Discrete Math - 6.3.2 Counting Rules Practice

Summary

このビデオでは、凸多角形の対角線の数を計算する方法を学びます。具体的には、6辺の多角形（六角形）を例に取り、各頂点から引ける対角線の数を求める公式について説明します。公式は「n × (n - 3) ÷ 2」であり、ここでnは多角形の辺の数です。この方法により、六角形には9本の対角線があることが確認されます。さらに、このアプローチを他の多角形にも適用できることが示されます。

Takeaways

• 😀 ポリゴンの対角線の数を計算するための一般的なアプローチが紹介された。
• 😀 各頂点から引ける対角線の数は「n - 3」である。なぜなら、頂点自身や隣接する頂点には対角線を引けないから。
• 😀 ポリゴンにおける対角線の総数は、最初に「n × (n - 3)」で計算される。
• 😀 しかし、各対角線は2回カウントされるため、最終的な結果は「(n × (n - 3)) / 2」で求める。
• 😀 例として、6辺のポリゴン（六角形）の場合、計算式は「(6 × 3) / 2 = 9」で、9本の対角線が存在する。
• 😀 対角線を数えるために、n の値に基づいて計算式が導かれる。
• 😀 ポリゴンの対角線の公式は、複数の例で検証可能だが、基礎的な計算式が成立していることが確認された。
• 😀 六角形に関する具体例を使用して、対角線の計算方法を示した。
• 😀 この対角線の計算方法は、任意のポリゴン（n辺のもの）に適用可能である。
• 😀 次回のトピックとして、二項定理（Binomial Theorem）について解説する予定である。

Q & A

対角線の数を求めるための基本的なアイデアは何ですか？

対角線の数を求めるための基本的なアイデアは、各頂点から他の頂点に対して対角線を引くことですが、自身の頂点や隣接する頂点には引けません。そのため、各頂点から引ける対角線の数は「n - 3」となります。

なぜ各頂点から引ける対角線の数は「n - 3」になるのですか？

各頂点から引ける対角線の数は、他の頂点への線分の数から隣接する2つの頂点（自分自身を含めると3つの点）が除外されるため、「n - 3」となります。

n-sided polygonにおける全体の対角線の数を求める式は何ですか？

全体の対角線の数を求める式は、「n × (n - 3) ÷ 2」です。これは各頂点から引ける対角線の数を計算した後、重複を避けるために2で割ることによって求めます。

なぜ重複を避けるために対角線の数を2で割るのですか？

対角線は各頂点から引くと2回カウントされてしまいます。1回はその頂点から他の頂点に向けて、もう1回は他の頂点からその頂点に向けてカウントされるため、重複を避けるために最終的な数は2で割ります。

正六角形の対角線の数を計算する方法を説明してください。

正六角形の対角線の数は、n = 6とすると、まず各頂点から引ける対角線の数は6 - 3 = 3です。次に、6つの頂点から対角線を引くので、6 × 3 = 18となります。しかし、重複を避けるために2で割ると、最終的に対角線の数は18 ÷ 2 = 9となります。

一般的な多角形の対角線の数を求める方法はどうなりますか？

一般的な多角形の対角線の数は、「n × (n - 3) ÷ 2」という式で計算できます。ここで、nは多角形の頂点数を示し、この式を使うことでどんな多角形でも対角線の数を求めることができます。

式「n × (n - 3) ÷ 2」の意味は何ですか？

式「n × (n - 3) ÷ 2」は、まず各頂点から引ける対角線の数を求め、その後全ての頂点に対してその数を掛け合わせ、重複してカウントされた対角線を除くために2で割ったものです。

n = 8の多角形では、対角線の数はどれくらいですか？

n = 8の多角形では、各頂点から引ける対角線の数は8 - 3 = 5です。これを8つの頂点に対して計算すると、8 × 5 = 40となり、重複を除くために40 ÷ 2 = 20対角線になります。

「n - 3」という式がどのように導き出されるのか、もう少し詳しく説明してください。

「n - 3」という式は、n個の頂点から、同じ頂点に向けた線（対角線ではない）や隣接する頂点に向けた線（隣接辺）は対角線としてカウントしないというルールから導かれます。したがって、各頂点から引ける対角線はn - 3となります。

n = 4の四角形に対して、この式はどれくらい適用されますか？

n = 4の四角形では、各頂点から引ける対角線の数は4 - 3 = 1です。四角形には4つの頂点があり、したがって4 × 1 = 4となり、重複を除くために4 ÷ 2 = 2対角線が存在します。