Déterminer la forme canonique d'une expression du second degré (1) - Première
Summary
TLDRDans cette vidéo, on apprend à écrire une expression du second degré sous sa forme canonique. L'exercice est essentiel car il aide à résoudre des problèmes courants comme l'étude des fonctions du second degré. L'enseignant explique en détail comment déterminer les valeurs de a, alpha et bêta en utilisant des techniques simples, sans se fier aux formules souvent oubliées. En factorisant et en utilisant les identités remarquables, l'expression peut être réécrite sous forme canonique. Cette méthode est expliquée étape par étape avec des astuces pratiques pour mieux comprendre et retenir la technique.
Takeaways
- 📚 L'expression du second degré doit souvent être écrite sous sa forme canonique, ce qui est crucial pour l'étude des fonctions du second degré.
- 🔢 La forme canonique d'un trinôme est : a(x - alpha)^2 + bêta.
- 🔍 Il existe des formules pour trouver directement alpha et bêta, mais la méthode technique est plus durable car on l'oublie moins facilement.
- 🧮 La première étape consiste à identifier 'a', qui est toujours le coefficient du terme x^2 dans l'expression de départ.
- ✂️ Il est recommandé de factoriser uniquement le début de l'expression, c'est-à-dire les termes avec x, pour éviter d'introduire des fractions.
- 🤓 Utiliser l'identité remarquable (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 pour transformer l'expression.
- 📐 Le terme manquant b^2 doit être introduit pour compléter l'identité remarquable, puis supprimé pour maintenir l'égalité.
- 🔄 En factorisant la partie obtenue, on peut arriver à l'expression sous forme (x - 3)^2 - 9, en gardant le facteur 2 à l'extérieur.
- 📊 La dernière étape consiste à distribuer le facteur 2 et simplifier les termes constants pour obtenir la forme canonique finale.
- 🏆 La forme canonique obtenue est 2(x - 3)^2 + 4, avec alpha = 3 et bêta = 4.
Q & A
Qu'est-ce qu'une expression du second degré et pourquoi est-il important de la mettre sous forme canonique ?
-Une expression du second degré est un trinôme de la forme ax² + bx + c. Il est important de la mettre sous forme canonique pour faciliter l'étude des fonctions du second degré, notamment pour déterminer les extrêmes et d'autres applications.
Quelle est la forme canonique d'une expression du second degré ?
-La forme canonique d'une expression du second degré est : a(x - α)² + β, où a, α, et β sont des constantes à déterminer.
Comment trouve-t-on la valeur de 'a' dans une expression du second degré ?
-La valeur de 'a' correspond au coefficient du terme en x² dans l'expression initiale. Par exemple, si l'expression est 2x² - 12x + 22, alors 'a' vaut 2.
Pourquoi ne parle-t-on pas des formules directes pour α et β dans cette méthode ?
-Les formules pour α et β sont évitées car elles sont facilement oubliées. En revanche, la méthode expliquée permet une meilleure compréhension et mémorisation des étapes nécessaires pour arriver à la forme canonique.
Pourquoi est-il conseillé de ne pas factoriser toute l'expression dès le départ ?
-Il est préférable de ne factoriser que la partie contenant x² pour éviter l'apparition inutile de fractions, ce qui simplifie les calculs.
Quelle est la première étape pour passer une expression sous forme canonique ?
-La première étape est de factoriser par 'a' (le coefficient de x²) uniquement dans les termes contenant x² et x. Par exemple, dans 2x² - 12x, on factorise par 2, ce qui donne 2(x² - 6x).
Comment utilise-t-on l'identité remarquable dans cette méthode ?
-L'identité remarquable utilisée est (a - b)² = a² - 2ab + b². Elle permet de transformer l'expression en un carré parfait, nécessaire pour obtenir la forme canonique.
Comment fait-on apparaître le terme manquant pour utiliser l'identité remarquable ?
-On identifie le terme manquant en décomposant le coefficient du terme en x. Par exemple, dans -6x, on le réécrit comme -2 * 3 * x, ce qui révèle que le terme manquant est 3², soit 9, qu'on ajoute et soustrait pour maintenir l'égalité.
Pourquoi ajoute-t-on et soustrait-on le terme manquant dans le calcul ?
-On ajoute et soustrait le terme manquant pour compléter l'identité remarquable sans changer la valeur de l'expression, garantissant que l'égalité est toujours respectée.
Quelle est la dernière étape pour obtenir la forme canonique ?
-La dernière étape consiste à distribuer le facteur a dans l'expression et à simplifier les constantes. Par exemple, 2(x - 3)² - 18 + 22 devient 2(x - 3)² + 4, ce qui est la forme canonique finale.
Outlines
📘 Introduction à l'écriture d'expressions du second degré
Cette partie du script introduit l'importance de la rédaction d'expressions du second degré sous leur forme canonique, qui est un exercice essentiel pour comprendre les fonctions du second degré et pour déterminer leurs extrêmes. Le script explique que le trinôme 2x² - 12x + 22 doit être transformé en forme canonique, ce qui implique l'identification des coefficients a, alpha et bêta. L'auteur insiste sur la connaissance des méthodes plutôt que la mémorisation des formules, soulignant que la technique est plus retenue et peut être démontrée. La première étape consiste à identifier et à factoriser par a, qui est le coefficient de x², et le script illustre cela avec l'exemple donné.
🔍 Transformation en forme canonique et identification de alpha et beta
Le script poursuit avec la transformation de l'expression 2x² - 12x + 22 en forme canonique. Il explique comment identifier alpha et beta en utilisant l'identité remarquable a² - 2ab + b², en ajoutant et en soustrayant le terme manquant pour équilibrer l'égalité. L'auteur montre comment factoriser l'expression en commençant par le terme a, puis en forçant l'apparition de la deuxième identité remarquable pour atteindre la forme canonique. Enfin, le script illustre comment développer l'expression pour éliminer les termes superflus et obtenir la forme canonique finale avec les coefficients alpha et beta corrects.
Mindmap
Keywords
💡Expression du second degré
💡Forme canonique
💡Trinôme
💡Alpha (α)
💡Beta (β)
💡Identités remarquables
💡Factorisation
💡Développement
💡Équation
💡Extrême
Highlights
Apprendre à écrire une expression du second degré sous sa forme canonique
Importance de la méthode pour l'étude des fonctions du second degré
Exemple d'une expression à mettre sous forme canonique: 2x² - 12x + 22
La forme canonique est a(x - alpha)² + beta
Détermination de a qui est le coefficient de x²
Factorisation par a pour passer à la forme canonique
Conseil sur la factorisation partielle pour éviter les fractions
Utilisation de l'identité remarquable pour la factorisation
Transformation de l'expression en utilisant a² - 2Ab + b²
Ajout du terme manquant pour équilibrer l'expression
Résolution du problème de l'égalité en ajoutant et en soustrayant le même terme
Factorisation complète de l'expression pour obtenir la forme canonique
Détermination de alpha et beta à partir de la factorisation
Explication de l'astuce pour faire apparaître la deuxième identité remarquable
Développement de l'expression pour éliminer le terme -9
Réduction finale pour obtenir la forme canonique définitive
La technique peut sembler lourde au début mais devient facile avec la pratique
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir
apprendre à écrire une expression du
second degré sous sa forme canonique
déjà ce qu'il faut savoir c'est que cet
exercice est important c'est une méthode
qu'il faut connaître parce qu'on a
régulièrement besoin d'écrire un trinôme
donc une expression du second degré sous
sa forme canonique par exemple dans
l'étude des fonctions du second degré
pour en déterminer un extreme mais il y
a plein d'autres applications alors déjà
quelle est l'expression qu'on veut
mettre sous sa forme canonique 2x au
carré moins 12 x + 22 on reconnaît
effectivement un trinôme et la forme
canonique c'est ceci a facteur de X -
alpha au carré + beta ce qui signifie
que pour passer de là à là la question
est déterminons a alpha et bêta alors a
on va voir que c'est assez facile ça va
très vite là où c'est un plus embêtant
c'est pour Alpha et beta petite
parenthèse il faut savoir qu'il existe
des formules qui donnent directement
alpha et bêta mais moi je vais pas en
parler ici tout simplement parce que les
formules ont un gros inconvénient c'est
qu'on les oublie vite alors que les
méthodes la technique une fois qu'on l'a
compris prise on n'oublie pas donc ici
pour cet exercice j'ai envie de dire il
vaut mieux quand même connaître la
technique et de toute façon dans ton
cours on peut être amené à te demander
de démontrer comment on y arrive et donc
les formules ici ne serviront pas en
tous les cas bon revenons à notre à
alpha et bêta on va déjà commencer par
déterminer a puisque j'ai dit que
c'était le plus facile alors
effectivement c'est le plus facile parce
que si on regarde la forme canonique on
a a facteur de X - alpha au carré ce qui
veut dire que dans X - alpha au carré je
vais avoir du x² ce qui veut dire que je
vais avoir un moment ou l'autre si je
développais ce truc là à fois X au carré
a et donc le facteur le nombre qui est
en facteur de X au carré donc il suffit
de regarder l'expression de départ et
chercher le monôme en X au carré et bien
ces deux X au carré on a trouvé a le a
est égal à 2 et c'est toujours comme ça
le a c'est toujours le nombre qui est en
facteur du X au carré mais en plus ce
qui va se passer c'est que on voit bien
que ce a il est en facteur donc ça veut
dire que moi aussi je vais avoir besoin
de factoriser par a donc ici de
factoriser par 2 c'est la première étape
du passage à la forme canonique c'est de
factoriser par le nombre a alors des
fois il y a pas de a donc ça fait gagner
un peu de temps ça fait gagner une étape
donc cette étape là on la ferait pas ici
il y a un a à vous deux on va factoriser
par 2 mais attention petit conseil il
est mieux de ne pas tout factoriser
après c'est comme tu veux ça marche
aussi mais ça peut faire apparaître des
fractions de façon inutile donc moi je
te conseillerais de simplement
factoriser le début de l'expression
c'est à dire la partie de l'expression
où il y a du X autre
2 x au carré - 12x c'est ce qu'on va
commencer par faire alors 2 x au carré -
12x + 22 on a dit qu'on factorisé par A
c'est-à-dire qu'on factorisé par deux et
seulement le début de l'expression 2x² -
12 x alors dans 2x², je prends le
facteur 2 il me reste X au carré moins
dans 12x je prends le facteur de il me
reste 6x vérifions deux fois X au carré
2x² - 2 x 6 x 12 x le plus 22 on n'a pas
touché donc on recopie
bon on a déjà un tout petit peu avancé
on a notre facteur a ceci ressemble à la
forme canonique mais attention c'est pas
fini loin de là déjà ce qu'il faut
savoir c'est que ça c'est pas bêta ça va
changer on va le voir et ça c'est pas
alpha non plus et là on le voit mon
expression n'est pas au carré donc pour
l'instant ce n'est pas la forme
canonique pour y arriver il faut se
souvenir de quelque chose quand je vois
x - alpha au carré ça me fait penser à
une des trois identités remarquables
plus précisément la deuxième qui le dit
qui nous dit que à - B au carré égal à
Carré - 2Ab + b². donc c'est ceci qu'on
va utiliser pour arriver à modifier cet
écriture le problème c'est que quand on
regarde sur le membre de droite à Carré
- 2Ab + b². j'ai la 3 termes or moi ici
je n'ai que deux termes il m'en manque
un pour pouvoir factoriser c'est pas
grave on va tricher un tout un petit peu
et on va faire apparaître le terme qui
nous manque la question est quel est le
terme qui nous manque et pour cela il
faudrait déjà anticiper un peu sur la
factorisation qu'on souhaite faire à
partir du début X au carré - 6
alors déjà ce qu'il faut remarquer c'est
que en fait ici j'ai le début de
l'expression à factorisé j'ai la partie
a² - 2Ab donc ce qui signifie que ça
c'est notre a², je vais mettre le a en
rouge donc le A correspond à notre x
alors on est bien d'accord c'est pas le
même a que tout à l'heure c'est pour ça
que j'ai mis ici des majuscules grands
tag grand B donc x² - 2 x a x B alors
qu'est-ce qui se passe ici il faudrait
écrire 6 x comme deux fois quelque chose
bah 6 x comme deux fois quelque chose
c'est forcément deux fois trois X
deux fois trois x c'est bien 6 x le X je
vais le mettre en rouge puisque c'est le
même et le 3 je vais le mettre en vert
tu vas comprendre pourquoi et bien parce
qu'en écrivant 6x deux fois trois x ça
nous permet de trahir le B qui est caché
le fameux b² qui nous manque il faudrait
le faire apparaître et bien ça nous
permet de le trahir il est là parce que
si je regarde maintenant ceci en tant
qu'identité remarquable ça fait grand A
carré moins 2 fois a fois B et note B il
est donc égal à 3 et c'est celui-ci qui
nous manque il nous manque le B carré
c'est à dire que il nous manque derrière
plus
3 au carré
si j'ai ça
si j'ai tout ceci et bien j'ai
parfaitement l'identité remarquable la
deuxième identité remarquable a² - 2Ab +
b². mais je n'ai pas ce plus 3 au carré
c'est ça le problème alors je peux pas
le rajouter parce que sinon c'est faux
on est bien d'accord et bien c'est pas
grave je le rajoute parce que je le veux
mais je l'enlève derrière parce que
sinon ce n'est pas égal et de cette
façon là alors je recopie tout jusqu'au
bout maintenant et de cette façon là je
garde bien l'égalité parce que regarde +
3 au carré moins 3 au carré ça s'élimine
ça fait 0 et finalement si j'élimine ça
et bien cette ligne était exactement
égale à cette ligne sauf que en faisant
ce petit tour de passe-passe je fais
apparaître ici ma deuxième identité
remarquable que j'ai besoin pour
factoriser c'est ça l'astuce alors
allons-y maintenant qu'on a ceci
factorisant
et bien ça me donne si à vaut X et BO3
ceci fait x - 3 au carré alors ça c'est
juste ceci c'est juste cette partie là
on peut mettre une accolade d'ailleurs
donc derrière il me reste moins 3 au
carré alors je veux pas laisser trop
carré je vais mettre maintenant - 9
j'ai encore ce coupe de parenthèse j'ai
le facteur 2 bien sûr qui est devant et
je n'oublie pas le plus 22 voilà alors
là on a déjà vraiment bien avancé parce
que on est presque au niveau de notre
forme canonique il me reste une dernière
étape c'est ce problème de -9 ce -3 au
carré qu'on a rajouté maintenant il
m'embête mais bon il y avait pas le
choix j'étais obligé de le rajouter bah
pour s'en débarrasser ce qu'on va faire
c'est qu'on va ici développer on va
développer cette expression avec le
facteur 2 on va donc distribuer ici le
facteur 2 à l'intérieur a x - 3 au carré
puis
A9 ça nous donne quoi et bien
ça nous donne deux fois x - 3
- 2 x 9
+ 22 derrière
alors deux fois 9 ça ça fait 18 tout le
reste je le recopie - 18 + 22 on va pas
garder - 18 + 22 ça fait plus 4 tout le
reste je le recopie et là qu'est-ce
qu'on constate c'est gagné on a notre
forme canonique a qui vaut 2 x - alpha
avec Alpha qui vaut 3 + beta avec beta
qui vaut 4 et la technique est toujours
la même elle est un peu lourde c'est
vrai mais si tu en fais trois quatre tu
vas voir que tout doucement ça va te
sembler facile au départ on commence par
factoriser le début de l'expression par
notre petit a ici qui est en facteur de
X au carré ensuite il va falloir forcer
les choses pour faire apparaître
l'identité remarquable la deuxième
identité remarquable qu'on a besoin
comme on force les choses il faut
équilibrer derrière pour garder
l'égalité sinon c'est pas juste quand on
a notre identité remarquable bien on
l'applique voilà et puis ensuite et bien
on fait une petite un petit
développement
simplement pour sortir le moins neuf et
garder la forme canonique comme on l'a
comme on la souhaite par réduction par
calcul à la fin et bien on obtient notre
forme canonique cette séquence est
terminée
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