Las Matemáticas tienen una Terrible Falla
Summary
TLDREl trascrito del video ofrece una inmersión en la complejidad y las paradojas de las matemáticas, destacando la existencia de una falla fundamental que impide la certeza absoluta en el conocimiento matemático. Se explora la conjetura de los números primos gemelos y se menciona la indecidibilidad del destino de los patrones en el juego de la vida de Conway, un reflejo de la indecidibilidad en otros sistemas complejos. El video también abarca la revolución matemática iniciada por Georg Cantor con su teoría de los conjuntos y la fractura de la matemática que siguió, incluyendo el debate entre los intuicionistas y los formalistas. Destaca el trabajo de David Hilbert y su intento de fundamentar las matemáticas en un sistema formal, contrastado con el Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel, que demostró la existencia de afirmaciones verdaderas y no demostrables en cualquier sistema matemático formal. Finalmente, se destaca la contribución de Alan Turing y su Máquina de Turing, la cual es relevante para entender la computabilidad y la indecidibilidad en la era de las computadoras modernas.
Takeaways
- 📐 La matemática tiene una falla fundamental que implica que siempre habrá verdades no demonstrables, como la Conjetura de los Números Primos Gemelos.
- 🎲 El juego de la vida de Conway, creado en 1970, es un ejemplo de un sistema simple con reglas básicas que puede generar comportamientos complejos e indecibles.
- 🔢 Georg Cantor, al estudiar la teoría de los conjuntos, descubrió que hay diferentes tamaños de infinitos, lo que desafió las nociones tradicionales de la matemática.
- 🪄 La paradoja de Russell muestra que los conjuntos pueden llevar a contradicciones si no se definen cuidadosamente, lo que llevó a la reevaluación de los fundamentos de la matemática.
- 💡 David Hilbert, un matemático influyente, creía en la posibilidad de un sistema formal y riguroso de pruebas para resolver los problemas en matemáticas.
- 🚧 Kurt Gödel demostró con su Teorema de Incompletitud que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica es incompleto y no puede probar su propia consistencia.
- 🔧 Alan Turing inventó la Máquina de Turing como un modelo teórico de un computador, el cual es capaz de simular cualquier algoritmo computable, pero también tiene su propio problema de indecidibilidad.
- ⛓ La indecidibilidad aparece en muchos contextos, incluida la mecánica cuántica, donde la brecha espectral es un ejemplo de una cuestión que no siempre se puede resolver.
- 🌐 Los conceptos de Turing y Gödel han influido en la ciencia computacional y la tecnología moderna, incluyendo la construcción de computadoras y el desarrollo de lenguajes de programación.
- 🏛 La obra de matemáticos como Cantor, Hilbert, Gödel y Turing, a pesar de sus conflictos y paradojas, ha enriquecido el entendimiento del infinito y la consistencia en las matemáticas.
- 🔗 La autorreferencia y la indecidibilidad son temas recurrentes en la matemática y la computación, mostrando que la verdad y la demostrabilidad no siempre coinciden.
Q & A
¿Qué es la conjetura de los números primos gemelos?
-La conjetura de los números primos gemelos es una hipótesis que sugiere que existirán un número infinito de números primos que están separados por solo un número, como el 11 y el 13 o el 17 y el 19.
¿Quién creó el juego de la vida y en qué año?
-El juego de la vida fue creado por el matemático John Conway en 1970.
¿Cómo se juega el juego de la vida de Conway y cuáles son sus reglas básicas?
-El juego de la vida se juega en una grilla infinita de celdas cuadradas, donde cada celda está en un estado de vida u muerte. Hay solo dos reglas: 1) Toda celda muerta con exactamente tres vecinas vivas vuelve a la vida. 2) Cada celda viva con menos de dos vecinas vivas o más de tres vecinas vivas muere. Las reglas se aplican iterativamente para generar las siguientes generaciones de celdas.
¿Por qué el destino final de un patrón en el juego de la vida es indecidible?
-El destino final de un patrón en el juego de la vida es indecidible porque no existe un algoritmo que pueda garantizar responder si un patrón se estabilizará, crecerá sin límite o se esfumará en un número finito de generaciones en un tiempo finito.
¿Quién fue Gerd Cantor y qué贡献给了 las matemáticas?
-Gerd Cantor fue un matemático alemán que publicó un artículo en 1874 que impulsó una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los conjuntos. Cantor estudió la naturaleza de los infinitos y demostró que no todos los infinitos son del mismo tamaño, introduciendo la noción de infinitos contables e incontables.
¿Qué es la paradoja de Russell y cómo afectó la teoría de los conjuntos?
-La paradoja de Russell es una contradicción encontrada en la teoría de los conjuntos, en la que se cuestiona si un conjunto que contiene a sí mismo debe contenerse a sí mismo o no. Esta paradoja llevó a la necesidad de restringir el concepto de conjunto y fue un punto de discusión en el debate entre los intuicionistas y los formalistas.
¿Quién fue David Hilbert y cuál fue su visión para las matemáticas?
-David Hilbert fue un matemático alemán muy influyente que trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas. Él creía que las matemáticas podían ser colocadas sobre cimientos lógicos y seguros a través de la teoría de los conjuntos y buscaba responder si las matemáticas eran completas, consistentes y decidibles.
¿Qué es el teorema de incompletitud de Kurt Gödel y qué demostró?
-El teorema de incompletitud de Kurt Gödel demuestra que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica tendrá afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas dentro del sistema. Además, un sistema formal consistente de matemáticas no puede probar su propia consistencia.
¿Quién fue Alan Turing y qué贡献给了 la informática?
-Alan Turing fue un matemático y científico de la computación británico que inventó la máquina de Turing, un modelo teórico de una computadora. Sus ideas sobre la computabilidad y la máquina de Turing son fundamentales para la informática moderna y todas las computadoras modernas descienden de sus diseños.
¿Por qué la cuestión de la brecha espectral en la mecánica cuántica es indecidible?
-La cuestión de la brecha espectral es indecidible porque, a pesar de tener una descripción completa y perfecta de las interacciones microscópicas entre las partículas de un material, no siempre es posible deducir sus propiedades macroscopicas, como la presencia o ausencia de una brecha espectral.
¿Cómo la obra de Cantor, Gödel y Turing influye en nuestra comprensión de las matemáticas y la computación?
-La obra de Cantor, Gödel y Turing ha transformado nuestra comprensión del infinito, ha demostrado la existencia de afirmaciones verdaderas en las matemáticas que no pueden ser probadas y han proporcionado los cimientos para la ciencia computacional y la invención de la computadora moderna.
Outlines
😀 Incertidumbre en las matemáticas y conjetura de los números primos gemelos
El primer párrafo aborda la existencia de una falla en las matemáticas que impide alcanzar la certeza absoluta. Se menciona la conjetura de los números primos gemelos, que sugiere la existencia de un número infinito de primos separados por uno, y cómo esta conjetura aún no ha sido comprobada como verdadera o falsa, lo que denota la naturaleza incerta de las matemáticas.
🎲 El juego de la vida de Conway y sus reglas
Se describe el juego de la vida, creado por John Conway, que se juega en una grilla infinita de celdas cuadradas que pueden estar vivas o muertas. Con solo dos reglas simples, el juego puede generar una gran variedad de comportamientos, desde patrones estables hasta otros que crecen eternamente. Sin embargo, el destino final de los patrones es indecidible, es decir, no existe un algoritmo que pueda garantizar responder sobre su evolución en un tiempo finito.
🔢 Teoría de los conjuntos y la paradoja de Cantor
Este párrafo explora la teoría de los conjuntos y la paradoja encontrada por Georg Cantor, quien demostró que hay diferentes tamaños de infinitos, lo que fue un gran impacto en las matemáticas. Cantor区分了可数无限和不可数无限,展示了即使在无限集合之间,也存在着不同的大小。
💥 La fractura de las matemáticas y el debate entre intuicionistas y formalistas
Se narra cómo la teoría de Cantor generó un gran debate en la comunidad matemática, dividida entre los intuicionistas, que cuestionaban la realidad de los infinitos de Cantor, y los formalistas, liderados por David Hilbert, quienes creían en una fundamentación lógica y segura de las matemáticas a través de la teoría de los conjuntos.
🔍 La paradoja de Russell y la respuesta de los formalistas
Se examina la paradoja de Russell, que puso en entredicho la teoría de los conjuntos al plantear el concepto de un conjunto que contiene a sí mismo. La respuesta de los formalistas, liderados por Hilbert, fue restringir el concepto de conjunto para evitar tales paradojas de autorreferencia.
🧩 Indecidibilidad en diversos campos y la búsqueda de un sistema formal
El párrafo discute la indecidibilidad en varios campos, incluida la física cuántica y los mosaicos de Wang, y cómo estos problemas están relacionados con la autorreferencia. Además, se explora el intento de Hilbert de establecer un sistema formal de pruebas para fundamentar las matemáticas y responder a sus preguntas fundamentales.
🤖 La máquina de Turing y la respuesta a la indecidibilidad
Se describe la máquina de Turing, un dispositivo teórico inventado por Alan Turing, que simboliza la computación moderna y permite ejecutar cualquier algoritmo computable. La máquina de Turing demuestra la indecidibilidad en matemáticas, es decir, que no existe un algoritmo que pueda determinar si una afirmación se deduce de los axiomas en todos los casos.
🌐 Aplicaciones prácticas de la teoría de la computación y la legado de Turing
El último párrafo destaca cómo las ideas de Turing sobre la computación han impactado el mundo, desde la construcción de computadoras para descifrar códigos en la Segunda Guerra Mundial hasta la invención de la computadora electrónica programable. Aunque Turing tuvo un final trágico, su legado vive en todas las computadoras modernas, que descenden de sus diseños.
Mindmap
Keywords
💡Conjetura de los números primos gemelos
💡Juego de la vida de Conway
💡Indecidibilidad
💡Teoría de los conjuntos
💡Paradója de Russell
💡Máquina de Turing
💡Teorema de incompletitud de Gödel
💡Brecha espectral
💡Autoreferencia
💡David Hilbert
💡Alan Turing
Highlights
Existe una falla en las matemáticas que implica que siempre habrá afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas.
La conjetura de los números primos gemelos sugiere que hay un número infinito de primos gemelos, pero aún no se ha podido probar ni refutar.
El juego de la vida de Conway es un ejemplo de un sistema matemático simple con reglas básicas que puede generar patrones complejos e indecibles.
La teoría de los conjuntos de Cantor revolucionó la comprensión del infinito, mostrando que no todos los infinitos son del mismo tamaño.
La paradoja de Russell sobre el barbero y los conjuntos autoreferenciales desafió la consistencia de la teoría de los conjuntos.
David Hilbert, líder de los formalistas, creía que la teoría de los conjuntos podría proporcionar un fundamento seguro para las matemáticas.
El teorema de incompletitud de Gödel demuestra que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica es incompleto y no puede probar su propia consistencia.
La máquina de Turing es un modelo teórico que define los límites de lo que una computadora puede calcular.
La indecidibilidad aparece en múltiples contextos, desde los mosaicos de Wang hasta la física cuántica, lo que muestra la universalidad de ciertos problemas matemáticos.
La brecha espectral en la mecánica cuántica es un ejemplo de una cuestión indecidible que afecta las propiedades fundamentales de los materiales.
El concepto de computabilidad de Turing y la idea de las máquinas de Turing son fundamentales para la ciencia de la computación moderna.
La vida y obra de Alan Turing, desde su contribución a la ciencia de la computación hasta su papel en la Segunda Guerra Mundial, tuvieron un impacto duradero en el mundo.
El legado de David Hilbert, a pesar de las limitaciones de su sueño formalista, vive en los dispositivos computacionales que usamos hoy en día.
La comprensión de las paradojas y limitaciones fundamentales de las matemáticas ha llevado a avances en la ciencia y la tecnología, en lugar de llevar a la desintegración de la disciplina.
La autorreferencia en las matemáticas y la aparición de paradojas ha sido clave para el desarrollo de conceptos como la máquina de Turing y la teoría de la computabilidad.
El trabajo de matemáticos como Cantor, Hilbert, Gödel y Turing ha influido en áreas tan diversas como la física cuántica y la informática.
Transcripts
existe una falla en el fondo de las
matemáticas una falla que significa que
nunca sabremos todo con certeza siempre
habrá afirmaciones que no podremos
probar nadie sabe cuáles son exactamente
esas afirmaciones pero podrían ser algo
como la conjetura de los números primos
gemelos los primos gemelos son números
primos separados por solo un número como
el 11 y el 13 o el 17 y el 19 y a medida
que los números ascienden los primos
ocurren menos seguido por lo que los
primos gemelos son menos comunes aún
pero esta conjetura dice que hay un
número infinito de primos gemelos que
nunca se acaban
hasta este momento nadie ha probado que
esta conjetura sea verdadera o falsa
pero lo curioso es esto quizás nunca lo
sepamos porque lo que sí ha sido probado
es que en cualquier sistema matemático
en el que puedas hacer aritmética básica
siempre habrá afirmaciones verdaderas
que son imposibles de probar
eso es la vida
específicamente este es el juego de la
vida creado en 1970 por el matemático
jon conway quien tristemente falleció de
kobe 19 en 2020 el juego de la vida de
conway se juega en una grilla infinita
de celdas cuadradas cada una de ellas
está viva o muerta y solo existen dos
reglas uno toda celda muerta con tres
vecinas vivas vuelve a la vida 2 cada
celda viva con menos de dos o más de
tres vecinas vivas muere una vez que has
montado el orden inicial de las celdas
las dos reglas se aplican para crear la
próxima generación de celdas y luego la
siguiente y la siguiente y así
sucesivamente es automático conway lo
llamo un juego para hacer jugadores pero
aunque las reglas son simples el juego
puede generar una gran variedad de
comportamientos algunos patrones se
vuelven estables una vez que surgen no
se modifican otros oscilan hacia
adelante y atrás repetidamente algunos
viajan a través de la grilla eternamente
como esta forma de aquí
y muchos patrones simplemente se esfuman
pero algunos de ellos continúan
creciendo eternamente continúan
generando nuevas celdas
quizás creas que con estas sencillas
reglas del juego podrías tan solo
observar cada patrón y determinar qué
sucederá con el alcanzará eventualmente
la estabilidad y seguirá creciendo sin
límite pero lo que sucede es que estas
preguntas son imposibles de responder el
destino último de un patrón en el juego
de la vida de conway es indecidible
quiere decir que no existe un algoritmo
posible que garantice responder estas
preguntas en una cantidad de tiempo
finita claro que podría dejar
desarrollarse a ese patrón y ver qué
sucede ya que las reglas del juego son
una clase de algoritmo después de todo
pero eso tampoco te garantiza una
respuesta y aunque lo dejes
desarrollarse por un millón de
generaciones no serás capaz de
determinar si durar eternamente o tan
solo dos millones de generaciones o un
millón de millones o un googleplex hay
algo especial acerca del juego de la
vida que hace que sea indecidible
no de hecho existe una enorme cantidad
de sistemas que son indecibles los
mosaicos de wang la física cuántica los
sistemas de tickets de las aerolíneas e
incluso el juego magic the gathering
para comprender cómo es que la
invisibilidad aparece en todos estos
sitios debemos viajar 150 años al pasado
a un momento revolucionario para las
matemáticas
en 1874 el matemático alemán gerd kánter
publicó un artículo que impulsó una
nueva rama de las matemáticas la teoría
de los conjuntos un conjunto es
simplemente una colección bien definida
de objetos los dos zapatos en tus pies
son un conjunto como también todos los
planetarios del mundo son un conjunto
hay un conjunto vacío y un conjunto con
todo en el
cantur estaba estudiando los conjuntos
de números como los números naturales
positivos enteros como 1234 etcétera y
el de los números reales que incluyen
fracciones como un tercio o cinco medios
incluso números irracionales como pi y
la raíz cuadrada de dos básicamente
cualquier número que pueda ser
representado con un decimal infinito se
preguntaba hay más números naturales o
más números reales entre 0 y 1
la respuesta puede parecer obvia hay una
cantidad infinita de ambos por lo que
ambos conjuntos deberían tener el mismo
tamaño pero para comprobar esta lógica
cantor imagino escribir una lista
infinita uniendo cada número natural a
un lado con un número real entre cero y
uno del otro lado como cada número real
tiene decimales infinitos no hay uno que
vaya primero que otro por lo que podemos
anotar los en orden aleatorio lo
fundamental es asegurarse de que no se
repitan y alinear los uno a uno con un
número entero
si podemos hacer eso sin que nos sobre
ninguno entonces sabremos que el
conjunto de números naturales y el de
números reales entre 0 y 1 son del mismo
tamaño asumamos que hemos hecho esto
tenemos una lista completa e infinita de
cada entero actuando como número índice
un identificador único de cada número
real de la lista ahora dice kánter
comienza a escribir un nuevo número real
para hacerlo tomamos el primer dígito
del primer número y le sumamos 1 luego
tomamos el segundo dígito del segundo
número y nuevamente sumamos 1 luego el
tercer dígito del tercer número y
sumamos 1 y seguimos así con toda la
lista si el número es un 9 convierte lo
en un 8 para el fin de este proceso
tendrás un número real entre 0 y 1
pero aquí está el asunto este número no
aparecerá en ningún lugar de la lista es
diferente del primer número en el primer
dígito decimal del segundo en el segundo
dígito decimal y así consecutivamente
tiene que ser diferente de cada uno de
los números de la lista en al menos un
decimal el número en esta diagonal
por esto es llamada la prueba de
diagonal y zación decanter demuestra que
debe haber más números reales entre 0 y
1 que números naturales extendiéndose al
infinito por lo que no todos los
infinitos son del mismo tamaño
cantur los llamo infinitos contables e
incontables respectivamente y de hecho
hay muchos más infinitos incontables que
son aún más grandes el trabajo de cantor
fue considerado un gran golpe a las
matemáticas por dos mil años los
elementos de euclides se consideraron
los cimientos de la disciplina pero a
comienzos del siglo diecinueve
lobatchewski gauss descubrieron las
geometrías no euclidianas lo que lanzó a
los matemáticos a examinar más
atentamente los cimientos de sus
disciplinas y no les gustó lo que
encontraron la idea de un límite en el
centro del cálculo resultó estar
pobremente definida y ahora cantor
estaba probando que el infinito mismo
era mucho más complejo de lo que
imaginaron entre toda esta conmoción la
matemática se fracturó y se desató un
enorme debate entre los matemáticos a
fines del siglo 19 de un lado se
hallaban los intuición quienes creían
que el trabajo de cantor no tenía
sentido estaban convencidos de que la
matemática era una creación pura de la
mente humana y que los infinitos como
los de kantor no eran reales enrico and
care dijo que las futuras generaciones
de terminarían que la teoría de los
conjuntos será una enfermedad de la que
se habrían recuperado leopold crónicas
llamó a cantor un científico charlatán y
un corruptor de la juventud y trabajo
para que cantor no consiguiera un empleo
que quería en el bando opuesto estaban
los formalistas ellos creían que las
matemáticas podían ser colocadas sobre
cimientos lógicos y seguros a través de
la teoría de los conjuntos el líder
informal de los formalistas era el
matemático alemán david hilbert gilbert
era una leyenda viva un matemático muy
influyente que había trabajado en casi
todas las áreas de la matemática casi
pública antes que a instan acerca de la
relatividad general desarrolló conceptos
nuevos en las matemáticas que fueron
cruciales para la mecánica cuántica y
sabía que el trabajo de control era
brillante gilbert estaba convencido de
que un sistema más formal y riguroso de
pruebas basadas en la teoría de los
conjuntos podría resolver todos los
problemas que habían surgido en
matemática en aquel siglo y la mayoría
de los matemáticos se acordaba con él
nadie no se expulsará del paraíso que
cantor ha creado declaró gilbert pero en
1901 bertrand russell señaló un serio
problema en la teoría de los conjuntos
él sabía que si los conjuntos podían
contener cualquier cosa también podrían
contener otros conjuntos o incluso a sí
mismos por ejemplo el conjunto de todos
los conjuntos debe contenerse a sí mismo
así como el conjunto de conjuntos con
más de cinco elementos podríamos incluso
hablar del conjunto de conjuntos que se
contienen a sí mismos pero esto nos
lleva directamente a un problema que
sucede con r el conjunto de todos los
conjuntos que no se contienen a sí
mismos cierre no se contiene a sí mismo
entonces deberá contenerse a sí mismo
pero si eres si se contiene a sí mismo
entonces por definición no deberá
contenerse a sí mismo entonces rc
contiene a sí mismos y sólo si no se
contiene a sí mismo russell había
encontrado otra paradoja de
autorreferencia que luego le explicaría
utilizando una analogía un tanto peluda
imaginemos un pueblo enteramente poblado
por hombres adultos con una extraña ley
en contra de las barbas
la ley dice que el barbero del pueblo
deberá afeitar a todos y cada uno de los
hombres que no se afeitan a sí mismos
pero el barbero mismo también vive en el
pueblo y es un hombre entonces quién lo
afeita él si él no se afeita a sí mismo
entonces el barbero debe afectarlo pero
el barbero no puede afeitarse a sí mismo
porque el barbero no afecta a nadie que
se afeite a sí mismo así que el barbero
debe afeitarse sí y sólo si él no se
afeita a sí mismo es una contradicción
los intuición istas celebraron la
paradoja de russell creyendo que probaba
que la teoría de los conjuntos tenía
fallas irresolubles pero ser melo y
otros matemáticos de la escuela de
gilbert lo solucionaron restringiendo el
concepto de conjunto por eso la
colección de todos los conjuntos por
ejemplo ya no es un conjunto tampoco lo
es la colección de todos los conjuntos
que no se contienen a sí mismos
esto elimino las paradojas de
autorreferencia gilbert y los
formalistas sobrevivieron a esta ronda
pero la autorreferencia se negaba a
desaparecer tan fácilmente
viajemos a la década de 1960 cuando el
matemático hao wang se hallaba
estudiando mosaicos cuadrados con
diferentes colores en cada lado las
reglas eran que los bordes en contacto
deben ser del mismo color y no puedes
rotar o invertir las piezas sólo
deslizar las la pregunta era si te dan
un conjunto arbitrario de estos mosaicos
puedes determinar si cubrirán un plano
es decir pueden conectarse sin huecos y
cubrir un plano infinito
la respuesta es que no puedes determinar
a partir de un conjunto arbitrario de
mosaicos si cubrirán el plano o no
el problema es indecidible justo como el
destino de un patrón en el juego de la
vida de conway de hecho es exactamente
el mismo problema y ese problema en
última instancia proviene de la
autorreferencia como gilbert y los
formalistas estaban a punto de descubrir
gilbert quería asegurar los cimientos de
las matemáticas desarrollando un nuevo
sistema para las pruebas los sistemas de
pruebas eran una idea anticuada
originaria de la antigua grecia un
sistema de prueba comienza con un axioma
una afirmación básica que es asumida
como cierta como que una línea recta
puede ser dibujada entre dos puntos las
pruebas se construyen desde esos axiomas
usando reglas de inferencia métodos para
usar afirmaciones existentes y derivar
en nuevas afirmaciones que se utilizan
para preservar la verdad las
afirmaciones existentes son verdaderas
por eso también lo son las nuevas
hibbert quería un sistema formal de
pruebas un idioma simbólico lógico con
un conjunto rígido de reglas para
manipular esos símbolos así las
afirmaciones lógicas y matemáticas
podrían ser traducidas a este sistema si
dejas caer un libro y éste cae sería a
implicar
y ningún humano es inmortal sería
expresado así
gilbert y los formalistas querían
expresar los axiomas de las matemáticas
como afirmaciones simbólicas en un
sistema formal y establecer las reglas
de inferencia como las reglas del
sistema para manipular los símbolos así
razón junto a alfred nord whitehead
desarrolló un sistema formal como éste
en los tres volúmenes de principia
mathematica publicados en 1913 principia
mathematica es extenso son unas 2.000
páginas de densos apuntes matemáticos le
toma 762 páginas sólo arribar a una
prueba completa de que uno más uno es
igual a dos momento en el cual russell y
whitehead irónicamente señalan que esta
proposición es ocasionalmente útil los
autores habían planeado un cuarto
volumen pero como era de esperar estaban
demasiado agotados como para terminarlo
los apuntes si son densos y extenuantes
pero también son exactos a diferencia de
los lenguajes ordinarios no deja espacio
para que errores o lógicas confusas se
entremezclen y fundamentalmente te
permite probar propiedades del sistema
formal en sí mismo
existían tres grandes preguntas que
gilbert quería responder sobre las
matemáticas número uno es la matemática
completa es decir hay alguna forma de
probar toda afirmación verdadera todas
las afirmaciones verdaderas tienen sus
pruebas número dos son las matemáticas
consistentes es decir es libre de
contradicciones si puedes
simultáneamente probar ahí probar que ya
no es tal entonces eso es un problema
porque puedes probar cualquier cosa y
número tres es la matemática decidí blé
es decir existe un algoritmo que pueda
siempre determinar si una afirmación se
desprende de axiomas
gilbert estaba convencido de que la
respuesta a las tres preguntas era así
en una gran conferencia en 1930 gilber
dio un encendido discurso acerca de
estas preguntas lo finalizó con una
frase que resumía su sueño formalista en
oposición al iluso ignora vimos que
quiere decir no sabremos nuestro eslogan
será debemos saber sabremos
estas palabras están literalmente en su
tumba
pero para cuando gilbert dio este
discurso su sueño ya estaba
derrumbándose justo el día anterior en
una reunión en la misma conferencia a un
lógico de 24 años llamado cord code
explicaba que había encontrado la
respuesta a la primera de las preguntas
referida a la completitud y la respuesta
era no un sistema formal completo de la
matemática era imposible el único que le
prestó atención fue john von neumann
previamente estudiante de gilbert quien
lo apartó a google para hacerle
preguntas pero al año siguiente
google publicó una prueba de su teorema
de incompletitud y esta vez todos
incluyendo a gilberto le prestaron
atención
así es como funciona la prueba de google
google quería usar la lógica y la
matemática
para responder preguntas sobre
justamente el sistema de la lógica y la
matemática por eso tomo todos estos
símbolos básicos del sistema matemático
y le asignó a cada uno un número esto se
conoce como el número de google de los
símbolos entonces el símbolo para no
obtiene el número uno o tiene el número
de google 2 si entonces obtiene el
número 3 bien si expresas estos símbolos
mediante números que es lo que haces con
los números en sí mismos bueno 0 obtiene
su propio número agudo del 6 y si
quieres escribir el número 1 le agregas
este símbolo sucesor al lado el sucesor
inmediato de 0 es 1 y si quieres
escribir el 2 entonces debes escribir
ese 0 y eso representa el 2 y así
podrías representar cualquier número
entero positivo de esta forma es cierto
que es engorroso pero funciona y ese es
el punto de este sistema ahora que
tenemos números google para todos los
símbolos básicos y para todos los
números que podríamos usar podemos
comenzar a escribir ecuaciones por
ejemplo cero es igual a cero estos
símbolos tienen los números de google
656 así podemos crear una nueva carta
que represente esta ecuación 0 es igual
a 0 y la forma de hacerlo es tomando los
números primos comenzando desde el 2 y
elevamos cada uno a la potencia del
número del símbolo en nuestra ecuación
obtenemos así 2 a la sexta potencia por
3 a la quinta por 5 a la sexta esto
equivale a 243 millones entonces
243 millones es el número de google que
equivale a la ecuación 0 es igual a 0
podemos anotar números de google para
cada conjunto de símbolos que puedan
imaginar esto realmente es un mazo de
cartas infinito en el cual cualquier
conjunto de símbolos que quieras anotar
en una secuencia se puede representar
con un número de google único y la
belleza del número google es que puedes
hacer una factorización con números
primos y averiguar exactamente qué
símbolos componen esta carta en todo
este mazo de cartas habrá afirmaciones
verdaderas y afirmaciones falsas cómo
haces para probar que algo es verdadero
bien necesitas apelar a los axiomas los
axiomas también tienen sus propios
números google que se forman de la misma
manera aquí tenemos un axioma que dice
no el sucesor de cualquier número x es
igual a 0 lo cual tiene sentido porque
en este sistema no hay números negativos
y por ende el sucesor de cualquier
número no puede ser 0 entonces colocamos
este axioma y luego podemos sustituir x
por 0
diciendo que uno no es igual a cero y
hemos creado una prueba que es la más
simple que se me ocurre que muestra que
uno no es igual a cero esta carta es la
prueba de que uno no es igual a cero y
obtiene su propio número wood y la forma
de calcularlo es como lo hicimos antes
tomamos los números primos y elevamos 2
a la potencia del axioma por 3 elevado a
la potencia 1 no es igual a 0 y
obtenemos un número tremendamente largo
tendría 73 millones de dígitos y lo
calcularemos así que lo dejé aquí en su
notación exponencial como puedes ver
estos números se hacen bastante largos y
por eso quizás quieras comenzar a
llamarlos por letras podríamos decir que
este es el número google y este es el
número del número del cce etcétera
jude se toma todo este trabajo para
hallar esta carta
que dice que no hay prueba para la
afirmación con el número wood g
el truco es que el número gol de esta
carta es g
entonces esta afirmación en realidad
está diciendo que esta carta es
indemostrable no hay prueba alguna en
nuestro mazo infinito para esta carta
piénsalo si es falso y hay una prueba lo
que acabas de probar es que no hay
pruebas estás estancado en una
contradicción
eso significaría que el sistema
matemático es inconsistente
la otra alternativa es que esta carta es
verdadera no hay pruebas para la
afirmación con el número google pero eso
querría decir que este sistema
matemático tiene afirmaciones verdaderas
que no tienen pruebas por lo que tu
sistema matemático está incompleto y ese
es el teorema de incompletitud de wood
así es como él demuestra que cualquier
sistema matemático que cuente con
aritmética básica siempre tendrá
afirmaciones dentro de él que son
verdaderas pero que no tienen pruebas
hay un diálogo en la serie de office que
ilustra la paradoja autorreferencial de
la prueba de good time es mi enemigo
pero resulta que james también su propio
peor enemigo y el enemigo de mi enemigo
es mi amigo por lo que jim es en verdad
mi amigo
pero como es su propio peor enemigo el
enemigo de mi amigo es mi enemigo por lo
que realmente jim es mi enemigo
pero
el teorema de la incompletitud de google
significa que la verdad y la demostrar y
lidad no son lo mismo en absoluto
gilbert estaba equivocado siempre habrá
afirmaciones verdaderas sobre la
matemática que no pueden ser probadas
gilbert podría conformarse con la
esperanza de que al menos aún podemos
probar que la matemática es consistente
o sea libre de contradicciones pero
luego google publicó su segundo teorema
de incompletitud donde demostró que
cualquier sistema formal consistente de
la matemática es incapaz de probar su
propia consistencia así que tomando
ambos teorema de incompletitud de google
estos dicen que lo mejor a lo que puedes
aspirar es a un sistema consistente pero
incompleto de la matemática pero un
sistema como ese no puede probar su
propia consistencia por lo que algunas
contradicciones pueden aparecer en el
futuro revelando que el sistema con el
que trabajas ha sido inconsistente todo
el tiempo y eso nos deja la tercera y
última gran pregunta de gilbert es la
matemática decidí blé hay algún
algoritmo que pueda siempre determinar
si una afirmación surge de los axiomas y
en 1936 alan turing encontró una manera
de responder a ésta pero para lograrlo
tuvo que inventar la computadora moderna
en su época las computadoras no eran
máquinas eran personas comúnmente
mujeres que desarrollaban largos y
tediosos cálculos turín imagino una
computadora enteramente mecánica quería
que fuera tan poderosa como para llevar
a cabo cualquier cómputo imaginable pero
lo suficientemente sencilla como para
que puedas seguir el razonamiento de la
operación por lo tanto imagino una
máquina que recibe como información una
cinta infinitamente larga de celdas
cuadradas que contienen un cero o un 1
la maquina poseía un cabezal de lectura
y escritura que podía leer un dígito a
la vez luego podría realizar una de las
siguientes tareas reescribir un nuevo
valor moverse a la izquierda a la
derecha o simplemente detenerse
detenerse implicaría que el programa ha
finalizado el programa consiste en un
conjunto de instrucciones internas
puedes pensarlo como un diagrama de
flujo que le indica a la máquina qué
hacer en base al dígito que lee y su
estado interno
podemos imaginar la exportando estas
instrucciones a cualquier otra máquina
de turing que luego se comportaría de la
misma forma que la primera a pesar de
que esto suene simple la memoria grande
y arbitraria de una máquina touring
significa que puede ejecutar cualquier
algoritmo computable si se le brinda el
tiempo suficiente de la suma a la resta
hasta el algoritmo completo de youtube
puede hacer lo mismo que cualquier
computadora moderna
por eso la máquina de turing fue tan
útil para responder la pregunta de
gilbert acerca de la de civilidad cuando
una máquina touring se detiene el
programa ha terminado de correr y la
cinta es el resultado pero a veces una
máquina touring nunca se detiene quizás
se trabe en un bucle infinito es posible
predecir antes de que suceda si se
detendrá o no a partir de una
información determinada touring noto que
el problema sobre la detención era
similar al problema de lo indecible si
encontrase una manera de averiguar si
una máquina touring se detendría también
podría decidir si una afirmación se
deduce de los axiomas por ejemplo
podrías resolver la conjetura de los
primos gemelos escribiendo un programa
que comience con el axioma y construya
todos los teoremas que se producirían en
un solo paso usando las reglas de
inferencia luego construiría todos los
teoremas que se podrían producir en un
solo paso y así sucesivamente cada vez
que genere un nuevo teorema verifica si
es la conjetura de los primos gemelos y
si lo es se detendría y si no lo es
nunca se detendría así que si se pudiese
resolver el problema de la detención
podría resolver la conjetura de los
primos gemelos y toda pregunta sin
responder entonces touring propuso
asumir que podemos hacer una máquina h
que puede determinar si cualquier
máquina touring se detendría o no a
partir de cierta información insertas el
programa introduce la información y h
simula lo que sucederá imprimirá ya sea
se detiene o nunca se detiene por ahora
no nos preocupamos acerca de cómo
funciona h sólo sabemos que siempre
funciona y siempre da la respuesta
correcta podemos modificar la máquina h
al sumarle componentes adicionales 1 es
que si recibe el resultado se detiene
inmediatamente ingresa en un bucle
infinito otro que si recibe nunca se
detiene inmediatamente se detiene
llamar a esta nueva máquina h plus y
podemos exportar el programa para toda
esa máquina
ahora bien qué sucede si le damos a esta
máquina su propio código tanto como un
programa y como una entrada de
información bueno ahora está simulando
lo que h plazo haría a partir de su
propia entrada esencialmente h debe
determinar el comportamiento de una
máquina de la cual ella misma es parte
en exactamente estas circunstancias
si concluye que h plast jamás se
detendrá esto hace inmediatamente que h
plus se detenga
si concluye que h plan se detendrá
entonces eso necesariamente fuerza h
plaza centrar en un bucle infinito
cualquiera sea el resultado que la
máquina de detención h nos dé resulta
ser el erróneo hay una contradicción la
única explicación es que una máquina
como h no puede existir no hay forma de
determinar en general si una máquina
touring se detendrá o no a partir de una
entrada determinada
y esto significa que la matemática es
indecidible no existe algoritmo que
pueda siempre determinar si una
afirmación se desprende de los axiomas
así que algo como la conjetura de los
primos gemelos podría ser irresoluble
quizás nunca sepamos si existen
infinitos números primos o no el
problema de la indeci debilidad incluso
aparece en los sistemas físicos en la
mecánica cuántica una de las más
importantes propiedades de un sistema de
muchos cuerpos es la diferencia en
energía entre su estado fundamental y su
primer estado excitado esto se conoce
como la brecha espectral algunos
sistemas tienen una brecha espectral
significativa mientras que otros carecen
de brecha hay un continuo de niveles de
energía hasta el estado fundamental esto
es importante porque a bajas
temperaturas los sistemas cuánticos sin
brecha pueden atravesar transiciones de
fase mientras que los que tienen brecha
no no poseen la energía necesaria para
superar la brecha espectral pero
averiguar si un sistema posee una brecha
o no es algo hace tiempos ávidamente
dificultoso
recién en el último tiempo en 2015 los
matemáticos probaron que en general la
cuestión de la brecha espectral es
indecidible para citar a los autores
incluso una descripción completa y
perfecta de las interacciones
microscópicas entre las partículas de un
material no es siempre suficiente para
deducir sus propiedades microscópicas
recuerda que touring construyó sus
máquinas para hacer computadoras tan
poderosas como sean posible de hacer hoy
en día los mejores sistemas
computacionales son aquellos que pueden
hacer todo lo que podían hacer las
máquinas touring esto es llamado la
completitud de touring y de hecho hay
varios de estos sistemas completos a
pesar de ser poderosos todo sistema
completo de touring viene con un truco
su propia analogía del problema de la
detención alguna propiedad indecidible
del sistema los mosaicos de wang son
completos según touring su problema de
detención es si completarán el plan o no
los sistemas cuánticos complejos son
completos según touring y su problema de
detención es la cuestión de la brecha
espectral el juego de la vida es
completo según touring y su problema de
detención es literal si se detiene o no
existen muchos ejemplos como los
sistemas de tickets de las aerolíneas el
juego magic the gathering las
diapositivas de power point o los
documentos de excel casi todos los
lenguajes de programación están
diseñados para ser completo según
touring pero en teoría sólo necesitamos
un lenguaje de programación porque
puedes programar cualquier cosa
utilizando cualquier sistema completo de
touring aquí tenemos una máquina de
turing dentro del juego de la vida
y como el juego de la vida es en sí
mismo completo en términos de touring
debería ser capaz de simular sé a sí
mismo y de hecho lo es
este es el juego de la vida
desarrollando el juego de la vida
[Música]
el verdadero legado del sueño de david
gilbert son todos nuestros dispositivos
computacionales
cort sufrió episodios de inestabilidad
mental durante el resto de su vida
convencido de que había gente intentando
envenenarlo se negó a alimentarse hasta
finalmente morir de hambre
gilbert falleció en 1943 su epitafio fue
su frase de 1930 debemos saber sabremos
la verdad es que no sabemos a veces no
podemos saber pero en el intento de
averiguarlo podemos descubrir cosas
nuevas cosas que cambian el mundo alan
turing empleó sus ideas sobre
computación en la segunda guerra mundial
liderando al equipó que construyó
verdaderas máquinas de calcular para
descifrar códigos nazis según una
estimación la inteligencia que touring y
sus colegas obtuvieron de mensajes de
cifrados a corto la guerra de dos a
cuatro años después de la guerra touring
y johnson noiman diseñaron la primera
computadora electrónica programable real
línea que se basó en los diseños de
touring pero touring no vivió para ver
sus ideas desarrollarse mucho más en
1952 el gobierno británico lo condenó
por conducta indecente al enterarse que
era gay se le quitó su autorización de
seguridad y se lo forzó a inyectarse
hormonas en 1954 decidió suicidarse
[Música]
turing cambio el mundo es considerado
como la figura fundadora más importante
de la ciencia computacional todas las
computadoras modernas descienden de sus
diseños pero sus ideas sobre la
computabilidad aparecieron gracias a su
concepto de la máquina touring que a su
vez vino al considerar la pregunta de
gilbert acerca de la invisibilidad de la
matemática por lo que las máquinas para
descifrar códigos de turing y en efecto
todas las computadoras modernas
provienen de las extrañas paradojas que
surgen de la autorreferencia
hay una falla en el fondo de las
matemáticas una falla que significa que
nunca sabremos todo con certeza siempre
habrá afirmaciones verdaderas que no
pueden ser probadas y quizás creas que
la comprensión de esto conduciría a los
matemáticos a la locura y a la
desintegración de la iniciativa
matemática pero sin embargo considerar
este problema transformó el concepto del
infinito cambió el rumbo de una guerra
mundial y nos guió directamente a la
invención del dispositivo en el que
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[Música]
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