01. Demostración por inducción: Suma de naturales (Suma Gaussiana)
Summary
TLDREn este vídeo de 'Mate Fácil', se explica cómo demostrar la fórmula de la suma de los primeros naturales (1+2+3+...+n) usando la demostración por inducción. Se establece la base de inducción para n=1 y se asume la hipótesis de inducción para un número natural k, demostrando que si la fórmula es verdadera para k, también lo es para k+1. El vídeo también ofrece recursos adicionales para entender la notación sigma y la factorización de polinomios, y termina con un ejercicio para practicar la demostración por inducción.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre una demostración matemática por inducción.
- 📘 Se busca demostrar que la suma de los primeros n números naturales es igual a n(n+1)/2.
- 🔢 Se utiliza la notación sigma (∑) para representar la suma de una serie.
- 📝 Se explica cómo se utiliza la notación sigma en la demostración.
- 👉 Se establece la base de inducción demostrando que la propiedad es cierta para n=1.
- 🔄 Se hace la hipótesis de inducción, suponiendo que la propiedad es cierta para algún número natural k.
- 🔄 Se demuestra que si la propiedad es cierta para k, entonces también lo es para k+1.
- 📚 Se utiliza la factorización por factor común para simplificar la demostración.
- 🔑 Se concluye que la propiedad se cumple para todos los números naturales, completando la demostración por inducción.
- 🎓 Se invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar sobre la suma de los cuadrados.
Q & A
¿Qué objetivo tiene el video de 'Mate Fácil'?
-El objetivo del video es demostrar por inducción que la suma de los números naturales desde 1 hasta n es igual a n(n+1)/2.
¿Qué es la demostración por inducción y cómo se utiliza en el video?
-La demostración por inducción es un método matemático que se utiliza para probar que una proposición es verdadera para todos los números naturales. Se utiliza en el video para probar la fórmula de la suma de los números naturales.
¿Cuáles son los dos pasos principales en una demostración por inducción?
-Los dos pasos principales son: establecer la base de inducción y establecer la hipótesis de inducción.
¿Qué significa 'base de inducción' y cómo se establece en el video?
-La base de inducción es el primer paso donde se demuestra que la propiedad es verdadera para el primer número natural, en este caso, n=1.
¿Qué es la 'hipótesis de inducción' y cómo se aplica en la demostración?
-La hipótesis de inducción es el supuesto de que la propiedad es verdadera para algún número natural k, y se utiliza para demostrar que entonces es verdadera para k+1.
¿Cómo se demuestra que la suma de los números desde 1 hasta n es igual a n(n+1)/2 usando inducción?
-Se comienza demostrando que es cierto para n=1. Luego, se asume que es cierto para algún n=k y se demuestra que también es cierto para n=k+1, lo que implica que es cierto para todos los números naturales.
¿Qué es la notación sigma y cómo se relaciona con la suma de series en el video?
-La notación sigma (∑) se utiliza para representar la suma de una serie, donde se suman todos los términos de una secuencia desde el primer término hasta el último. En el video, se relaciona con la suma de los números naturales de 1 a n.
¿Por qué es útil el uso de la notación sigma en matemáticas?
-La notación sigma es útil porque permite escribir de manera compacta y clara la suma de una serie de términos, facilitando la comprensión y el cálculo de la suma.
¿Qué es el factor común y cómo se utiliza en la demostración del video?
-El factor común es un término que aparece en cada uno de los miembros de una suma o producto. En la demostración, se utiliza para factorizar y simplificar la expresión que se obtiene al sumar los términos de la serie.
¿Cómo se demuestra que la propiedad es válida para todos los números naturales en la demostración por inducción?
-Se demuestra que la propiedad es válida para todos los números naturales al probar que si es válida para un número n, entonces también lo es para n+1. Esto se hace demostrando la base de inducción y la hipótesis de inducción.
¿Qué es el ejercicio propuesto al final del video para practicar la demostración por inducción?
-El ejercicio propuesto es demostrar por inducción que la suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n sigue la misma técnica y pasos que la demostración presentada en el video.
Outlines
🔢 Demostración de la suma de números naturales
Este primer párrafo del video presenta una demostración matemática por inducción para probar que la suma de los números naturales desde 1 hasta n es igual a n(n+1)/2. Se explica que para realizar una demostración por inducción es necesario seguir dos pasos: establecer la base de inducción (en este caso, probar que la propiedad se cumple para n=1) y luego establecer la hipótesis de inducción, suponiendo que la propiedad es válida para algún número natural k y probando que entonces se cumple para k+1. Se utiliza la notación sigma para representar la suma y se enfatiza en la importancia de comprender esta notación para seguir el video.
📘 Proceso de demostración por inducción
El segundo párrafo continúa con la demostración por inducción. Se explica que si asumimos que la propiedad se cumple para un número k, podemos demostrar que también se cumple para k+1. Se muestra el proceso de sustitución y simplificación algebraica para llegar a la conclusión. Se utiliza la factorización por factor común para simplificar la expresión y se llega a la conclusión de que la propiedad se cumple para todos los números naturales. El video ofrece un ejercicio similar para practicar y agradece a los miembros y patrones por su apoyo al proyecto 'Matemáticas Fácil'.
Mindmap
Keywords
💡demostración por inducción
💡base de inducción
💡hipótesis de inducción
💡suma de números naturales
💡anotación sigma
💡factorización por factor común
💡número natural
💡suma de fracciones
💡trabajo algebraico
💡ejercicio de práctica
Highlights
Demostración por inducción para probar que la suma de los primeros n números naturales es igual a n * (n + 1) / 2.
Explicación de la notación sigma y cómo se utiliza en la sumatoria.
Se menciona que la propiedad se puede demostrar sin utilizar la notación sigma.
Pasos para realizar una demostración por inducción: establecer la base de inducción y la hipótesis de inducción.
La base de inducción se prueba para n = 1.
Se establece la hipótesis de inducción suponiendo que la propiedad es válida para algún número natural k.
Se demuestra que si la propiedad es válida para k, también lo es para k + 1.
Se explica cómo se utiliza la hipótesis de inducción para la demostración.
Se demuestra la igualdad al sumar hasta k + 1 utilizando la hipótesis de inducción.
Se utiliza la factorización por factor común para simplificar la expresión.
Se concluye que la propiedad se cumple para todo número natural debido a la demostración por inducción.
Se ofrece un ejercicio similar para practicar demostraciones por inducción con la suma de los cuadrados.
Agradecimiento a los miembros y patrones por su apoyo al proyecto 'Mate Fácil'.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a realizar la
siguiente demostración por inducción nos
pide demostrar que la suma 123 etcétera
hasta llegar a n es igual a n por n 1
entre 2 y que esto se cumple para
cualquier número natural n o sea para n
igual a 1 en igualados en igual a 3
etcétera esta misma expresión se puede
escribir también utilizando la anotación
sigma o de sumatoria en este caso
quedaría escrito de esta manera la suma
desde k igual a uno hasta n de k esto
quiere decir que a empieza en 1 y
termina en n y se van sumando entonces
al sustituir cada igual a 1 obtenemos el
primer término luego le sumamos el
término que se obtiene al sustituir acá
igual a 2
luego le sumamos el término que se
obtiene al sustituir cada igual a 3
etcétera si tienen dudas con respecto a
cómo se utiliza la notación sigma tengo
varios vídeos en mi canal donde explico
esto les voy a dejar en la descripción
el enlace donde pueden ver las
propiedades y cómo se utiliza la
anotación de sumatoria o anotación sigma
pero bueno en este vídeo yo voy a
demostrar que esta propiedad utilizando
lo de esta manera
es decir sin anotación sigma aunque es
básicamente lo mismo pero nos va a
resultar más fácil hacer la demostración
si lo escribimos así directamente ahora
para realizar una demostración por
inducción hay que tomar en cuenta que
debemos seguir dos pasos que son muy
sencillos el primer paso es establecer
la base de inducción la base de
inducción consiste en demostrar que la
propiedad se cumple para el primer
número natural que estemos considerando
en este caso nos dice que es para todos
los naturales así que hay que empezar
con el primer número natural que es el 1
en algunas otras ocasiones puede ser que
en la propiedad nos digan que empieza a
partir de un específico número natural
por ejemplo que nos diga n mayor o igual
que díaz quería decir que del 10 en
adelante y entonces la base de inducción
sería demostrarlo para el 10 primero
pero bueno en este caso hay que
demostrarlo para n igual a 1 que es el
primer número natural entonces lo que
debemos hacer
sustituirán e igual a 1 tanto a la
izquierda como a la derecha de la
igualdad y ver que llegamos al mismo
resultado o sea que si son iguales las
expresiones del lado izquierdo vean que
simplemente nos quedaríamos con el
primer número que es el 1 directamente
si n vale 1 nada nos quedamos con el 1 y
n vale 2 entonces es uno más dos si n
vale tres es uno más dos más tres y así
hasta llegar al n que estemos
considerando para en igual a uno
directamente tomamos el uno y del lado
derecho sustituimos n igual a uno en la
expresión con lo cual obtenemos uno por
uno más uno entre dos hay que hacer las
operaciones uno más uno es 2 2 por unas
2 entre 2 nos da 1 vemos que en ambos
lados entonces obtuvimos un 1
aquí el lado izquierdo tenemos este 1 y
del lado derecho esta expresión que es
lo mismo que el 1 entonces la igualdad
se cumple ahí tenemos entonces
establecida nuestra base de inducción ya
demostramos que se cumple para el primer
número natural y ahora la siguiente
parte que es establecer nuestra
hipótesis de inducción esto consiste en
suponer que la propiedad que queremos
demostrar es válida para algún número
natural
el cual vamos a representar simplemente
como ka es decir k podría ser por
ejemplo 20 y estamos demostrando que la
igualdad se cumple para el 20 entonces
para no especificar un valor
tenemos que hacerlo para un número que
que puede ser cualquier número natural
así que sustituyendo aquí en e igual acá
obtenemos esta expresión simplemente
estamos sustituyendo aquí en lugar de la
n el acá y aquí también
esto de aquí lo vamos a suponer que es
cierto y entonces a partir de suponer
esto debemos demostrar que será cierto
para el siguiente número natural es
decir que si fuera cierto para n igual a
20 entonces estaremos demostrando que es
cierto para n igual a 21
de esta manera nosotros estamos
demostrando que la propiedad es válida
para todos los naturales porque ya
demostramos que fue cierta para n igual
a 1 entonces al demostrar que se taparan
igual a 1 si demostramos que cierta para
el siguiente puesto es también será
cierta para en igualados pero como
también es cierta para en igualados
entonces será también cierta para en e
igual a 3 vemos que se va siguiendo una
una sucesión con la cual abarcamos todos
los números naturales por eso es
importante este paso suponer que es
cierta pagan igual acá nos lleva a que
sea cierta igual a que sea cierta para
en e igual acá más 1
es como una cadenita bueno entonces
vamos a demostrar esto ahora
cuando nosotros empezamos a hacer
demostraciones por inducción es bastante
útil escribir qué expresión es lo que
nosotros queremos demostrar es decir
queremos demostrar que es cierto para el
igual acá más 1 que significa esto bueno
pues significa que si nosotros hacemos
esta suma hasta acá más 1 obtenemos esta
expresión queremos demostrar que esto va
a ser igual a esta expresión de aquí
pero para acá más uno o sea que en lugar
de cada acá
sustituimos acá más uno entre paréntesis
entonces está acá se convierte en camas
uno está acá se convierten en camas uno
aunque aquí por supuesto podemos reducir
términos que más uno más uno es lo mismo
que acá más dos tenemos escribirlo así
que nos resulta más cómodo
esto es lo que nosotros queremos
demostrar y aquí ahora vamos a hacer la
demostración podemos partir del lado
izquierdo o del lado derecho y tenemos
que llegar pues al otro lado si partimos
el izquierdo tenemos que llegar al
derecho es lo más usual pero a veces
conviene tomar el lado derecho y llegar
al izquierdo bueno vamos a empezar
entonces con el lado izquierdo es decir
empezamos con esto de aquí y queremos
llegar a esta fórmula
aquí es donde vamos a utilizar lo que
estamos suponiendo como cierto estamos
suponiendo que esto se cumple observen
que en esta suma aquí justamente aparece
esta parte de aquí 1 + 2 hasta acá o sea
aquí está uno + 2 hasta acá entonces
todo esto de aquí lo podemos sustituir
por lo que estamos suponiendo que es
igual acá porque más 1 entre 2 lo
sustituimos entonces y obtenemos este
término más el otro que todavía no le
hemos hecho nada allí simplemente lo
estamos pasando y ahora vamos a hacer
esta suma de expresión es para eso
simplemente multiplicamos por 2 y
entonces ya lo tenemos va a quedar cap
que más uno más camas 1 por 2 o sea 2
porque más 1 entre el 2 nada más estamos
haciendo una suma de fracciones
ahora observen que en esta expresión
tenemos como factor común
1 entonces lo podemos factorizar el k
más uno queda aquí factor izado y entre
paréntesis colocamos lo que multiplicaba
acá más uno que es éste acá más este 23
es k más 2
esto es factorización por factor común
si esta parte les se les complica
entonces pueden desarrollar las
multiplicaciones y luego factorizar el
trinomio que les queda tengo videos
también sobre factorización tanto por
factor común como factorización de
trinomios también es voy a dejar en la
descripción el enlace a la lista de
reproducción donde pueden repasar ese
tema entonces observen a lo que llegamos
una vez que hemos hecho la factorización
llegamos precisamente a lo que queríamos
demostrar y entonces así hemos terminado
con esto ya podemos nosotros concluir
que para todo número natural se cumple
esta igualdad porque ya demostramos que
se cumple para el 1 y ya demostramos que
si se cumple para acá entonces también
se va a cumplir para acá más 1 por lo
tanto como se cumple para el 1 se va a
cumplir para el siguiente que es el 2
pero como se cumple para el 2 times' a
cumplir para el siguiente que es el 3 y
así siguiendo toda la sucesión pues se
va a cumplir para todos los naturales
bueno ahora les dejo a ustedes un
ejercicio muy similar hay que demostrar
por inducción ahora esta igualdad que es
la suma de los cuadrados tienen que
seguir básicamente los mismos pasos pero
es un ejercicio que les va a servir para
practicar este tipo de demostración que
es muy importante en el siguiente vídeo
les voy a mostrar paso a paso cómo se
realiza esta demostración quiero
agradecer infinitamente a todos los
miembros y patrones de este mes que con
su apoyo hacen posible que el proyecto
mate fácil siga adelante muchas gracias
a todos ustedes
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