TEOREMA fundamental del ÁLGEBRA | Comprobando con un EJEMPLO

Summary

Este vídeo explica el Teorema Fundamental del Álgebra, que asegura que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos. Se utiliza el ejemplo de un polinomio de grado 3 para demostrar cómo encontrar sus tres raíces. Seguidamente, se busca los divisores de los coeficientes y se aplica el método de Ruffini para identificar las raíces. El proceso resulta en tres raíces: 1, -3 y 1/2, mostrando que al reemplazar estas valores en el polinomio, este se anula.

Takeaways

• 📚 El teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos, incluyendo multiplicidad.
• 🔢 Se considera un polinomio general de grado n si cada término tiene exponentes descendiendo de n a 0, y los coeficientes varían de a0 a an.
• 🔍 Para encontrar las raíces de un polinomio, primero se identifican los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado.
• 🤔 Se sugiere buscar posibles raíces considerando las divisiones de los coeficientes y el término independiente, tanto en forma positiva como negativa.
• 📉 Se utiliza el método de Ruffini para probar las posibles raíces, reduciendo el polinomio y verificando si el resultado es cero.
• ✅ Se confirma que el 1 es una raíz del polinomio dado, ya que al reemplazarlo en el polinomio se obtiene un resultado de cero.
• ➗ Al encontrar una raíz, el grado del polinomio disminuye, lo que simplifica el proceso para encontrar las demás raíces.
• 🔄 Una vez que se encuentra una raíz, se utiliza para dividir el polinomio original y obtener uno de menor grado, facilitando la búsqueda de la siguiente raíz.
• 📉 El proceso se repite hasta encontrar todas las raíces, que son los valores que hacen que el polinomio sea cero cuando se les sustituye a x.
• 📌 Al final, se listan las raíces del polinomio como x = 1, x = -3 y x = 1/2, demostrando que son los ceros del polinomio.

Q & A

¿Qué es el teorema fundamental del álgebra?

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces o ceros en los números complejos, incluyendo las raíces repetidas.

¿Cómo se define un polinomio general en términos de su grado y coeficientes?

Un polinomio general se define por su grado, que es el exponente de la variable x en el término de mayor grado, y por sus coeficientes, que son los números que multiplican cada término del polinomio.

¿Cuál es la relación entre el grado de un polinomio y el número de raíces que puede tener?

El grado de un polinomio indica el número máximo de raíces que puede tener, es decir, un polinomio de grado n puede tener hasta n raíces en el conjunto de los números complejos.

¿Cómo se identifican los posibles divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado en un polinomio?

Los posibles divisores se identifican buscando los números que dividen al término independiente y al coeficiente del término de mayor grado del polinomio. Estos divisores pueden ser positivos o negativos.

¿Qué método se utiliza para encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 en el ejemplo del video?

Se utiliza el método de los posibles divisores, donde se consideran las divisiones de los coeficientes del término independiente y del término de mayor grado, y se evalúan en el polinomio para verificar si son raíces.

¿Qué significa que un número sea una raíz de un polinomio?

Un número es una raíz de un polinomio si, al sustituirlo en el polinomio, el resultado es cero. Esto indica que el polinomio se anula en ese punto.

¿Cómo se aplica el método de Ruffini para reducir el grado de un polinomio una vez que se ha encontrado una raíz?

El método de Ruffini implica dividir el polinomio original por el polinomio que resulta de la fórmula (x - raíz encontrada), lo que reduce el grado del polinomio y facilita encontrar las demás raíces.

¿Cuál es la importancia de reducir el grado de un polinomio tras encontrar una de sus raíces?

Reducir el grado de un polinomio tras encontrar una raíz es importante porque simplifica el proceso de encontrar las demás raíces restantes, ya que se trabaja con un polinomio de menor grado.

¿Cómo se determina si un número es una raíz del polinomio utilizando el método de Ruffini?

Se determina si un número es una raíz del polinomio sustituyéndolo en el polinomio y viendo si el resultado es cero. Si lo es, el número es una raíz; si no, no lo es.

¿Qué sucede cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio?

Cuando se han encontrado todas las raíces de un polinomio, se pueden escribir en la forma de factores del polinomio, lo que permite representar el polinomio como el producto de sus factores correspondientes a cada raíz.