Mecánica de fluidos | Ecuación de Bernoulli
Summary
TLDREn este vídeo, se explica cómo se deriva la ecuación de Bernoulli en la mecánica de fluidos. Se observa su aplicación en un flujo de fluido incompresible, como el agua, a través de un tubo con diámetros diferentes. Se aplica la ley de conservación de energía para demostrar que la suma de la energía cinética, potencial y el trabajo añadido al sistema se conservan. La ecuación resultante muestra que la presión, la energía potencial y la energía cinética están interrelacionadas y constantes a lo largo del flujo. Se discuten casos especiales, como cuando dos puntos del flujo tienen la misma velocidad o están a la misma altura, lo que implica diferencias en presión y velocidad.
Takeaways
- 📚 Se derivará la ecuación de Bernoulli en mecánica de fluidos.
- 💧 Se considera un flujo de fluido incompresible, como el agua, a través de una tubería con diámetros diferentes.
- 📉 Se asume que el fluido entra a cierta altura y sale a una altura más baja.
- 🔄 Se aplica la ley de conservación de energía, considerando energía cinética y potencial.
- ⚖️ El trabajo se expresa como la presión multiplicada por el volumen de fluido desplazado.
- 📉 La energía potencial se calcula como la masa multiplicada por la gravedad y la altura.
- 🚀 La energía cinética se define como un medio de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado.
- 🌐 Se establece que la presión, energía potencial y energía cinética son conservadas a lo largo del flujo.
- 🔢 La ecuación de Bernoulli se simplifica al eliminar el volumen, ya que el fluido es incompresible.
- 📝 Se describen casos especiales de la ecuación, como flujo a la misma altura o con diferentes velocidades y diámetros.
Q & A
¿Qué ecuación se deriva en el vídeo?
-Se deriva la ecuación de Bernoulli en mecánica de fluidos.
¿Qué suponen sobre el flujo de fluido que se considera en el vídeo?
-Suponen que el flujo de fluido es incompresible y que inicia a cierta altura sobre el piso con un diámetro menor a la salida final que está un poco más arriba.
¿Cuál es la relación entre los volúmenes de fluido que entran y salen del tubo?
-El volumen de fluido que entra y sale es el mismo debido a que el fluido es incompresible.
¿Cómo se define el trabajo en el contexto de la ecuación de Bernoulli?
-El trabajo se define como la presión multiplicada por el volumen de fluido que se mueve.
¿Qué conservan la ecuación de Bernoulli según el vídeo?
-La ecuación de Bernoulli conserva la energía cinética y potencial en todo el proceso del flujo de fluido.
¿Cómo se relaciona la presión con el área y la distancia recorrida en la ecuación de Bernoulli?
-La presión se relaciona con el área y la distancia recorrida como presión por el área por la distancia, que es igual al volumen de fluido que se mueve.
¿Qué implica la conservación de energía en la ecuación de Bernoulli?
-La conservación de energía implica que la suma de las energías potencial, cinética y el trabajo añadido al sistema se mantienen constantes a lo largo del flujo.
¿Cuál es la ecuación final que se obtiene después de aplicar la conservación de energía y eliminar el volumen?
-La ecuación final es P1 + ρgh1 + (1/2)ρv1^2 = P2 + ρgh2 + (1/2)ρv2, donde P es la presión, ρ es la densidad, g es la gravedad, h es la altura y v es la velocidad.
¿Qué ocurre con la presión cuando el flujo de fluido tiene la misma altura pero diferentes diámetros?
-Cuando el flujo está a la misma altura pero tiene diferentes diámetros, la presión en el punto de entrada es menor que la de salida, ya que la velocidad de entrada es mayor y esto disminuye la presión.
¿Cómo se relaciona la diferencia de presión con la diferencia de alturas en el flujo de fluido?
-La diferencia de presión es igual a la densidad multiplicada por la gravedad por la diferencia de alturas, lo que indica que cuanto mayor sea la diferencia de alturas, mayor será la diferencia de presión.
Outlines
🔍 Derivación de la ecuación de Bernoulli
En este segmento, se explica cómo se deriva la ecuación de Bernoulli en la mecánica de fluidos. Se considera un flujo de fluido, supuestamente agua, que entra a través de un tubo con un diámetro más chico y sale por uno más ancho, situado a una altura superior. Se asume que el fluido es incompresible y se aplica la ley de conservación de energía, lo que implica que tanto la energía cinética como la energía potencial deben conservarse. Se introduce la ecuación de Bernoulli en su forma más general, donde se equilibra la energía cinética, potencial y el trabajo realizado por la presión en ambos puntos del flujo. Se utilizan conceptos como el trabajo (presión por el volumen a través del cual actúa), la energía potencial (masa por gravedad por altura) y la energía cinética (medio de la masa por el cuadrado de la velocidad). Finalmente, se simplifica la ecuación utilizando la densidad del fluido y se obtiene la ecuación de Bernoulli que mantiene constante la suma de la presión, la energía potencial y la energía cinética por unidad de volumen a lo largo del flujo.
🌀 Casos especiales de la ecuación de Bernoulli
Este párrafo explora dos casos particulares de la ecuación de Bernoulli. El primero considera dos puntos en el flujo con la misma velocidad, lo que implica que la energía cinética no contribuye a la ecuación y se puede cancelar, dejando como resultado que la presión en un punto es igual a la presión en otro más la diferencia de energía potencial debido a la variación de altura. El segundo caso se enfoca en un flujo donde todos los puntos están a la misma altura, pero con diferentes diámetros y, por tanto, diferentes velocidades. Aquí, la energía potencial no juega un papel y la ecuación se reduce a la presión inicial más la diferencia de energía cinética (medio de la densidad por la diferencia de los cuadrados de las velocidades). Esto demuestra que al aumentar la velocidad del flujo, la presión disminuye, un concepto fundamental en la dinámica de fluidos.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación de Bernoulli
💡Flujo de fluido
💡Incomprensible
💡Conservación de energía
💡Trabajo
💡Presión
💡Área transversal
💡Velocidad
💡Altura
💡Densidad
Highlights
Se derivará la ecuación de Bernoulli en mecánica de fluidos.
Considerará un flujo de fluido incompresible, como el agua, con variación de diámetro.
Aplicará la ley de conservación de energía para el flujo de fluido.
Se definirá el trabajo añadido al sistema como presión por área multiplicada por distancia.
Se relacionará la energía potencial con la masa, gravedad y altura.
Se establecerá la relación entre energía cinética y masa, velocidad al cuadrado.
Se sustituirá la masa por densidad multiplicada por volumen en la ecuación.
Se eliminará el volumen de la ecuación debido a la incompressibilidad del fluido.
Se presentará la ecuación de Bernoulli que mantiene la suma de energías constantes.
Se discutirá la implicación de la ecuación de Bernoulli para inferir características del flujo en puntos distintos.
Se analizará el caso especial de dos puntos con la misma velocidad.
Se deducirá que la presión en puntos de diferente altura varía según la densidad y diferencia de alturas.
Se explorará el caso en que todo el flujo está a la misma altura con diferentes diámetros.
Se explicará cómo la incrementación de la velocidad disminuye la presión en el flujo.
Se relacionará la presión con la velocidad en el flujo a través de la ecuación de Bernoulli.
Transcripts
en este vídeo vamos a derivar la
ecuación de bernouilli en mecánica de
fluidos y vamos a observar sus
implicaciones para esto vamos a
considerar un flujo el cual inicia a
cierta altura sobre el piso con un
diámetro menor a la salida final que
está un poco más arriba y vamos a
suponer que entra un flujo de fluido
supongamos que es agua como el fluido es
incompresible entonces al entrar este
flujo va a desplazar un volumen hacia la
derecha y se va a desplazar una
distancia en el tie x1 para el flujo
entrante y delta x2 para el flujo de
salida cada uno de esos volúmenes se van
a mover a cierta velocidad v1 y v2 y
como se menciona anteriormente tienen
cierta altura h1 h2 lo que vamos a hacer
a continuación es aplicar la ley de
conservación de energía en todo este
proceso tiene que haber conservación
tanto de energía cinética como potencial
entonces vamos a escribir la siguiente
ecuación donde la suma de las energías
se va a conservar el término wv
significa el trabajo el trabajo añadido
al sistema
en este caso por el flujo de entrada le
llamaremos w uno más la energía
potencial del volumen de entrada manda
energía cinética en esta región va a ser
igual al trabajo de salida más la
energía potencial en el punto de salida
más la energía cinética
recordemos que el trabajo es igual a la
fuerza por la distancia recorrida como
estamos manejando fluidos es común que
la fuerza le expresamos como la presión
que hay multiplicada por el área sobre
la cual se ejerce esta presión ahora
vamos a notar lo siguiente tenemos
presión por área por delta x que es la
distancia vamos a considerar algunos de
los dos cilindros correspondientes a los
volúmenes de flujo de entrada y de
salida y si vemos el área de la base de
los cilindros corresponde al área de la
sección transversal del tubo que lleva
el flujo en cada uno de los casos y la
altura del cilindro corresponde a la
distancia que recorre cada uno de estos
volúmenes entonces área por delta x es
igual al volumen de fluido que se mueve
entonces el trabajo lo podemos poner
como
presión en esa región multiplicada por
el volumen la energía potencial es igual
a la masa por la gravedad por la altura
y la energía cinética es igual a un
medio de la masa por la velocidad al
cuadrado eso queda igual y entonces
podemos sustituir en la ecuación y nos
va a quedar como sigue la presión en el
punto 1 multiplicada por ese volumen de
fluido más la masa por la gravedad por
la altura 1 la masa sería la masa del
volumen de fluido más un medio de la
masa por la velocidad al cuadrado va a
ser igual a la presión en el área 2 por
el volumen el volumen es igual
recordemos que el fluido es
incompresible entonces el volumen 1 es
igual al volumen 2 simplemente lo
ponemos a su vez más la masa por la
gravedad por la altura 2 más un medio de
la masa por la segunda velocidad al
cuadrado ahora vamos a hacer lo que
sigue recordemos que la densidad es
igual a la masa entre el volumen y por
lo tanto la masa es igual a densidad por
volumen entonces en vez de expresar la
masa de cada uno de los volúmenes de
fluido directamente lo vamos a hacer
como la densidad del fluido por el
volumen
y ahora como tenemos el volumen
multiplicando en todos los términos de
la ecuación lo podemos eliminar lo que
nos queda a continuación es la ecuación
de bernouilli que lo que nos dice es que
la presión en algún punto más la
densidad del fluido por gravedad por la
altura en ese punto más un medio de la
densidad por la velocidad al cuadrado va
a ser constante a lo largo de todo el
flujo ya que si tomamos un punto 1 y
hacemos la suma de estas cantidades va a
ser exactamente igual que si tomamos
otro punto donde la presión es distinta
a la altura distinta y la velocidad es
distinta de esta forma si conocemos las
características del flujo en un punto de
este podemos inferir por ejemplo la
presión o la velocidad en algún otro
punto dos casos especiales de la
ecuación de bernouilli son los
siguientes el primero en el cual tomamos
dos puntos en un flujo los cuales tienen
la misma velocidad de la figura vemos
que si tomamos el inicio y el final de
este flujo como las áreas son iguales y
recordando que área 1 velocidad uno es
igual área 2 velocidad
y las velocidades también deben ser
iguales esto quiere decir que el tercer
término a ambos lados de la igualdad es
igual y entonces lo podemos cancelar nos
queda como sigue si pasamos la densidad
por gravedad por altura 1 restando a la
derecha nos va a quedar la siguiente
expresión que nos dice que la presión en
el primer punto es igual a la presión en
el segundo punto más la densidad por la
gravedad por la diferencia de alturas es
decir la presión 1 la presión que va a
estar a la izquierda en la entrada del
flujo va a ser mayor que la presión 2
que tan mayor pues va a ir acorde a la
densidad por gravedad por la diferencia
en la altura entre más diferentes sean
las alturas mayor será la diferencia de
presión otro caso especial es cuando
todo el flujo está a la misma altura
pero tenemos diámetros diferentes y por
lo tanto va a haber velocidades
diferentes en este caso el segundo
término de la ecuación se cancela y nos
queda como sigue
pasamos restando el segundo término de
la izquierda a la derecha y nos queda
que la presión 1 es igual a la presión 2
más un medio de la densidad multiplicado
por la diferencia de los cuadrados de
las velocidades
qué implica esto si observamos la figura
vemos que el área de entrada es mucho
más pequeña que el área de salida esto
por la fórmula de área 1 velocidad uno
es igual área 2 velocidad 2 nos dice que
la velocidad de entrada en este flujo va
a ser mucho mayor que la de salida
entonces quedaría esto con la ecuación
como la velocidad 1 es mayor el término
en el paréntesis sería negativo eso
haría que la presión 1 fuera igual a la
presión 2 menos un factor es decir la
presión 1 es menor que la presión 2 como
podemos ver entonces en la imagen lo que
la ecuación nos dice es que si
incrementamos la velocidad del flujo va
a disminuir nos la presión
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