SYMMETRIE von Funktionen untersuchen – Achsensymmetrie und Punktsymmetrie berechnen
Summary
TLDRIn diesem Video wird erklärt, wie man rechnerisch überprüft, ob eine Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. Dabei werden die jeweiligen Formeln und Vorgehensweisen vorgestellt, die diese Symmetrien definieren. Es wird gezeigt, wie man eine Vermutung über die Symmetrie der Funktion anstellt, um unnötige Berechnungen zu vermeiden. Durch Beispiele wird die Vorgehensweise schrittweise demonstriert: Von der Substitution von -x in die Funktion bis zur Vereinfachung der Terme. Auch wird erklärt, wie ungerade und gerade Exponenten die Symmetrie beeinflussen. Der Fokus liegt auf der rechnerischen Bestätigung der Symmetrie ohne den Graphen der Funktion zu kennen.
Takeaways
- 😀 Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn f(x) = f(-x) gilt.
- 🧐 Um zu überprüfen, ob eine Funktion symmetrisch ist, kann man rechnerisch f(-x) bilden und mit f(x) vergleichen.
- 🔄 Bei einer achsensymmetrischen Funktion sind alle Exponenten der Terme gerade.
- ❗ Wenn weder Achsen- noch Punktsymmetrie vorliegt, liegt keine einfache Symmetrie vor.
- 🧮 Bei Polynomen weisen gerade Exponenten auf Achsensymmetrie hin, während ungerade Exponenten Punktsymmetrie anzeigen.
- 💡 Bei Punktspiegelung gilt: f(-x) = -f(x).
- 📐 Gerade Exponenten machen das Minuszeichen vor der Variablen positiv, daher entfällt es in der Berechnung.
- ❓ Bei ungeraden Exponenten bleibt das Minuszeichen erhalten und beeinflusst das Vorzeichen des Ergebnisses.
- 🔍 Falls weder Achsen- noch Punktsymmetrie vorliegt, müssen beide Formen getestet werden.
- 📊 Trigonometrische Funktionen wie der Sinus können auch auf Punktsymmetrie überprüft werden, da sie spezielle Symmetrieeigenschaften aufweisen.
Q & A
Wie erkennt man, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist?
-Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn für sie gilt: f(x) = f(-x). Das bedeutet, dass die Funktion den gleichen Wert für x und -x hat, was sich in einer Symmetrie zur y-Achse zeigt.
Was ist der Unterschied zwischen Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen?
-Der Unterschied liegt in der Bedingung, die die Funktion erfüllen muss. Bei Achsensymmetrie gilt f(x) = f(-x), während bei Punktsymmetrie die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt sein muss. Achsensymmetrische Funktionen sind zur y-Achse gespiegelt, punktsymmetrische Funktionen sind bezüglich des Ursprungs gespiegelt.
Was ist ein Indiz für Achsensymmetrie bei einer Funktion?
-Ein Indiz für Achsensymmetrie ist, wenn alle Exponenten der Variablen in der Funktion gerade sind, einschließlich des konstanten Terms. Zum Beispiel, wenn in einem Polynom nur gerade Potenzen vorkommen, ist die Funktion achsensymmetrisch.
Warum reicht es oft, nur die Exponenten zu überprüfen, um Symmetrie zu erkennen?
-Bei Polynomen reicht es oft, nur die Exponenten zu überprüfen, weil gerade Exponenten für Achsensymmetrie und ungerade Exponenten für Punktsymmetrie sorgen. Dies ist eine praktische Methode, um eine Vermutung über die Symmetrie der Funktion anzustellen, ohne aufwendige Rechnungen durchzuführen.
Wie zeigt man rechnerisch, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist?
-Um rechnerisch zu zeigen, dass eine Funktion achsensymmetrisch ist, bildet man f(-x) und überprüft, ob das Ergebnis mit f(x) identisch ist. Falls das der Fall ist, ist die Funktion achsensymmetrisch.
Wie zeigt man rechnerisch, dass eine Funktion punktsymmetrisch ist?
-Um Punktsymmetrie zu zeigen, bildet man f(-x) und überprüft, ob f(-x) = -f(x) gilt. Wenn das der Fall ist, ist die Funktion punktsymmetrisch.
Warum bleibt bei ungeraden Potenzen das Minuszeichen erhalten?
-Bei ungeraden Potenzen bleibt das Minuszeichen erhalten, weil (-x)^ungerade = -x^ungerade ist. Dies führt dazu, dass der Vorzeichenwechsel durch die Potenzierung nicht aufgehoben wird.
Was passiert bei geraden Potenzen von -x?
-Bei geraden Potenzen verschwindet das Minuszeichen, da (-x)^gerade = x^gerade ist. Das Minuszeichen wird durch die gerade Potenz neutralisiert.
Warum ist es wichtig, zwischen Achsen- und Punktsymmetrie zu unterscheiden?
-Es ist wichtig, zwischen Achsen- und Punktsymmetrie zu unterscheiden, weil beide unterschiedliche geometrische Eigenschaften der Funktion beschreiben und unterschiedliche Bedingungen erfüllen müssen. Achsensymmetrische Funktionen sind zur y-Achse symmetrisch, während punktsymmetrische Funktionen um den Ursprung gespiegelt sind.
Was bedeutet es, wenn eine Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch ist?
-Wenn eine Funktion weder achsen- noch punktsymmetrisch ist, bedeutet das, dass sie keine einfache Symmetrie aufweist. In diesem Fall gibt es keine Spiegelung an der y-Achse oder am Ursprung, die für die Funktion gilt.
Outlines
🧮 Einführung in die Symmetrie von Funktionen
In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man überprüft, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist. Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn die Gleichung f(x) = f(-x) erfüllt ist. Der Unterschied zwischen achsen- und punktsymmetrischen Funktionen wird anhand von Formeln gezeigt. Wenn weder die eine noch die andere Gleichung erfüllt ist, liegt keine einfache Symmetrie vor. Es wird betont, dass man sich von Anfang an festlegen sollte, welche Symmetrie geprüft werden soll, da falsche Annahmen unnötige Berechnungen verursachen. Ein Beispiel zeigt, dass gerade Hochzahlen in einem Polynom auf Achsensymmetrie hindeuten.
🧮 Punkt- und Achsensymmetrie anhand von Polynomen
Hier wird ein Beispiel einer achsensymmetrischen Funktion untersucht. Die Funktion wird umgeschrieben, indem -x in die Funktion eingesetzt wird. Dabei werden die Potenzen der Variablen analysiert. Es wird gezeigt, dass gerade Hochzahlen immer positive Werte liefern und das Minuszeichen verschwindet, was zur Symmetrie führt. Anschließend wird ein Beispiel einer punktsymmetrischen Funktion betrachtet, bei der alle Hochzahlen ungerade sind, was auf Punktsymmetrie hinweist. Auch hier wird das Verfahren erklärt, wie man die Funktion umformt, um die Symmetrie zu beweisen.
🔄 Untersuchung weiterer Symmetrie-Beispiele
Ein weiteres Beispiel zeigt, dass eine Funktion mit nur ungeraden Exponenten punktsymmetrisch ist. Das Minuszeichen bleibt in der Berechnung erhalten, wenn ungerade Hochzahlen vorhanden sind, und kann ausgeklammert werden, was die Punktsymmetrie bestätigt. Der Prozess wird auch bei anderen Funktionen wiederholt, wobei immer wieder die Methode erläutert wird, -x in die Funktion einzusetzen, um festzustellen, ob sie symmetrisch ist. Bei einigen Funktionen liegt keine Symmetrie vor, was ebenfalls mit Beispielen veranschaulicht wird.
Mindmap
Keywords
💡Symmetrie
💡Achsensymmetrie
💡Punktsymmetrie
💡Gerade und ungerade Exponenten
💡Funktion
💡Funktionsgleichung
💡Graph der Funktion
💡Polynom
💡Sinusfunktion
💡Rechenvorgang
Highlights
Die Überprüfung, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, erfolgt durch die Bedingung f(x) = f(-x).
Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten der Potenzen gerade sind.
Achsensymmetrie wird oft vermutet, wenn alle Hochzahlen gerade sind, da gerade Exponenten positive Werte ergeben.
Zur Überprüfung der Achsensymmetrie setzt man in die Funktion -x ein und vergleicht, ob f(x) = f(-x) gilt.
Ungrade Hochzahlen deuten auf Punktsymmetrie hin.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn f(-x) = -f(x) gilt.
Um Punktsymmetrie zu beweisen, setzt man -x in die Funktion ein und vergleicht, ob das Ergebnis dem negativen f(x) entspricht.
Bei Polynomen mit ungeraden Exponenten bleibt das Minuszeichen bei der Berechnung von f(-x) erhalten.
Bei Polynomen mit geraden Exponenten verschwindet das Minuszeichen, wenn f(-x) gebildet wird.
Symmetrie einer Funktion kann rechnerisch gezeigt werden, auch wenn der Graph nicht vorliegt.
Es ist wichtig, vor der Berechnung festzulegen, ob Achsen- oder Punktsymmetrie gezeigt werden soll.
Brüche in einer Funktion beeinträchtigen die Symmetrie, besonders bei Polynomen.
Sinus-Funktionen sind punktsymmetrisch, da sin(-x) = -sin(x) gilt.
Eine Funktion, die weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch ist, weist keine einfache Symmetrie auf.
Das Beispiel mit der Funktion e^x zeigt, dass keine Symmetrie vorliegt, da f(-x) nicht mit f(x) übereinstimmt.
Transcripts
herzlich willkommen zu einem neuen video
heute geht es darum wie man überprüfen
kann ob eine funktion symmetrisch ist
eine funktion achsen symmetrisch sieht
also so in dieser form aus dann gilt
diese gleichung hier für diese funktion
also fnx gleich elf von -6 ist
symmetrisch muss sie diese gleichung
hier erfüllen
der einzige unterschied ist dieses mini
minuszeichen hier also passt da immer
echt richtig auf welche funktioniert
zeigt das ist der einzige unterschied
erfüllt sie weder diese gleichung noch
diese gleichung dann liegt keine
einfache symmetrie vor
und das wollen wir jetzt einfach mal
überprüfen denn oft hat man ja gar nicht
den grafen der funktion dann sieht man
das nicht und soll dann einfach
rechnerisch zeigen wir müssen am anfang
uns festlegen ob wir achsen symmetrie
oder punkt symmetrie zeigen wollen weil
wenn wir jetzt hier zum beispiel ich
sag's euch schon mal die sachsen
symmetrisch wenn wir da jetzt zuerst die
formel für die punkt symmetrie
überprüfen dann haben wir die rechnung
umsonst gemacht also wäre es schon ganz
gut dass man eine vermutung hat hier
sind alle hoch zahlen gerade also wenn
gerade hoch zahlen vorkommen auch hier
hinten bei der 5 da steht eigentlich
noch 60 auch die 0 zählt als gerade wenn
die alle gerade sind bei einem polo dann
ist die funktion sowieso achsen
symmetrische ab und zu reicht dass ihr
waren lehrer dann sagt die hochs zahlen
sind alle gerade dann nicht achsen
symmetrie vor
und die wollen dann das mit der formel
gar nicht mehr sehen aber wir werden es
jetzt trotzdem mit dieser formel zeigen
also wir vermuten achsen symmetrie und
beweisen dass jetzt auch wir wollen
zeigen fnx ist es sehr weh von nina 6
dazu nix steht ja schon da
jetzt müssen wir nur noch von minus
sechs bilden und dann müssen sie
letztendlich gleich sein
dann machen wir das bedeutet für jede
six dass ihr hier in der gleichung
findet setzt ihr - x1 und schönen
klammern immer einsetzen
dann steht da viermal
jetzt statt imixs eben das minus sechs
einsätzen und dann hoch 6 danach kommt
dreimal und jetzt auch wieder statt dem
xx einsetzen und hier hinten stand ja
nur die +5 dieses hoch 0 stand da ja gar
nicht dann schreiben wir da einfach nur
dieses plus 5
und jetzt vereinfachen wir das ein
bisschen immer im hinterkopf haben wo
wollen wir eigentlich hin wir wollen
zeigen dass das dasselbe ist wie er von
iks also wie das da dazu müsste man alle
- weg kriegen wir die weg musics hoch
ich hab jetzt vergessen - hoch eine
gerade zahl gerade zahlen sorgen dafür
dass da sowieso positive zahlen
herauskommen also dass - was hier drin
ist muss ich nicht hin schreiben ich
kann auch einfach nur 4 x iks hoch 6
hinschreiben weil das - hoch eine gerade
zahl fällt genauso hier bei dem teil
da ist das minus zum quadrat das ist
dasselbe wie iks quadrat weil das nur
gerade hoch zahl ist und hinten die fünf
dazu immer wieder vergleichen mit dem
vorherigen und jetzt sehen wir das ding
ist komplett gleich also das ist fx und
das war schon der mini weiß dass es von
-6 dasselbe ist wie er von iks und damit
ist diese funktion hier um achsen
symmetrisch also so einfach kann es
gehen schauen wir uns das mal beim
nächsten beispiel an
da haben wir jetzt oder was auffällig
ist dass da ungerade hoch sein sind und
da vermuten wir dann punkt symmetrie
auch hier sagen es euch schon mal vorher
sie ist punkt symmetrisch denn alle hoch
zahlen auch hier hinten sind ungerade
also bei polin omen da dürfen keine
brüche noch drin sein
dann gilt es nicht mehr aber weil so
polynorm wenn alle hoch zahlen ungerade
sind dann ist die funktion punkt
symmetrisch also f von biggs ist oder -
fv nix ist dasselbe wie
von -6 so auch hier starten wir mit eps
von -11 onyx an sich steht ja schon da
wir bilden jetzt erstmal er von - ickx
und zugucken wie das ding überhaupt
aussieht
für jede six dass da drinsteht setzen
wir - iks schön in klammern ein und
rechnen hoch 7 dann viermal sex hoch
drei und hier hinten noch auch für
dieses xx eingesetzt jetzt haben wir
hier um gerade hoch zahlen das heißt
dieses - bleibt auf jeden fall da weil -
hoch was ungerade es bleibt - also muss
das minus gar nicht hier mit dem ixs in
die klammern das bleibt sowieso da das
können wir auch vorne dran schreiben
also hier können wir das - vorne dran
ziehen und das so schreiben
und genauso hier sobald wir was hoch um
gerades haben bleibt das minus auf jeden
fall da das heißt aus diesem plus wird
auch ein - und auch hier hinten los es
ist ja klar das ist ein minus 6 jetzt
haben wir in jedem teil ein minus drin
im vergleich zu dem als wir müssen immer
gucken wo wir herkommen
da sind überall plus hier sind überall -
das heißt wir können mal ein -
ausklammern
dann ändern sich alle vorzeichen also
aus dem minus fünf wird ein 57 aus dem
minus 4 wird ein plus 4 x3 und aus dem
minus in plus 6 und wenn wir das jetzt
mal wieder vergleichen denkt immer dran
ihr müsst das immer mit dem fcx
vergleichen
dann steht das - da und das ding da ist
doch genau und sonnig also jetzt haben
wir genau das gezeigt dass es von - iks
ist gleich - von iks und deswegen ist
das ding jetzt pumpt symmetrisch
ok dann schauen wir uns das nächste
beispiel an
auch hier müssen wir zuerst eine
vermutung aufstellen was wir zeigen
wollen punkt symmetrie oder achsen
symmetrie oben sind jetzt nur ungerade
exponenten unten ist eine gerade
exponent wir probieren es einfach mal
mit punkt symmetrie also - f von iks
gleiche von - x1 sein dass keine
symmetrie vorliegt kann passieren dann
müssen wir trotzdem beide testen und
wenn beide nicht funktionieren dann
haben wir wie gesagt keine symmetrie
okay dann werden wir wie immer erstmal
er von - ickx und schauen uns das mal an
für jede six deshalb jetzt eben schon
gesehen setzen wir - iks ein und schauen
mal was passiert so unten auch für das
was da ist - iks eingesetzt wir haben
jetzt eben schon gesehen sobald die hoch
zahlen um gerade sind können wir das -
auch von trun schreiben dann steht da -8
x5 und auch hier eine ungerade hohe zahl
dann wird das zu einem minus 2 x3 und
unten
da ist eine gerade hoch war da
verschwindet das - ja komplett also da
steht dann nur iks quadrat +1
vergleichen wir das wieder mit dem
ursprungs teilen mit der funktion dann
unten im nenner der ist gleich und oben
da waren hier plus und plus und hier -
und - das ist gar nicht schlecht wir
können dann mal dass - ausklammern
dann steht der acht x5 nur noch plus 2x
hoch drei und unten steht asics quadrat
+1 immer noch jetzt haben wir genau das
was wir eigentlich wollen dass - das
steht ja vor diesem ganzen bruch im
grunde als ihr könnt es auch hier vorne
dran schreiben wenn ihr wollt dann steht
das - und dieser ganze bruch das ist die
ursprungsfunktionen das ist das f von
iks und jetzt steht hier schon wieder
eher von -6 gleich - von ex das ding ist
symmetrisch
aber nicht alle funktionen sehen so aus
es gibt so was - comics was vermuten wir
hier
wenn ihr wisst wie die funktion aussieht
vermuten wir auch hier punkt symmetrie
also wir wollen - fnx gleich f von -
wegs zeigen auch hier bilden wir zuerst
fa - also ihr seht das vorgehen ist
immer gleich und schauen mal was
passiert wir haben also das sinus von
für das 6 6 1 steht das sinus von minus
6 jetzt muss man ein paar regeln zum
sinus kennen sinus von musics kann man
auch anders schreiben nämlich als -
sinus von iks das ist ja jetzt nicht
super denn jetzt steht schon wieder das
minus vor unsere eigentlichen er von iks
funktionen und da haben wir jetzt schon
wieder geschafft zu zeigen dass 11 - ecs
das selbe ist wie - elf von ex und die
funktion ist funktioniert was passiert
bei der funktion hoch iks wisst ihr
bestimmt alle dass das ding so aussieht
dass hat keine symmetrie aber lasst uns
das einfach mal zeigen er von -6 bilden
wir mal das brauchen wir für beide also
ob wir jetzt achsen symmetrie oder punkt
symmetrie zeigen wollen wir brauchen auf
jeden fall von -6 für das ixs setzen wir
- israel ansteht da hoch - 6 und schon
ist es eigentlich vorbei denn achsen
symmetrie haben wir keine weil sonst
müsste er von - iks dasselbe sein wie er
von iks also rx muss dasselbe sein wie
auf - und das geht gar nicht also man
kann daher gar nichts weiter umformen da
ist nichts möglich die sind einfach
nicht gleich und für funktionen
bräuchten wir das ebt von minus sechs
dasselbe ist wie - f von iks aber lasst
uns mal - fnx bilden
das bedeutet einfach nur dass wir von
iks einmal mit einem - noch vorne dran
schreiben das wäre - und das ist auch
nicht das selbe obwohl da - und
natürlich vorkommen aber die com an
unterschiedlichen stellen ran also es
ist einfach nicht dasselbe
und deswegen haben wir hier keine
petri und so kann man eben bei diesen
ganzen sachen vorgehen ihr seht dass man
immer er von - iks berechnet und dann
schaut ob man einen zusammenhang
herstellen kann zu der ursprünglichen
funktion gelingt es nicht dann gibt es
einfach keine symmetrie dar
5.0 / 5 (0 votes)