44. Integral de una función trigonométrica elevada a exponente (completando derivada)

MateFacil

26 Oct 201506:04

Summary

TLDREn este vídeo de matemáticas, se explica cómo resolver una integral del tipo coseno de 4x elevado a un exponente. El presentador utiliza la fórmula de 'b a la n por d b' para abordar la integral, detallando cada paso del proceso, incluyendo la derivación de términos trigonométricos. Se subraya la importancia de organizar los términos y usar correctamente los coeficientes agregados. Al final, se invita a los espectadores a intentar resolver una integral similar por su cuenta y se les anima a suscribirse para más contenido educativo.

Takeaways

📐 La integral a resolver es el coseno de 4x por seno de 4x elevado al cubo.
🔄 No se debe intentar integrar directamente como una función de coseno o seno, ya que el exponente complica el proceso.
📏 Al trabajar con expresiones elevadas a un exponente, es útil aplicar la fórmula de potencia b^n * db.
📉 En este caso, b será 1 - seno de 4x, y se debe derivar esta expresión para aplicar la fórmula.
🔧 La derivada de 1 - seno de 4x es -4 * coseno de 4x.
🔍 Para que la integral sea correcta, se debe incluir el factor de -4 dentro de la integral, ya que es parte de la derivada.
📊 Al agregar términos dentro de la integral, se deben compensar fuera de la integral para no alterar la expresión original.
➗ Tras realizar los ajustes, se obtiene la integral inicial con el factor 1/4 fuera de la integral.
📈 Al aplicar la fórmula, el resultado final es (1 - seno de 4x)^4 / 16 más la constante de integración.
💡 Se recomienda que los espectadores practiquen otra integral similar, aplicando los mismos principios para mejorar su comprensión.

Q & A

¿Cuál es la integral que se resuelve en el video?
-La integral que se resuelve es la integral de coseno de 4x por 10 de 4x elevado al cubo por dx.
¿Por qué no se puede resolver la integral directamente como una integral de coseno o seno?
-No se puede resolver directamente como una integral de coseno o seno porque la expresión está elevada a un exponente, lo que requiere el uso de la fórmula de b^n y su derivada, en lugar de una simple integración de funciones trigonométricas.
¿Qué indica la fórmula b^n db?
-La fórmula b^n db se utiliza para resolver integrales en las que una función está elevada a una potencia. En este caso, 'b' es la función dentro del paréntesis que está elevada al exponente, y 'db' es la derivada de esa función.
¿Cuál es la derivada de '1 - seno de 4x'?
-La derivada de '1 - seno de 4x' es -coseno de 4x por 4.
¿Cómo se reorganizan los términos para que la integral se ajuste a la fórmula?
-Se reorganizan los términos colocando primero la potencia, luego el coseno de 4x y el dx, lo que permite aplicar la fórmula b^n db correctamente. También se agregan un signo negativo y un factor de 4 para ajustar la derivada.
¿Qué se debe hacer al agregar términos adicionales dentro de la integral?
-Cuando se agregan términos adicionales dentro de la integral, como el -4, también deben sacarse fuera de la integral para no alterar la expresión original. En este caso, se agrega un -4 dentro y se saca dividiendo fuera de la integral como 1/4.
¿Qué sucede al multiplicar 1/4 por la fracción resultante de la integral?
-Al multiplicar 1/4 por la fracción resultante, se obtiene una fracción final donde el denominador se multiplica por 4, y el resultado final es 1 - seno de 4x elevado a la cuarta potencia, dividido por 16.
¿Cómo se simplifica el resultado de la integral?
-El resultado de la integral se simplifica multiplicando las fracciones, lo que da como resultado 1/16 de (1 - seno de 4x) elevado a la cuarta potencia, más una constante de integración.
¿Cuál es la importancia de incluir la constante de integración?
-La constante de integración es esencial en cualquier resultado de una integral indefinida, ya que representa cualquier posible valor constante que puede haber sido derivado en el proceso.
¿Qué se debe hacer con la segunda integral mencionada en el video?
-La segunda integral mencionada en el video se resuelve utilizando el mismo método de b^n db. En este caso, b es la raíz de x + 6, y se debe recordar que la derivada de la raíz cuadrada de x es 1 sobre 2 veces la raíz de x.

Outlines

00:00

📐 Introducción a la integral del coseno de 4x y senos elevados

El video comienza con una introducción a una integral que involucra coseno de 4x y senos elevados al cubo. El narrador destaca que, a primera vista, algunos podrían intentar resolverla como una integral simple de coseno o seno, pero debido a que la función está elevada a un exponente, se sugiere usar la fórmula de integrales para funciones elevadas a una potencia. Explica que la clave es identificar la expresión elevada al exponente y aplicar la fórmula 'b a la n de b'. A lo largo de la explicación, se deriva el seno de 4x para obtener coseno de 4x y proceder con la integración.

05:02

🔄 Ajustes en la integral y manipulación de términos

En este párrafo, el narrador detalla cómo ajustar la integral para que se adapte a la fórmula y explica la importancia de agregar y eliminar términos (como el 4 y el signo menos) dentro de la integral. Se enfatiza que cualquier valor agregado dentro de la integral debe ser compensado fuera de ella, dividiendo si se ha multiplicado previamente. Al final, se organiza la expresión adecuadamente y se llega a una versión manipulada de la integral original que ya puede resolverse usando la fórmula inicial.

🧮 Finalización de la integral y simplificación

El tercer párrafo continúa con la integración, aplicando la fórmula 'b a la n'. Se sustituyen valores y se simplifica la expresión. Se concluye que la integral original se resuelve sin necesidad de integrar el coseno o el seno directamente, destacando que la fórmula 'b a la n' era la adecuada. Finalmente, se menciona la constante de integración y se muestran los pasos de simplificación, llegando al resultado final de la integral.

📊 Nueva integral para resolver con raíz cuadrada

El narrador propone una nueva integral para que los espectadores intenten resolverla. Esta vez, la función a integrar involucra una raíz cuadrada de x más 6. Se menciona que, al igual que en el caso anterior, se debe aplicar la fórmula 'b a la n', y se ofrece una pista recordando que la derivada de la raíz cuadrada de x es 1 sobre dos veces la raíz de x. El narrador anima a los espectadores a resolverla por sí mismos y promete mostrar el procedimiento completo en el siguiente video.

Mindmap

Keywords

💡Integral

Una integral es una operación matemática que permite calcular el área bajo una curva o la acumulación de cantidades. En el video, se resuelve una integral de una función trigonométrica con un exponente, mostrando los pasos necesarios para obtener el resultado. La integral discutida es de la forma cos(4x) * sin^3(4x).

💡Coseno

El coseno es una función trigonométrica que se utiliza frecuentemente en cálculo e integrales. En el video, el coseno de 4x aparece dentro de la función que se va a integrar, lo que complica el proceso. Se explica cómo manejar esta función al estar multiplicada por otras expresiones.

💡Exponente

Un exponente indica cuántas veces se multiplica una base por sí misma. En el video, una de las funciones está elevada al cubo (exponente 3), lo que requiere el uso de la fórmula de la integral de una potencia, siendo un aspecto crucial para resolver la integral correctamente.

💡Derivada

La derivada mide el cambio de una función con respecto a una variable. En este caso, la derivada de la función seno de 4x se utiliza para simplificar la integral. El video recalca que la derivada del seno es el coseno, lo cual es fundamental para el desarrollo de la solución.

💡Fórmula de potencia

La fórmula de la integral de una potencia es clave en este video, ya que se emplea para resolver integrales donde la función está elevada a un exponente. La fórmula usada es ∫b^n * db = b^(n+1)/(n+1), la cual se aplica después de identificar adecuadamente la función base y su derivada.

💡Constante de integración

La constante de integración es un término necesario cuando se resuelven integrales indefinidas, ya que las integrales representan una familia de funciones. En el video, se menciona que al final del proceso se añade una constante de integración para completar la solución.

💡Multiplicación dentro de la integral

Durante la resolución de integrales, es común tener que reordenar o manipular términos para simplificar la integración. En el video, se explica cómo manejar la multiplicación de varios términos dentro de la integral y cómo reorganizar factores sin alterar el resultado.

💡Cambio de variable

El cambio de variable es una técnica usada en cálculo para simplificar una integral compleja. En este video, el cambio de variable implícito se da cuando se identifica una expresión elevada a un exponente y se busca su derivada correspondiente para facilitar la aplicación de la fórmula de la potencia.

💡Seno

El seno es otra función trigonométrica que aparece en la integral. En este caso, está dentro de la expresión 1 - seno(4x) elevada al cubo. La derivada del seno y su relación con el coseno es un paso clave en la resolución del problema.

💡Factorización

La factorización es el proceso de reescribir una expresión algebraica como un producto de factores más simples. En el video, se hace hincapié en cómo introducir y eliminar factores (como el 4 y el signo negativo) para mantener la integral sin alterar su valor original, una técnica útil en muchas integrales.

Highlights

Introducción a la integral de coseno de 4x por seno de 4x elevado al cubo.

Explicación sobre cómo identificar que la integral es del tipo 'b a la n' cuando una expresión completa está elevada a un exponente.

Consejo sobre evitar tratar de integrar directamente como una integral de coseno o seno.

Identificación de 'b' como lo que está dentro del paréntesis (1 - seno de 4x) y su derivada correspondiente.

Importancia de tener la derivada completa de 'b' en la integral para aplicar la fórmula correctamente.

Explicación de cómo acomodar términos para facilitar la aplicación de la fórmula, ajustando la integral según la necesidad.

Procedimiento detallado de cómo agregar y luego sacar términos adicionales de la integral (como el -4) para no alterar la expresión original.

Uso de la fórmula 'b a la n' para resolver la integral tras ajustar correctamente los términos de la expresión.

Multiplicación de fracciones resultantes y simplificación para obtener el resultado final de la integral.

Presentación del resultado final de la integral y explicación de por qué se utilizó la fórmula 'b a la n' en lugar de integrar coseno o seno directamente.

Explicación sobre cómo resolver una integral similar en la que la función está elevada a un exponente, utilizando la raíz de x + 6.

Recordatorio sobre la derivada de la raíz cuadrada y cómo aplicarla en el contexto de la integral dada.

Invitación a los espectadores a intentar resolver la integral presentada por su cuenta.

Sugerencia de verificar la respuesta en el próximo video, donde se mostrará el procedimiento completo.

Llamado a la acción: pedir a los espectadores que den like, comenten dudas o sugerencias y se suscriban para más contenido similar.