94. Ecuación del plano que contiene TRES PUNTOS

MateFacil

24 Sept 201911:24

Summary

TLDREn este vídeo de 'Mate, fácil', se aborda cómo obtener la ecuación general de un plano a partir de tres puntos no colineales. Se explica que estos puntos definen un único plano y se necesita un punto y un vector normal para su cálculo. A través de la visualización gráfica y la comprensión de la no colinealidad de los puntos, se demuestra la existencia de un solo plano. Seguidamente, se calcula el vector normal utilizando el producto cruz de los vectores formados por estos puntos. Finalmente, se utiliza la ecuación vectorial del plano para determinar la ecuación general, introduciendo un método vectorial y un enfoque algebraico que se profundizará en futuras sesiones.

Takeaways

📘 Para obtener la ecuación de un plano que pasa por tres puntos, se necesita un punto en el plano y un vector normal al plano.
📐 Los tres puntos dados pueden formar un único plano si no son colineales, lo cual se puede verificar geométricamente o mediante cálculos de ángulos o productos cruz.
🔵 Se puede elegir cualquiera de los tres puntos como punto en el plano para calcular la ecuación del plano.
🛠️ Para encontrar un vector normal, se calcula el producto cruz de dos vectores formados por los tres puntos no colineales.
✅ El producto cruz entre dos vectores que se forman con los puntos no colineales da como resultado un vector perpendicular al plano.
📊 El vector normal resultante del producto cruz se utiliza para la ecuación vectorial del plano, junto con un punto en el plano.
📌 La ecuación general del plano se obtiene resolviendo la igualdad del producto punto del vector normal y el vector que une un punto en el plano con un punto general.
🔄 Otros métodos para encontrar la ecuación de un plano incluyen el método algebraico de sustitución, que se explicará en un próximo vídeo.
👨‍🏫 El vídeo ofrece una guía paso a paso para resolver el ejercicio de forma interactiva, invitando a los espectadores a pausar y probar por sí mismos.
🔗 Se proporciona un enlace a la lista completa de cursos en la descripción del vídeo para aquellos que quieran aprender más sobre los conceptos explicados.

Q & A

¿Qué método se utiliza para encontrar la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos?
-Se utiliza el método vectorial, que implica formar vectores a partir de los puntos dados, calcular el producto cruz de estos vectores para obtener un vector normal al plano y luego utilizar este vector normal junto con las coordenadas de uno de los puntos para escribir la ecuación del plano.
¿Por qué es necesario un vector normal para encontrar la ecuación de un plano?
-Un vector normal es esencial para definir la ecuación de un plano porque indica la dirección perpendicular al plano. Esto permite expresar la ecuación del plano en términos de x, y y z, donde el vector normal (a, b, c) se utiliza en la fórmula general ax + by + cz = d.
¿Cómo se determina si tres puntos están en la misma recta y, por lo tanto, no definen un único plano?
-Se puede verificar si los tres puntos están en la misma recta calculando el producto cruz de los vectores formados por estos puntos. Si el producto cruz es cero, los puntos son colineales y, por lo tanto, no definen un único plano.
¿Cómo se calcula el vector que une dos puntos en un plano?
-Para calcular el vector que une dos puntos A y B con coordenadas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) respectivamente, se resta la posición de A de la posición de B: (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
¿Qué es el producto cruz y cómo se calcula?
-El producto cruz es una operación que se realiza en tres dimensiones y produce un vector perpendicular a los dos vectores operandos. Se calcula mediante el determinante de una matriz formada por los componentes de los vectores y las bases unitarias i, j, k.
¿Cómo se determina la ecuación vectorial de un plano?
-La ecuación vectorial de un plano se determina utilizando un punto en el plano (p0) y un vector normal (n). La ecuación general es n · (p - p0) = 0, donde p es un punto general en el plano, y la resta p - p0 da el vector desde p0 a p.
¿Cuál es la importancia de asegurarse de que los puntos no son colineales antes de calcular la ecuación del plano?
-Si los puntos son colineales, hay infinidad de planos que pueden pasar por ellos y no se puede definir una única ecuación de plano. Es crucial verificar que los puntos no son colineales para asegurar que existe un único plano que los contenga.
¿Qué alternativas hay al método vectorial para encontrar la ecuación de un plano?
-Otra alternativa es el método de sustitución, que implica sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general del plano ax + by + cz = d para resolver un sistema de ecuaciones lineales y encontrar los coeficientes a, b, c y d.
¿Cómo se puede verificar si un punto pertenece a un plano dado?
-Para verificar si un punto pertenece a un plano, se puede sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si la ecuación se evalúa a cero, el punto está en el plano.
¿Qué pasos se sugieren para resolver el ejercicio propuesto en el vídeo?
-Se sugiere que el espectador pause el vídeo, intente resolver el ejercicio utilizando los mismos pasos mostrados en el vídeo y luego verifique su resultado con la solución proporcionada.

Outlines

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📐 Introducción al cálculo de la ecuación de un plano

Este primer párrafo introduce el objetivo del vídeo, que es resolver un ejercicio sobre cómo obtener la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos distintos. Se explica que para obtener la ecuación de un plano se necesitan las coordenadas de un punto en el plano y un vector normal al plano. A partir de las coordenadas de tres puntos dados, se discute cómo determinar si estos puntos son co-lineales, es decir, si pertenecen a la misma recta, y por ende, si definen un único plano. Se utiliza una representación gráfica para visualizar los puntos y se explica que si los puntos no son co-lineales, entonces existe un único plano que los contiene. Finalmente, se menciona que se necesitará calcular un vector normal utilizando el producto cruz de dos vectores formados por los puntos dados.

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🔍 Procedimiento para calcular el vector normal y la ecuación del plano

En este segundo párrafo, se describe el proceso detallado para calcular el vector normal al plano utilizando el producto cruz de dos vectores que se forman a partir de los tres puntos dados. Se explica cómo se calculan estos vectores y se muestran los pasos matemáticos para obtener el producto cruz, que resulta en un vector perpendicular a ambos y, por lo tanto, normal al plano. A continuación, se utiliza la ecuación vectorial del plano con un punto dado y el vector normal calculado para derivar la ecuación general del plano. Se invita al espectador a intentar resolver un ejercicio similar y se ofrece una solución de ejemplo para verificar el resultado.

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📘 Alternativa al método vectorial: el método de sustitución

El tercer párrafo presenta un método alternativo para encontrar la ecuación de un plano, el cual es completamente algebraico y se basa en la sustitución de coordenadas en la ecuación general del plano. Se menciona que este método, que se explicará en detalle en el siguiente vídeo, es útil para aquellos que prefieren resolver sistemas de ecuaciones en lugar de utilizar el método vectorial. Además, se agradece a los donantes y se invita a los espectadores a apoyar el canal a través de diferentes plataformas.

Mindmap

Keywords

💡Plano

Un plano en matemáticas y geometría describe una superficie bidimensional en el espacio tridimensional. En el vídeo, el objetivo es encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos específicos. Esto es crucial para entender cómo los puntos en el espacio están relacionados y cómo se pueden usar para definir una superficie en el espacio tridimensional.

💡Punto

Un punto en geometría representa una ubicación exacta en el espacio tridimensional y se define por sus coordenadas (x, y, z). En el vídeo, se mencionan tres puntos específicos (A, B y C) que se utilizan para determinar la ecuación de un plano, mostrando cómo los puntos pueden ser la base para construir una superficie geométrica.

💡Vector

Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. En el vídeo, se usan vectores para construir el concepto de normalidad en un plano. Los vectores se forman al restar las coordenadas de dos puntos y se utilizan para calcular el vector normal al plano, que es esencial para encontrar la ecuación del plano.

💡Normal

Un vector normal a un plano es un vector que se encuentra perpendicular a la superficie del plano en cada punto. En el vídeo, se busca un vector normal utilizando el producto cruz de dos vectores que se forman a partir de los tres puntos dados. El vector normal es crucial para definir la orientación del plano en el espacio.

💡Producto Cruz

El producto cruz de dos vectores en el espacio tridimensional resulta en un nuevo vector que es perpendicular a ambos. En el vídeo, se usa el producto cruz para encontrar el vector normal al plano, que es esencial para determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados.

💡Co-lineales

Los puntos co-lineales son aquellos que se encuentran en la misma línea recta. En el vídeo, se discute la importancia de verificar si los puntos dados son co-lineales, ya que esto afecta la cantidad de planos que pueden pasar por esos puntos. Si los puntos no son co-lineales, entonces hay un único plano que los contiene.

💡Ecuación vectorial del plano

La ecuación vectorial del plano es una forma de expresar la relación entre un punto en el plano, un vector normal y un punto general en el espacio. En el vídeo, se usa esta ecuación para relacionar el punto general (x, y, z) con el vector normal y el punto dado (A), resultando en la ecuación general del plano.

💡Determinante

Un determinante es una cantidad que se calcula a partir de una matriz y que se usa en el cálculo del producto cruz de vectores. En el vídeo, se usa el determinante para calcular el producto cruz de los vectores que forman los puntos dados, lo cual es necesario para encontrar el vector normal al plano.

💡Método vectorial

El método vectorial es una técnica para encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos. En el vídeo, se explica este método paso a paso, que incluye la formación de vectores, el cálculo del producto cruz y la utilización de la ecuación vectorial del plano para encontrar la ecuación del plano.

💡Método de sustitución

El método de sustitución es una técnica alternativa para encontrar la ecuación de un plano, que implica sustituir las coordenadas de los puntos en una ecuación general del plano y resolver el sistema resultante para encontrar los coeficientes. Aunque no se explica en detalle en el vídeo, se menciona como una alternativa al método vectorial.

Highlights

Explicación del ejercicio de encontrar la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos.

Necesidad de un punto sobre el plano y un vector normal para calcular la ecuación de un plano.

Uso de las coordenadas de tres puntos sobre el plano para determinar si son co-lineales.

Visualización gráfica de los tres puntos para determinar si pertenecen a una misma recta.

Demostración geométrica de que los tres puntos no son co-lineales y por lo tanto definen un único plano.

Métodos para verificar si los puntos son co-lineales: ángulo de 180 grados, producto cruz cero, y verificación de paralelismo.

Selección de un punto sobre el plano y necesidad de encontrar un vector normal.

Formación de dos vectores a partir de los tres puntos para calcular un vector perpendicular al plano.

Cálculo del vector AB y AC para utilizar en el producto cruz.

Explicación del producto cruz de dos vectores para encontrar un vector normal al plano.

Cálculo del producto cruz y obtención del vector normal al plano.

Uso de la ecuación vectorial del plano con un punto y el vector normal para encontrar la ecuación del plano.

Cálculo del vector que une el punto general con el punto de partida y su producto punto con el vector normal.

Obtención de la ecuación general del plano que pasa por los tres puntos.

Invitación al público a resolver un ejercicio similar siguiendo los pasos mostrados.

Método vectorial para obtener la ecuación de un plano y su comparación con el método algebraico de sustitución.

Anuncio del próximo vídeo que explicará el método algebraico de sustitución para encontrar la ecuación de un plano.

Agradecimiento a los donantes y promoción de las formas de apoyo al canal.