[SER222] Recurrences (6/7): Proving f(n)

Summary

El video explica cómo la recurrencia descubierta en la solución de las Torres de Hanoi es equivalente a la fórmula cerrada propuesta (2^n - 1). Se destaca que la recurrencia es menos útil, ya que requiere muchos pasos recursivos para evaluar, mientras que la fórmula cerrada permite calcular directamente el número de movimientos. A través de la inducción matemática, se demuestra que ambas fórmulas coinciden para cualquier tamaño de torre. Además, se realiza un análisis de la complejidad Big-O, que resulta ser exponencial (O(2^n)), lo que implica que el algoritmo es ineficiente para valores grandes de n.

Takeaways

• 📊 El problema trata de comparar una recurrencia con una fórmula cerrada para la solución del problema de las Torres de Hanoi.
• 🔄 La recurrencia no es útil para cálculos rápidos, ya que requiere pasos recursivos hacia atrás, por lo que se busca una fórmula cerrada.
• 🔢 La fórmula cerrada que se sugiere es 2^n - 1, lo que permite calcular directamente el número de movimientos necesarios para cualquier n.
• 🧮 La recurrencia tiene dos partes: f(1) = 1 (un solo disco requiere un solo movimiento) y f(n) = 2 * f(n-1) - 1 para n discos.
• 🔍 El objetivo es demostrar mediante inducción que la fórmula cerrada y la recurrencia coinciden para cualquier valor de n.
• 📐 La inducción tiene dos pasos: primero, mostrar que la base (f(1)) es verdadera, y luego mostrar que si se cumple para k, se cumple para k+1.
• 🧩 Se asume que la fórmula es verdadera para k, y luego se demuestra que también es válida para k+1 utilizando la recurrencia.
• 📈 Al final, se demuestra que la fórmula cerrada es válida para todos los números naturales mediante inducción.
• 💡 La fórmula final para f(k+1) es 2^(k+1) - 1, lo que coincide con la fórmula general que se quería demostrar.
• ⚙️ El crecimiento de la función es exponencial (O(2^n)), lo que implica que el algoritmo toma mucho tiempo para valores grandes de n.

Q & A

¿Qué es lo que se quiere demostrar en el video?

Se quiere demostrar que la recurrencia obtenida del problema de las Torres de Hanoi es equivalente a la fórmula cerrada que se conjeturó para el número de movimientos.

¿Por qué no es útil la recurrencia para evaluar el número de movimientos?

Porque para evaluar la recurrencia en un valor específico de n, se requieren muchos pasos recursivos, lo que la hace ineficiente. Es más útil tener una solución cerrada que permita calcular directamente el número de movimientos para un valor de n.

¿Cuál es la recurrencia y la fórmula cerrada propuestas para el problema de las Torres de Hanoi?

La recurrencia es f(n) = 2f(n-1) - 1, y la fórmula cerrada conjeturada es f(n) = 2^n - 1.

¿Cómo se puede demostrar que ambas fórmulas son equivalentes?

Se puede demostrar utilizando inducción matemática. El objetivo es probar que ambas fórmulas son iguales para cualquier valor de n.

¿Cuáles son los pasos clave de la inducción matemática mencionados en el video?

Primero se debe establecer un caso base, en este caso n = 1, y luego realizar un paso inductivo, que demuestra que si la propiedad es cierta para un valor k, entonces también lo será para k + 1.

¿Cuál es el caso base utilizado en la demostración?

El caso base es n = 1, donde se demuestra que ambas fórmulas, f(1) = 1 y 2^1 - 1 = 1, son iguales.

¿Cómo se realiza el paso inductivo?

En el paso inductivo se asume que la fórmula es válida para n = k y se utiliza la recurrencia para demostrar que también es válida para n = k + 1.

¿Cómo se expande algebraicamente la fórmula durante el paso inductivo?

Se sustituye la expresión f(k) en la recurrencia y se simplifica para obtener que f(k + 1) = 2^(k + 1) - 1, mostrando que la fórmula es válida para k + 1.

¿Qué significa que la solución sea de tiempo exponencial?

Significa que el número de movimientos necesarios crece exponencialmente con el número de discos. Esto implica que el tiempo de cálculo aumenta rápidamente, haciéndolo impracticable para valores grandes de n.

¿Cuál es el orden de complejidad Big-Oh de la solución?

El orden de complejidad Big-Oh es O(2^n), indicando que el número de movimientos crece de manera exponencial con el número de discos.