Límites por racionalización 1
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Hola a todos Espero se encuentren bien
en esta ocasión estaremos abordando un
ejercicio sobre límites que puede ser
resuelto mediante la técnica de
racionalización el ejercicio dice lo
siguiente calcule el límite cuando Z
tiende a 2 de la función 3z - 6 sobre 1
- ra cu de 4z - 7 para ello recordemos
que lo primero que debemos hacer es
evaluar el límite para ver si
corresponde a un límite directo o si
presenta alguna forma indeterminada para
ello pues basta con tomar el valor al
cual tiende la variable y sustituirlo
acá en la función en este caso si
hacemos pues esa evaluación observen que
sería 3 * 2 - 6 Pero bueno 3 * 2 -6 nos
estaría dando eh cer0 en el numerador y
para el denominador tendríamos 1 - 4
Perdón 1 - la ra 4 * 2 - 7 Pero bueno 4
* 2 aquí nos estaría dando 8 a 8 le
restamos si y quedamos en uno por lo
tanto tendríamos que sería la raíz
cuadrada de 1 que da 1 y 1 - 1 Pues
también nos estaría dando cer entonces
vean que estamos en el caso de la forma
indeterminada
0 entre c0 recordemos que pues esta es
una de las
formas que se puede presentar en en un
límite ahora qué podemos hacer para
resolver este límite Bueno lo que
podríamos hacer para resolver este
límite es aplicar precisamente la
técnica de racionalización porque
pensamos en racionalización bueno porque
tenemos en la función una raíz verdad
tenemos ese elemento que es la raíz y
precisamente la racionalización Pues nos
ayudaba en ese tipo de ejercicios donde
aparecían raíces Entonces vamos a
aplicar esa idea de de racionalización
por acá vamos a copiar Entonces el
ejercicio que es límite cuando Z tiende
a 2 y vean que la función que nos
brindan es 3z - 6 y 1 menos la
raíz de 4 Z
- Qué vamos a hacer entonces Bueno vamos
a aplicar Ahora sí la técnica de
racionalización vamos a racionalizar el
denominador que es donde tenemos la raíz
para ello Recuerden que como es una raíz
cuadrada vamos a
aplicar el conjugado es decir el mismo
término pero cambiando el signo que
separa los elementos Entonces vamos a
multiplicar por esta misma
expresión pero en lugar de poner un
menos
separándolas pues ahora va a ser un más
Esa es la técnica que vamos a aplicar en
este ejercicio que es la técnica de
racionalización para qué hacemos Esto
bueno vean que ya acá caemos en un
ejercicio que se va mucho a lo a lo
algebraico verdad Tenemos que trabajar
este límite algebraicamente Entonces
vamos a realizar esa multiplicación de
fracciones observen que si hacemos esa
multiplicación de
fracciones en el numerador nos estaré
quedando 3 Z -
6 multiplicado por toda esta expresión
que ya habíamos dicho pero en lugar del
menos ya habíamos dicho que era el más
entonces esa sería el numerador de
nuestra nueva fracción y Quién sería el
denominador bueno el denominador sería
este paréntesis esta
expresión que corresponde a este
denominador multiplicada con esta
expresión que vean que es exactamente la
misma idea solamente que pues en lugar
de tener un menos tenemos un más
entonces eso es lo que tenemos hasta el
momento ya tenemos el numerador y el
denominador de de esta nueva fracción
qué podemos hacer En este punto bueno
observemos que este denominador si
nosotros quisiéramos
desarrollarlo corresponde a una
diferencia de
cuadrados Okay entonces por ahí nos
vamos a ir una diferencia de cuadrados
porque
Recuerden que cuando nosotros teníamos
de materia de precálculo a + b * a - b
eso podíamos abordarlo y resolverlo como
a a la 2 - B a la 2 y es que eso es lo
que tenemos acá tenemos un paréntesis
con menos y un paréntesis con más
entonces identifiquemos quién es a Y
quién es B bueno en este caso vean que
este uno sería nuestro a y est la raíz
sería nuestro B eso es lo que tenemos
que identificar por el momento Entonces
qué Vamos a hacer en el siguiente paso
Bueno vamos a mantener nuestro
límite vamos a mantener nuestro
numerador igual a ese no le vamos a
aplicar ningún cambio y lo que vamos a
hacer es aplicarle la fórmula notable a
este denominador Pero bueno aplicarle la
fórmula notable a ese denominador es
Elevar al cuadrado de a pero Elevar
cuadrado del a sería Elevar al cuadrado
del 1 o sea nos da
uno menos por la fórmula de diferencia
de cuadrados y dice que elevemos al
cuadrado el B pero ya habíamos dicho que
el B elevado al cuadrado es la raíz Pero
bueno qué pasaba cuando
4 Z - 7 Y acá mucho cuidado con el
paréntesis Por qué ponemos paréntesis
bueno porque hay un menos delante y es
que recordemos que un menos delante de
una
expresión afecta los signos de todo lo
que viene de ahí en adelante entonces
claro todo este paréntesis se va a ver
afectado por culpa de este menos en este
sentido si hacemos el cambio de signos
vean que por acá el 4z estaba positivo
Ahora nos va a quedar
negativo y por
acá el
-7 Pues nos va a pasar a algo positivo
verdad Entonces nos va a quedar como un
+ 7 si nosotros hacemos esta operación
que tenemos por
acá vean Entonces a lo que estaremos
llegando de hecho vamos a copiar este
mismo y solo Vamos a trabajar con el
denominador si trabajamos con el
denominador observen que sería términos
semejantes 1 + 7 Pues eso nos daría 8 y
el -4 Z lo dejamos quietecito por ahí
Entonces estamos llegando a - 4z + 8 sin
embargo aquí todavía se sigue
presentando la forma indeterminada y
claro no hemos eliminado el término que
hace que esto pues se nos
indina Entonces tenemos que ver si es
posible aplicar alguna factorización
alguno de estos paréntesis es que bueno
si ustedes se fijan es posible aplicar
factorización al primer paréntesis que
tenemos en el numerador que corresponde
es por qué Porque Qué tienen a factor
común esos dos términos tienen un tres a
factor
común si sacamos el TR a factor común
Entonces nos estaría quedando Z verdad
de acá sacamos el TR y de acá sacamos el
TR y nos estaría quedando un
-2 y de la misma manera podríamos
aplicar un factor común al denominador
porque vean que ambos números Eh pues
presentan un factor común que
corresponde a cuatro entonces podemos
sacar ese factor común y además para que
los signos vayan coincidiendo con esto
En lugar de sacar un cuarto factor común
Podríamos sacar un
-4 Por qué bueno Porque si yo quito el
-4 de acá si lo sacamos a factor común
vean que nos quedaría Z Y si saco de acá
un
-4 pues entonces vean que nos quedaría
-2 y vean ahí donde se nos
da los paréntesis iguales entonces
cancelamos y ahí nos estamos deshaciendo
Entonces de esa forma indeterminada Qué
nos está quedando en este punto entonces
Bueno nos está quedando límite cuando Z
tiende a 2 d y en el numerador nos está
quedando 3 multiplicado por y vean que
nos queda todo este paréntesis igual a
ese no le estamos haciendo ningún ningún
cambio y que nos estaría quedando en el
denominador bueno vean que en el
denominador nos estaría quedando
solamente
un
-4 entonces en el momento en que usted
realiza esta
cancelación puedes evaluar nuevamente el
límite a ver si ya ahora sí pues te da
un resultado específico puede ser que en
algunos casos no baste con con hacer una
cancelación sino que tal vez tenemos que
hacer una segunda cancelación Pero bueno
por es es ir es importante ir evaluando
los límites Entonces si nosotros acá
hacemos la evaluación vean que nos queda
ahí 3 multiplicado por 1 más la raíz de
4 y sustituyo a la z por 2 y le resto
7 sobre
-4 Pero bueno vean que esta raíz en
particular sería la raíz de 8 - 7 que es
1 o sea la raíz de 1 pero la raíz de 1
ya sabemos que da 2 Entonces esto sería
Perdón un más bien estaba pensando en el
resultado de la suma entonces 1 más y la
raíz de de 1 da
1 y por acá tenemos el -4 entonces vean
que puesde aquí queda meramente algo
numérico que sería por cierto 3 * 2
Entre -4 podemos aplicar ahí una
simplificación Mitad y Mitad y y
llegamos a que el resultado entonces de
este límite corresponde a -3 Med de esta
manera entonces podemos asegurar que
cuando la variable
Z tiende a 2 esta función se va
acercando cada vez más a este valor de
-3 Med
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