6.11 Implementing the Kalman filter for LGSSMs

Summary

Dans cette vidéo, l'algorithme du filtre de Kalman est abordé, avec une explication détaillée de ses étapes, spécifiquement pour le modèle d'espace d'état linéaire gaussien. L'accent est mis sur la prévision et la mise à jour des distributions filtrantes en utilisant les moyennes et covariances gaussiennes. Les calculs pour la mise à jour des moyens et covariances sont détaillés, en expliquant comment les observations influencent ces estimations via le gain de Kalman. L'objectif est de montrer comment ces étapes peuvent être implémentées sur un ordinateur, en expliquant les formules clés et leur intuition sous-jacente.

Takeaways

• 🔄 Les étapes de l'algorithme de filtre de Kalman sont valables pour tout modèle spécifié avec des probabilités de transition et des variables observées.
• 🧮 Dans le modèle d'espace d'état linéaire gaussien, les distributions de filtrage sont gaussiennes, et nous devons manipuler les moyennes et les covariances de ces gaussiennes.
• 📊 Chaque distribution de filtrage est définie par une moyenne et une covariance avec des indices pour indiquer la variable et les données utilisées.
• 📈 Le processus de prédiction consiste à diffuser la distribution de filtrage à travers les dynamiques probabilistes, donnant une nouvelle moyenne et covariance.
• 📐 La nouvelle moyenne est obtenue en multipliant la matrice A par l'ancienne moyenne.
• 🔧 La covariance est calculée à l'aide d'une transformation linéaire sur l'ancienne covariance, en y ajoutant le bruit gaussien.
• 🔍 L'étape de mise à jour ajuste la distribution de filtrage en fonction des nouvelles données observées, en mettant à jour la moyenne et la covariance.
• ⚙️ Le gain de Kalman (K) contrôle la force de la mise à jour basée sur l'écart entre la prédiction et l'observation.
• 🔄 L'algorithme de Kalman combine les distributions prédites et observées pour fournir des estimations plus précises à chaque étape.
• 🖥️ L'implémentation sur ordinateur nécessite de programmer les équations pour la prédiction et la mise à jour du filtre de Kalman, avec une attention particulière à l'initialisation.

Q & A

Qu'est-ce que le modèle d'espace d'état gaussien linéaire?

Le modèle d'espace d'état gaussien linéaire est un modèle où les transitions entre états latents et les observations sont régis par des distributions gaussiennes et des transformations linéaires.

Quelles sont les principales variables manipulées dans le filtre de Kalman pour le modèle gaussien linéaire?

Les principales variables sont les moyennes et les covariances des distributions gaussiennes associées aux états prédits et filtrés à chaque étape temporelle.

Comment est notée la distribution de filtrage dans le filtre de Kalman?

La distribution de filtrage à un instant t-1 est notée avec un indice en souscrit correspondant à la variable de l'état, et un indice en superscrit indiquant quelles observations ont été utilisées pour calculer cette distribution.

Qu'est-ce que la prédiction dans le filtre de Kalman?

La prédiction consiste à diffuser la distribution de filtrage précédente à travers la dynamique probabiliste pour obtenir une distribution prédictive du prochain état latent.

Comment calcule-t-on la nouvelle moyenne prédite dans le filtre de Kalman?

La nouvelle moyenne prédite est obtenue en multipliant la moyenne précédente par une matrice de transition A.

Comment la covariance est-elle mise à jour dans l'étape de prédiction du filtre de Kalman?

La nouvelle covariance est calculée comme A fois l'ancienne covariance, multipliée par la transposée de A, plus la covariance du bruit Q.

Quel rôle joue le bruit dans l'étape de prédiction?

Le bruit ajouté lors de la prédiction, modélisé comme une distribution gaussienne de covariance Q, élargit la variance de la distribution prédite, augmentant ainsi l'incertitude.

Comment s'appelle le facteur qui ajuste la mise à jour de la moyenne dans l'étape d'observation?

Ce facteur s'appelle le gain de Kalman, noté K, et il détermine l'importance de la correction apportée à la moyenne prédite en fonction de la nouvelle observation.

Quelle est l'intuition derrière la mise à jour de la moyenne dans le filtre de Kalman?

La mise à jour ajuste la moyenne prédite en fonction de la différence entre l'observation réelle et la prédiction de l'observation. Si cette différence est grande, la correction est plus importante.

Quelles sont les équations clés pour implémenter le filtre de Kalman?

Les équations clés sont celles pour la mise à jour de la moyenne et de la covariance lors des étapes de prédiction et de mise à jour, ce qui implique un total de cinq équations à implémenter.