DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 2

julioprofe

3 Apr 201313:21

Summary

TLDRこの動画では、微分の定義を用いて関数の導関数を求める方法が解説されています。最初に、微分の定義に基づき、関数の変化量を計算し、代数的に展開します。その後、因数分解を使って不定形を解消し、最終的に極限を求めることで導関数を導きます。最終的な結果として、関数の導関数は「10x - 21x²」となり、このプロセスが詳細に説明されています。微分の基本的な理解を深めるための実践的な内容です。

Takeaways

😀 微分の定義: 微分は、次のように定義されます： f'(x) = lim(Δx → 0) [(f(x + Δx) - f(x)) / Δx]
😀 Δx の代わりに h を使うことが多いが、この場合は Δx をそのまま使用している。
😀 関数 f(x) + Δx を評価するために代数的な展開を行う。
😀 二項定理（binomial expansion）を使用して、関数の式を展開する。
😀 三項定理（cube expansion）を使って、(x + Δx)^3 の展開を行う。
😀 展開された式を整理し、分配法則を使って項を計算する。
😀 すべての項の計算を行い、式が整理される。
😀 変数 Δx による消去操作で、不定形の 0/0 を回避する。
😀 Δx を共通因数として抽出し、簡略化を行う。
😀 最終的な限界の評価により、微分の結果が得られる：f'(x) = 10x - 21x^2

Q & A

導関数の定義は何ですか？
-導関数の定義は、次のように表されます： F'(x) = lim(Δx → 0) [(F(x + Δx) - F(x)) / Δx]。これは、関数F(x)の変化量をΔxが0に近づくときに計算する方法です。
Δxをhに変えない理由は何ですか？
-通常、Δxはhに置き換えることが一般的ですが、このスクリプトでは、Δxをそのまま使用しています。これは特に問題ではなく、単に他の表現方法を使っただけです。
関数F(x)をF(x + Δx)に評価する方法は？
-関数F(x)をF(x + Δx)に評価するには、xの代わりにx + Δxを代入します。例えば、x^2の場合は(x + Δx)^2となり、アルジェブラ的に展開する必要があります。
二項式を二乗する方法は？
-二項式を二乗する際、次の公式を使用します： (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。これにより、(x + Δx)^2はx^2 + 2xΔx + (Δx)^2となります。
三項式の展開方法は？
-三項式の展開は、次の公式を使用します： (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。この公式を用いて、(x + Δx)^3を展開すると、x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3となります。
差分式の計算でどの項がキャンセルされるのか？
-差分式の計算では、正と負の項がキャンセルされます。例えば、+7x^2と-7x^2のように、同じ項で符号が反対のものはキャンセルされます。
Δxが0になるとき、どの項が残りますか？
-Δxが0になると、Δxを含むすべての項が0になります。これにより、最終的に残るのはΔxを含まない項のみです。
Δxを因数として取り出す理由は何ですか？
-Δxを因数として取り出すことで、式を簡素化し、0/0という未定義な形を回避することができます。これにより、限界を計算する際に重要な役割を果たします。
最終的に導関数はどのように計算されますか？
-最終的に導関数は、Δxを0に近づけることで計算されます。Δxを取り出した後、残った項の中でΔxが0に近づくときに0になる項を除き、最終的な結果は10x - 21x^2となります。
この手法を使って導関数を求める際の注意点は？
-この手法では、特にアルジェブラ的な展開と、限界の計算が重要です。また、Δxが0に収束する過程で不定形が現れた場合には、因数分解を使って問題を解決する必要があります。