, mais où son comportement peut être déterminé par des valeurs limitées.

Q & A

Pourquoi est-on amené à calculer des limites en mathématiques ?

On calcule des limites pour comprendre le comportement d'une fonction lorsqu'elle逼近某一点，尤其是当函数在某点未定义或者计算结果趋向于无穷大时。

Que signifie la notation 'x tend vers 5' en mathématiques ?

La notation 'x tend vers 5' (x → 5) signifie que la variable x逼近但没有到达5。这在研究函数在某点的行为时非常有用，尤其是当x的值非常接近5但不等于5时。

Qu'est-ce que la limite d'une fonction f(x) quand x tend vers un nombre donné ?

La limite d'une fonction f(x) quand x tend vers un nombre donné est la valeur que prendra la fonction lorsqu'on逼近这个数值。这是函数在某点附近行为的一个度量。

Comment est-ce que la limite d'une fonction peut être 'plus l'infini' ?

Une limite 'plus l'infini' signifie que la valeur de la fonction tend vers l'infini当x逼近某一点。这通常发生在函数的值变得非常大时。

Quels sont les contextes où l'on utilise des limites en mathématiques ?

Les limites sont utilisées dans de nombreux contextes en mathématiques, notamment pour étudier le comportement des fonctions à proximité de certaines valeurs, pour déterminer les tendances asymptotiques, et pour la dérivation et l'intégration de fonctions.

Qu'est-ce qu'une asymptote d'une fonction ?

Une asymptote d'une fonction est une droite ou une courbe qui se rapproche de plus en plus de la fonction mais sans jamais la toucher. Elle représente le comportement de la fonction lorsqu'elle逼近 l'infini ou un certain point spécifique.

Comment calculer la limite d'une fonction f(x) quand x tend vers un nombre donné ?

Pour calculer la limite d'une fonction f(x) quand x tend vers un nombre donné, on remplace x par ce nombre dans l'expression de la fonction et on effectue les opérations mathématiques nécessaires. Si le résultat est défini, alors c'est la limite de la fonction à ce point.

Comment la notion de limite est-elle liée à celle de continuité d'une fonction ?

Une fonction est continue à un point donné si elle est définie en ce point et si sa limite当她逼近这个点时 est égale à sa valeur en ce point. Autrement dit, la fonction ne saute pas ou ne change pas brutalement de valeur à ce point.

Quels sont les exemples de fonctions qui ont des limites 'plus l'infini' ?

Les fonctions du type f(x) = x^n avec n > 1 ont des limites 'plus l'infini' 当x tend vers l'infini. Autrement dit, si x逼近无穷大，函数的值也会逼近无穷大。

Comment les limites peuvent-elles être utilisées pour résoudre des problèmes réels ?

Les limites peuvent être utilisées pour modéliser des situations réelles où une quantité tend vers une certaine valeur en fonction d'un changement dans une autre quantité. Par exemple, en économie, les limites peuvent être utilisées pour prédire le comportement des marchés à mesure que des variables changent.

Outlines

00:00

📚 Introduction aux limites et contexte de leur utilisation

Le paragraphe introduit la notion de limite en mathématiques, expliquant pourquoi elle est importante et dans quel contexte elle est utilisée. L'auteur commence par un exemple simple d'une fonction, f(x) = x sur x - 5 au carré, et montre comment les images de cette fonction sont calculées pour des valeurs proches de 5. Il souligne le problème mathématique qui surgit lorsque x est égal à 5, car le dénominateur devient nul. L'auteur explique ensuite que même si la valeur pour x=5 n'est pas définie, on peut calculer des limites pour des valeurs très proches de 5, ce qui mène à la notion de limite.

05:00

🚀 Limites en l'infini : définitions et exemples

Dans ce paragraphe, l'auteur explique les limites en l'infini, y compris les limites infinies et les limites finies en l'infini. Il utilise des exemples concrets, comme la fonction f(x) = x², pour illustrer comment les limites sont calculées lorsque x tend vers l'infini. L'auteur montre également comment ces concepts peuvent être visualisés graphiquement, en utilisant des droites horizontales comme asymptotes pour représenter les limites en l'infini.

10:03

🔢 Limites finies et asymptotes verticales

Le paragraphe discute des limites finies, où une fonction tend vers un nombre spécifique lorsque x tend vers l'infini ou vers un réel donné. L'auteur explique la notion d'asymptote verticale, qui est introduite lorsque la limite d'une fonction est infinie en un point donné. Il fournit des exemples pour clarifier ces concepts, soulignant que les limites peuvent être différentes selon que x approche de ce point depuis le côté gauche ou le côté droite.

15:03

📈 Comportement des fonctions en l'infini et asymptotes

L'auteur explique ici comment les fonctions se comportent lorsqu'elles tendent vers l'infini, en utilisant des exemples graphiques et des explications détaillées. Il montre comment les fonctions peuvent avoir des limites infinies en plus ou en moins l'infini, et comment cela peut être représenté graphiquement à l'aide d'asymptotes. Il insiste sur le fait que les fonctions qui tendent vers l'infini ne sont pas nécessairement croissantes et que les fonctions périodiques, comme les fonctions trigonométriques, n'ont pas de limites en l'infini.

20:04

🤔 Limites à zéro et asymptotes verticales

Ce paragraphe traite des limites lorsque x tend vers zéro et explique pourquoi les limites peuvent être différentes pour x positif et x négatif. L'auteur montre que la fonction 1/x a une asymptote verticale à x=0, car la valeur de la fonction tend vers plus l'infini pour x positif et vers moins l'infini pour x négatif. Il souligne l'importance de comprendre ces concepts pour les calculs de limites et les graphiques des fonctions.

Keywords

💡Limite

La notion de limite est un concept mathématique essentiel pour comprendre le comportement d'une fonction lorsqu'on l'approche de certaines valeurs spécifiques. Dans le contexte de cette vidéo, la limite est utilisée pour décrire la valeur qu'approche une fonction lorsqu'on lui fournit des valeurs d'entrée qui se rapprochent d'un certain point, sans nécessairement atteindre ce point. Par exemple, la fonction f(x) = 2x a une limite à l'approche de 5 qui est égale à plus l'infini, car les valeurs de f(x) deviennent aussi grandes que l'on souhaite pour des valeurs suffisamment proches de 5, mais sans jamais atteindre une valeur précise lorsque x = 5.

💡Tendre vers

Le verbe 'tendre vers' est utilisé pour décrire le mouvement d'une valeur ou d'une fonction vers une certaine valeur ou intervalle de valeurs. Dans le script, cela est utilisé pour expliquer comment une fonction mathématique change et se rapproche d'une limite spécifique. Par exemple, lorsque l'on dit que x tend vers 5, cela signifie que l'on considère des valeurs de x qui se rapprochent de 5 mais qui ne sont pas nécessairement égales à 5.

💡Infini

L'infini est un concept mathématique qui représente un ensemble illimité de nombres. Dans le contexte des limites, l'infini est utilisé pour décrire le comportement d'une fonction lorsqu'elle atteint des valeurs extrêmes qui ne sont pas bornées. Par exemple, une fonction peut tendre vers plus l'infini ou moins l'infini, ce qui signifie que ses valeurs peuvent devenir arbitrairement grandes ou petites.

💡Asymptote

Une asymptote est une ligne qui représente le comportement d'une courbe à l'infini. Elle est utilisée pour décrire la façon dont une fonction se rapproche d'une certaine valeur ou d'une certaine ligne lorsque l'argument de la fonction tend vers l'infini ou vers un certain point. Une asymptote peut être horizontale ou verticale, et elle est souvent utilisée pour simplifier les graphes et les calculs liés aux limites.

💡Valeurs interdites

Les valeurs interdites font référence aux valeurs pour lesquelles une fonction n'est pas définie. Dans le script, l'exemple de la fonction f(x) = 1/(x-5) montre que la fonction n'est pas définie pour x=5, car le dénominateur devient nul. Les valeurs interdites sont importantes pour comprendre les domaines de définition des fonctions et les limites qui peuvent ou ne peuvent pas être calculées.

💡Comportement de la fonction

Le comportement de la fonction fait référence à la manière dont une fonction change et réagit à différentes valeurs d'entrée. Dans le contexte des limites, cela concerne spécifiquement comment la fonction se comporte lorsqu'elle est près de certaines valeurs, comme lorsqu'elle tend vers une limite ou lorsqu'elle tend vers l'infini. Le comportement de la fonction est essentiel pour prédire les valeurs de la fonction et pour comprendre ses propriétés globales.

💡Dénominateur nul

Un dénominateur nul se produit lorsqu'une fraction a un dénominateur égal à zéro. Dans les mathématiques, une telle fraction n'est pas définie, car le diviser par zéro est considéré comme impossible. Dans le script, l'exemple de la fonction f(x) = x/(x-5) montre que le dénominateur devient nul lorsque x=5, ce qui rend la fonction indéfinie à ce point.

💡Valeurs proches

Les valeurs proches désignent des nombres qui sont très similaires ou qui se rapprochent d'une certaine valeur cible. Dans le contexte des limites, cela signifie souvent considérer des valeurs d'entrée qui sont très proches d'un point spécifique, mais qui ne sont pas nécessairement égales à ce point. Les valeurs proches sont utilisées pour étudier le comportement d'une fonction à proximité d'un certain point.

💡Symétrie par rapport à l'axe des abscisses

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses est une propriété géométrique d'un graphe de fonction où les parties gauche et droite du graphe sont retournées l'une par l'autre par rapport à l'axe des abscisses (le轴 des x). Cela signifie que si un point (a, b) est sur le graphe, alors le point (-a, b) est également sur le graphe. Dans le script, cette symétrie est mentionnée pour décrire le comportement des fonctions qui ont des limites à l'infini, qui sont souvent les mêmes pour les valeurs positives et négatives de x.

💡Plus l'infini

Plus l'infini est un concept qui fait référence à la valeur extrême que peut prendre une fonction lorsqu'on l'approche de l'infini. Cela peut signifier soit que la fonction tend vers plus l'infini, soit qu'elle tend vers moins l'infini, selon le sens dans lequel les valeurs de la fonction augmentent ou diminuent sans limites. Dans le script, cette notion est utilisée pour décrire le comportement des fonctions qui ont des limites à l'infini, qu'elles tendent vers plus l'infini ou moins l'infini.

Highlights

La notion de limite est introduite pour comprendre le comportement des fonctions lorsqu'elles approchent certaines valeurs.

La fonction f(x) = 2x est utilisée comme exemple pour illustrer le calcul des valeurs de fonction proches de 5.

Le dénominateur nul dans une fraction interdit mathématiquement le calcul de l'image de 5 par la fonction f.

La limite est utilisée pour calculer le comportement des fonctions lorsqu'elles ne sont pas définies en un certain point.

La fonction f(x) = x^2 montre un comportement de tendance vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.

La limite à l'infini peut être infinie ou finie, ce qui détermine le comportement de la fonction en approachant des valeurs extrêmes.

Les asymptotes horizontales sont introduites pour représenter graphiquement le comportement des fonctions en approachant l'infini.

La fonction f(x) = 2 + 1/x montre un comportement de limite finie en plus grand que x tend vers l'infini.

Les fonctions peuvent avoir des limites infinies sans nécessairement être croissantes, comme le montre l'exemple de la fonction alternativement croissante et décroissante.

Les fonctions trigonométriques comme le cosinus ne tendent pas vers des limites infinies ou finies, mais sont périodiques.

Les limites en un réel sont abordées pour comprendre le comportement des fonctions en approachant un nombre donné.

Les asymptotes verticales sont introduites pour représenter graphiquement le comportement des fonctions en approachant certaines valeurs.

La fonction 1/x montre un comportement complexe avec des asymptotes à la fois en plus et en moins l'infini en fonction du signe de x.

La notion de limite est cruciale pour comprendre les propriétés des fonctions et leur graphique.

Les calculs de limites sont essentiels pour prédire le comportement des fonctions en dehors de leur domaine défini.

Les limites peuvent aider à résoudre des problèmes mathématiques où des valeurs sont interdites ou illimitées.

L'utilisation de logiciels de calcul est souvent nécessaire pour approcher les limites des fonctions qui ne sont pas définies en un certain point.

Les limites infinies sont fréquemment rencontrées dans les fonctions de haut degré et les paraboles.

Les limites finies sont souvent observées dans les fonctions inverses et les fonctions polynomiales de degré élevé.

Transcripts

[Musique]

bonjour

dans cette vidéo je vais t'expliquer la

notion de limite d'abord pourquoi on

introduit une telle notion est ensuite

dans quel contexte

en at-on besoin pour mieux comprendre

partons d'un exemple très simple et on

va introduire une fonction la fonction f

2 x égal à x sur x - 5 au carré alors

pour cette fonction il n'est pas bien

difficile de calculer des images qui le

prend par exemple l'image de 3par f bien

ça revient à calculer 3 sur 3 - 5 au

carré on effectue ceci et on trouve

exactement 0,75 pas de problème si de

même on veut calculer l'image de 10 et

il suffit de remplacer encore x par dix

et on obtient et bien dix sur dix - 5 en

quart et on effectue tout ça on trouve

exactement 0,4 donc là pas de soucis

mais qu'en est-il de l'image de 5 bien

ça nous donnerait du 5 sur 5 mois 5 au

carré avec donc un dénominateur qui

serait nul

et ça on sait bien que c'est un interdit

mathématiques donc on ne peut pas

calculer l'image de 5 par la fonction f

mais si ce n'est pas possible de

calculer l'image de 5 par f

est ce qu'il ne serait pas possible de

calculer des images pour des valeurs

assez proche de 5

bien sûr que si ça en a le droit la

fonction f n'est pas défini en 5 mai

ailleurs elle est définie je peux par

exemple calculé l'image paref de 4,9 et

je trouve 490 donc ceci est effectué

bien évidemment avec un logiciel

je passe sur les calculs on peut

poursuivre avec l'image de 4,99

je vous rapproche un peu plus de 5 et là

je trouve 49900 et je poursuis avec

l'image de 4,999 puis 4,9 1991 etc et je

me rapproche tout doucement de 5 alors

on le voit dans notre tableau ici hein

j'ai poursuivi les calculs jusqu'à 4,9 9

9 9 et on trouve un résultat

astronomique de plusieurs centaines de

millions on pourrait poursuivre je

m'arrête là mais on pourrait poursuivre

on ait envie de penser que les valeurs

de f vont continuer à

augmenter et oui car c'est ça la

question la question est de savoir quel

est le comportement de ma fonction

f lorsque x se rapproche de plus en plus

de 5

on dira que x temps vers 5 vie que je ne

peux pas calculer les valeurs de f pour

x égale à 5

eh bien je me contente si on peut dire

de me rapprocher de cinq et on peut y

répondre à cette question c'est déjà un

petit calcul de limites ont pu répondre

eh bien oui lorsque x temps vers 5 f 2 x

tend vers plus l'infini on a envie de

penser qu'on peut atteindre des valeurs

de plus en plus grande je vais expliquer

plus précisément tout de suite ce que

cela signifie qu'une fonction tend vers

plus l'infini pour l'instant c'est juste

pour comprendre l'idée des calculs de

limites et aussi exprimer pourquoi on

est amené à faire des calculs de limites

donc on est amené à faire des calculs de

limites

oui dans le cas où la fonction n'est pas

défini d'accord tu n'es pas défini en 5

mais je vais quand même voir ce qui se

passe lorsque je me rapproche de cinq et

on peut être amené à faire des calculs

de limite dans d'autres cas c'est

lorsque x tend vers un des deux infinis

c'est à dire lorsque x devient de plus

en plus grand pour des valeurs positives

ou lorsque x devient de plus en plus

grand pour des valeurs négatives par

exemple ici je peux calculer f 2 1

millions je peux calculer f 2 1

milliards mais je peux pas calculé f2

l'infini n'a fini les pas un nombre par

contre je j'ai quand même envie de

savoir qu'est ce qu'il arrive à ma

fonction f

lorsque je prends des valeurs de plus en

plus grande et qui tendent à partir vers

plus l'infini mêmes questions vers moins

l'infini

voilà dans quel contexte on va être

amené à faire des calculs de limites

alors on va commencer par la première

situation les limites en l'infini c'est

à dire on va prendre des valeurs de x

qui deviennent de plus en plus grande

alors limite à l'infini comme je viens

de le dire cela signifie qu on va avoir

des valeurs de x qui vont devenir de

plus en plus grande dans les positif on

dira que xts

anvers plus l'infini et on le notera de

cette façon-là x tend vers plus l'infini

ou alors x prend des valeurs de plus en

plus grande mais dans les négatifs on

dira que x d'anvers moins l'infini et on

le notera de cette façon là alors moi

dans cette séquence je vais

essentiellement parlé du cas où x tend

vers plus d'un fini puisque l' approche

est strictement la même en moins

l'infini

il ya même on le verra graphiquement une

symétrie par rapport à l'axé des

abscisses plusieurs situations peuvent

se présenter

d'abord lorsqu'on fait x lorsqu'on fait

tendre x vers l'infini le résultat peut

être l'infini on dira qu'on a une limite

infini à l'infini on peut également

avoir une limite fini à l'infini j'en

parlerai ensuite et on peut aussi avoir

pas de limites du tournant par le ragga

non commençons donc par une limite

infini à l'infini et bien cela veut dire

que si on a une fonction fff a nommé

pour limite plus l'infini en plus

l'infini si eve ii x2 vient aussi grand

que l'on veut pourvu juste comprennent

des valeurs de x suffisamment grande

pour bien comprendre un exemple encore

prenons la fonction f2i que sega league

soccer

on la connaît bien à cette fonction

c'est une fonction usuelles c'est une

fonction du second degré représenté par

une parabole et ses deux branches qui

justement montrent très très haut

puisque ici le coefficient qui est égal

à 1 est positif donc les branches sont

tournés vers le haut

bon donc graphiquement on comprend bien

cette fonction car justement cette

fonction a pour limites plus l'infini en

plus l'infini on va le noter j'ai dit

tout à l'heure que on écrivait que x

tend vers plus l'infini est bien au

dessus on va mettre l'hymne lim

cela veut dire ici que je cherche la

limite lorsque x tend vers plus l'infini

il faut préciser de quoi

ici on a dit qu'on parlait de f donc

derrière soi j'écris eve 2 x soit

j'écris x au carré comme on veut si la

fonction à un nom peu m fgx

lorsque x tend vers plus l'infini

qu'arrive-t-il à ixxo carré c'est à dire

quelle est sa limite

on l'a dit c'est plus l'infini qu'est ce

que ça signifie

et bien cela signifie que les valeurs de

la fonction xo carrés peuvent devenir

aussi grande que l'on veut mais vraiment

aussi grande que l'on veut pourvu juste

qu'on prenne un x suffisamment grand ce

qui veut dire que fx au carré peut

atteindre la valeur 1 milliard mais il

faudra peut-être que je mette le paquet

ici pour prendre un hic suffisamment

mais il faudrait être un peu plus précis

la notion de limites dit autre chose et

pour bien comprendre

regardons graphiquement j'ai donc

représenté là ma fonction x au carré et

j'ai rajouté un seuil une droite une

droite d'équations y est gala mais peu

importe

et le cette valeur doit et quelconques

et bien si je considère l'intervalle

ouvert à plus l'infini c'est à dire à

partir de à

et je m'arrête pas donc c'est un

intervalle donc non borné et bien cet

intervalle à plus infinie contient

toutes les valeurs de ma fonction f

je dis bien tout pourvu que je prenne un

x suffisamment grand alors est ce que

c'est vrai ça pour ma fonction f

je vais prendre par exemple à égal à 4

est ce que à partir d'une certaine

valeur de l'x suffisamment grande

j'aurais dedans toutes les valeurs de f

bien on déplace le curseur

on va jusqu'à égal à 4 et effectivement

on voit qu'à partir d'un certain x qui

est ici x égale à 2 j'ai pris des

petites valeurs et bien toutes les

valeurs de f seront au dessus

est ce si ça ne dépend pas d'eux à je

peux prendre un autre ah j'en prends un

autre par exemple à égal à 9

est ce que en prenant à égal à 9

c'est-à-dire l'intervalle ouvert qui va

de 9 à plus l'infini dans cet intervalle

ouvert j'aurai toutes les valeurs de la

fonction regardons oui à partir de 3 on

voit que la courbe elle est dans la

bande rouge et donc toutes les valeurs

de f

devront être emprisonné dans cette bande

rouge et tu peux prendre n'importe

quelle valeur de à aussi grande que tu

veux on va pas le faire mais si tu

prends à égal 1 million par exemple tu

auras évidemment la droite qui sera

beaucoup plus haute

il va falloir chercher des x beaucoup

plus vers la droite mais à partir d'une

certaine valeur de x eh bien on aura

tous les valeurs de f2 x qui seront

emprisonnés dans ce bandeau rouge

c'est ça la notion de limites infini en

l'infini et on a là une définition qui

cette fois ci est bien rigoureuse et qui

nous dit que f

ah mais pour limite plus l'infini en

plus l'infini si tout intervalle a+

l'infini n'importe quel intervalle

je prends n'importe quelle valeur de à

avec donc acquis réels contient toutes

les valeurs de f2 x pour vu juste que je

prenne un x suffisamment grand et on

note limites quand x d'anvers plus

l'infini de f2 x égal à puce la fille

petite parenthèse qu'en est-il en moins

l'infini et bien c'est strictement la

même chose mais comme je l'avais annoncé

tout à l'heure

y aura une symétrie on dit que la

fonction f admet pour limite - fini en

plus l'infini donc j'ai des valeurs de x

qui deviennent de plus en plus grande et

les valeurs de f qui deviennent de plus

en plus petit

en plus de plus en plus petit donc c'est

à dire de plus en plus grande dans les

négatifs

si dès que je prends un intervalle

ouvert moins l'infini

b cette fois ci le bandeau rouge sera

tiré vers le bas

eh bien secundo rouge contient toutes

les valeurs de fgx cet intervalle

contient toutes les valeurs de fgx pour

vu juste que je prenne un x suffisamment

grand qu'en est il d'une limite fini à

l'infini alors on est toujours à

l'infini autrement dit on fait toujours

tendre x vers un des deux infinis plus

l'infini ou moins l'infini

on va donc s'intéresser au comportement

d'une fonction f

lorsque x devient très très grand et

bien là on a une limite fini autrement

dit là on veut

obtenir un nombre un vrai nombre peu

importe

2 3 4 12 ou sept on va obtenir un nombre

on a donc là quelque chose de fini qui

s'arrête

il existe tout plein d'exemples de

fonctions qui ont une limite fini

lorsque x devient très très grand

lorsque x tend vers plus l'infini

intuitivement ça veut dire quoi

eh bien on dit qu'une fonction f admet

pour limite elle donc elle c'est un

nombre en plus l'infini si eve 2 x prend

des valeurs aussi proches que l'on veut

de ce elle pour vu juste qu'on prenne un

x suffisamment grand et là encore voyons

un exemple pour mieux comprendre

concrètement et graphiquement ce que

cela signifie on prend la fonction fgx

est égal à 2 + 1 sur x et on voudrait

s'intéresser au comportement de cette

fonction en plus l'infini c'est à dire

pour des valeurs du x qui deviennent de

plus en plus grande

alors je vais pas faire l'essai avec le

tableur une nouvelle fois pour pour te

montrer ce qui se passe je t'invite à le

faire prends des valeurs de x de plus en

plus grande et c'est avec la

calculatrice fait deux plus un sur mille

de plus un sur dix mille de plus un sur

un million etc

et tu vas voir ce qui se passe bien ce

qui va se passer c'est qu'on va tout

doucement se rapprocher de 2 et oui car

cette fonction la fonction f 2 x égale à

2 + 1 sur x a pour limites

2 lorsque x tend vers plus infinie

géométriquement graphiquement plus tôt

on voit ici notre courbe à qui se

rapproche de plus en plus d'une droite

la droite d'équations y égale à deux

îles grecques égale elle dans le cas

général

eh bien oui les valeurs de la fonction

se resserre autour de 2 pourvu que je

prenne un x suffisamment grand on le

voit au début c'est pas vrai les valeurs

de la fonction sont assez éloignées de 2

mais tout doucement en se rapprochant

plus tôt en augmentant les valeurs de x

on voit que la courbe se rapproche de la

droite y égale à 2 c'est tout simplement

parce que f prend des valeurs qui sont

de plus en plus proche de 2 quelque

chose du type

vilain 2 0 à 2 001 et caetera et caetera

et bien du coup qu'est ce qui se passe

la distance mn que j'ai représenté ici

envers elle tend vers zéro

c'est normal puisque la coupe se

rapprochant de la droite l'écart entre

la courbe et la droite devient de plus

en plus petit et la distance est même

temps vers zéro et bien si on prend un

intervalle ouvert n'importe lequel qui

est centré autour de l ou au moins qui

contient elle c'est à dire que ici je

prends un intervalle ouvert qui contient

deux je suis assuré que toutes les

valeurs de la fonction se trouveront

enfermé dans cet intervalle donc

appartiendront à cet intervalle pour vu

juste une nouvelle fois que je prenne

des valeurs de x suffisamment grande

géométriquement on le voit bien ici j'ai

pris un intervalle qui contient 2

qu'arrive-t-il et bien à partir d'une

certaine valeur de x toutes les valeurs

de f2 x sont comprises dans cet

intervalle on voit bien que la courbe

elle est emprisonnée dans le bandeau

rouge et ceci est vrai pour n'importe

quel intervalle ouvert qui contient 2

j'en prends un plus petit un intervalle

plus serré voilà alors c'est vrai qu'au

début la courbe n'est pas emprisonné

dans ce bandeau rouge

il faut aller plus loin il faut prendre

des valeurs de x suffisamment grande

mais à partir d'une certaine valeur de x

on voit qu elles se retrouvent toutes

emprisonnées dans ce bond on dans ce

bandeau rouge c'est à dire que toutes

les valeurs de la fonction appartiennent

à mon intervalle ouvert et c'est comme

ça qu'on définit une limite fini en

l'infini on dit que la fonction f admet

pour limite elle en plus l'infini si

pour tout intervalles qui contient elle

n'importe quel aussi serré que je veux

et bien toutes les valeurs de f2 x se

retrouve enfermé dans cette dans cet

intervalle c'est à dire toutes les

valeurs de f2 xts appartiennent à cet

intervalle pour vu juste que je prenne

un x suffisamment grand c'est à dire

pourvu juste que j'aille suffisamment

loin dans les valeurs de x et ceci est

vrai

je le répète pour n'importe quel

intervalle ouvert qui contient elle

si c'est pas le cas s'il existe un

intervalle ouvert où ce n'est pas vrai

dans ce cas là eh bien ce ne sera pas

une limite fini ce sera autre chose ou

pas de limites du tout mais du coup on a

là l'occasion d'introduire une nouvelle

un nouvel objet géométrique qui

s'appelle l'asymptote revenons à notre

présentation graphique on l'a dit tout à

l'heure la courbe représentatives de la

fonction f se rapproche de plus en plus

de la droite d'équations y aygalades et

bien ça nous donne l'occasion

d'introduire un nouvel objet géométrique

qui s'appelle une asymptote plus

précisément ici une asymptote

horizontale car oui dans le cas où la

limite en l'infini de ma fonction est

égal à elle est égale à un nombre un

vrai nombre est bien dans ce cas là la

droite d'équations y égale à elle est

asymptote horizontale à la courbe

représentatives de la fonction f

et cette notion lie très importante

lorsqu'on a à représenter graphiquement

des fonctions car cela nous donnera un

nouveau support pour représenter notre

courbe car du coup on connaîtra le

comportement en l'infini de notre

fonction et cela nous permettra de faire

un tracé qui correspondait bien à aux

valeurs renvoyé par la fonction donc

dans la pratique qu'est ce qu'on fait si

j'ai par exemple comme c'est le cas pour

notre fonction limites lorsque x tend

vers plus l'infini du f2 x égale à 2 eh

bien je commencerai par tracer la droite

d'équations y égale à deux et ensuite

pour des valeurs de 8 ce qu'ils

deviennent de plus en plus grande

je ferai une courbe qui tend à se

rapprocher tout doucement de la droite

d'équations y égale à 2 attention elle

est à 70

la distance entre la courbe et la droite

tend vers zéro mais la courbe ne touche

pas la droite donc il faudra faire

attention lorsqu'on tracera à main levée

la coupe de ne pas faire que ll en

viennent à toucher la droite

et la définition est exactement la même

au moins l'infini la droite d'équations

y égale elle est un symptôme horizontale

à la courbe ci limite lorsque x envers

moins l'infini de f2 x est égal à elle

alors deux petites remarques on a

souvent envie de penser que une fonction

qui tend vers plus l'infini est

nécessairement croissante

on l'a vu tout à l'heure avec la

fonction x au carré la parabole c'est

vrai que la fonction iq socar est donc

temps vers plus infinie est allée

croissante

mais il existe des fonctions qui ont

pour limite plus l'infini en plus

infinie et qui ne sont pas pour autant

croissante et bien en voilà une

j'en ai représentait l'une ici cette

fonction est bien d'accord qu'elle n'est

pas croissance puisqu'elle est

alternativement croissant puis

décroissante croissant puis décroissante

et de ses terrains et pourtant les

valeurs de f2 viennent aussi grande que

je veux pour vu juste que je prenne un

hic suffisamment grand

l'histoire du seuil tout à l'heure

fonctionne très bien je peux placer une

droite d'équations y égal à à quelconque

et à partir d'une certaine valeur de x

j'aurai toutes les valeurs de f qui vont

se retrouver au dessus

donc on a bien ici une limite infini en

l'infini et pourtant une fonction qui

n'est pas croissante

ensuite deuxième remarque très

importante je l'avais dit au début c'est

qu'il existe des fonctions qui n'ont pas

de limites qui n'ont pas de limites

fini qui n'ont pas de limites infinie et

on a toute une tripotée ce sont par

exemple les fonctions trigonométriques

si je trace ta la fonction f-22 ségala

caussinus x comme ici eh bien on voit

très bien elle aussi donc elle est

périodique alternativement croissante

décroissante croissante décroissante

seulement contrairement à l'autre ça ne

monte pas entre aiguë mais on fait un

peu du surplace entre la zone - 1 1

donc on ne tend pas vers plus l'infini

on ne tend pas vers moins l'infini et on

ne tend pas non plus vers une valeur

précise la fonction qos x n'a pas de

limites en plus infi passons aux limites

en un réel alors qu'est ce qui va

changer ici c'est que on va plus faire

tendre x vers plus l'infini ou

à l'infini mais on va faire tendre x

vers un nombre c'est l'exemple

d'introduction que j'ai présentée au

départ on avait x qui tendait vers 5 x

se rapproche d'un an

je vais aller un petit peu plus vite

dans les explications de la notion de

limites parce qu'avec les deux exemples

avec les deux situations précédentes

j'espère que tu commence un peu à

comprendre mais bon je vais quand même

poser clairement les choses de nouveaux

intuitivement qu'est ce que ça veut dire

que on a une fonction f qui a pour

limites plus l'infini en a car c'est la

situation qui nous intéressera

essentiellement vu que si on a une

limite fini en un nombre la plupart du

temps je dis bien la plupart du temps

cela veut dire qu'on peut calculer

directement l'image par ce nombre donc

la situation ne se présentera pas du

moins en classe terminale

alors on dit qu'on a une fonction f qui

admet pour limite plus l'infini en a

acquis un nombre si eve ii x est aussi

grand que l'on veut forcément puisque la

limite et plus l'infini

pourvu que x se rapprochent suffisamment

de à

si j'en viens à l'exemple que j'avais en

introduction on se souvient que eve ii

x2 venait très très grand pourvu juste

que x se rapprochent suffisamment de 5

graphiquement voyons un exemple on a ici

une fonction qui a pour limites plus

l'infini

lorsque x temps vers 3 donc lorsque x se

rapproche de trois et on voit que les

valeurs de la fonction deviennent aussi

grande que l'on souhaite à on voit bien

ici que notre courbe elle part très très

haut pour vu juste que x soit

suffisamment proche de croire

c'est-à-dire x temps vers 3

on notera limites quand x temps verts a

de la fonction mdx égale à plus l'infini

soyons un peu plus un peu plus rigoureux

une nouvelle fois ci on prend 1 à

quelconque n'importe lequel un petit a

cette fois ci à ne pas confondre avec le

grand a ici si je prends un petit à

quelconque homme s'est présenté ici sur

le graphique est bien l'intervalle à +

l'infini contient toutes les valeurs de

f

pourvu juste que je prenne des valeurs

de x qui soit suffisamment proche de 3

on retrouve un peu l'idée d'une limite

infini en l'infini seulement là

simplement au lieu de se rapprocher de

l'infini on se rapproche de roi et on

voit ici que dans notre bandeau rouge

on trouve toutes les valeurs de f donc

l'ensemble de la courbe à partir d'un

certain seuil donc juste il faut

simplement que je me rapproche

suffisamment de trois et je peux mettre

donc le curseur à n'importe quel niveau

sur l'axé des ordonnées

ceux-ci marchera mais il faudra

peut-être aller un peu plus loin un peu

plus proche de 3

et voilà les définitions pour une limite

infini en un réel

ah et bien on dit que f admettons limite

plus l'infini lorsque x se rapproche de

à 6 tout intervalle ouvert donc à un

certain seuil que l'on peut placer

n'importe où sur l'axé des ordonnées

donc petit à + l'infini contient toutes

les valeurs de f2 x pour vu juste que je

me rapproche suffisamment de grand a et

en moins l'infini enfin pour une limite

moins l'infini c'est exactement la même

chose on dit que la fonction est fade

mais pour limite moins l'infini en grand

a

si n'importe quel intervalle moins

l'infini b contient toutes les valeurs

de f pour vu juste que je me rapproche

suffisamment de à

et cette notion comme précédemment va

nous permettre d'introduire un nouvel

objet géométrique une asymptote encore

une fois mais cette fois ci une

asymptote verticale et oui on le voit

bien sur notre représentation graphique

cette fois ci on a là un support

vertical où la courbe semble se

rapprocher de plus en plus de cette

droite

cette droite qui aura pour équation

attention cette fois-ci x égal à x égale

granta et pour avoir une telle asymptote

verticale et bien il suffira d'obtenir

après calcul de limites

une valeur plus l'infini ou moins

l'infini on aura donc la droite

d'équations hic ces gars là est un

symptôme verticale à la courbe

représentatif de f

si la limite quand x temps vers hm2f 2x

est égale à plus l'infini ou moins

l'infini

en gros quand ça sera plus d'un fini on

aura là symptômes qui sera en haut sur

notre repère et en moins l'infini elle

sera en bas et une dernière remarque

pour finir comme je viens de le dire

notre asymptote verticale peut être un

symptôme en haut ou en bas mais

malheureusement pour nous parce que ça

complique les calculs on va le voir plus

tard dans les exercices de calcul de

limites

malheureusement pour nous parfois c'est

les deux elle est à la fois asymptote en

haut et en bas et là ça nous fait penser

à une fonction bien connu la fonction

inverse

fdx égal 1 sur x

on le voit bien ici la droite

d'équations x égal à 0 lé asymptote à la

courbe à droite

la coupe s'en rapproche et montrent de

plus en plus mais à gauche et à la

gauche c'est le contraire la courbe se

rapproche mais descendre plus en plus et

oui car il ya un problème dans le calcul

de limites

si je fais une limite quand x tend vers

zéro 2 1 sur x genre envie de donner une

réponse

mais en réalité y en a pas eu de réponse

il y en a deux tout dépend si x est

positif ou négatif

si x est positif je vais prendre donc

des valeurs de plus en plus proche de

zéro pour essayer fait 1 / 0,1 1 / 00 01

puis continue 1 / 00 00 01 tu vas voir

tu vas trouver des réponses de plus en

plus grande et on admettra que la limite

de 1 sur x lorsque x tend vers zéro pour

x positif et plus l'infini ça se

concrétise bien sur le graphique

on voit effectivement donc lorsque je me

rapproche de zéro à droite donc pour des

valeurs positives

la courbe monte de plus en plus

qu'arrive-t-il à 1 sur x lorsque il sera

proche de zéro mais pour des valeurs

négatives fait les mêmes calculs mais

seulement prend des valeurs négatives du

genre - 0,1 donc 1 / - 0 bigs

1 / - 0 0001 etc

eh bien tu vas voir que tu vas trouver

des valeurs de plus en plus grande

mais dans les négatifs genre moins 1000

moins 100000 - milliards et oui car la

limite de 1 sur x lorsque x tend vers

zéro pour des valeurs négatives 2 x et

moins l'infini on ne trouve pas la même

réponse suivant qu'on travaille à gauche

ou qu'on travaille à droite à droite et

bien graphiquement ça se concrétise par

une asymptote qui est à la fois

asymptote à droite en plus l'infini et à

gauche en moins l'infini faudra être

très vigilant pour

toutes ces fonctions là un sur quelque

chose ça sera pas nécessairement la même

chose à gauche à droite et ça

compliquera comme je les dis avant

terriblement les calculs en tous les cas

pour la notion de limite

cette séquence est terminée