INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Summary
TLDREn este video se explora la interpretación geométrica de la derivada. Comienza explicando cómo se determina la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado. Se introduce el concepto de una recta secante que pasa por dos puntos y se demuestra cómo, al hacer que el incremento en x tienda a cero, la recta secante se convierte en una recta tangente. Esta pendiente es la derivada de la función en ese punto. Finalmente, se menciona que en videos futuros se enseñará a calcular la ecuación de la recta tangente.
Takeaways
- 📊 Interpretación geométrica de la derivada en una función.
- 📍 Definición de un punto en la gráfica de una función, llamado punto P, con coordenadas (x, f(x)).
- 📈 Introducción de una recta tangente en el punto P y la dificultad de calcular su pendiente directamente.
- 🔍 Inclusión de otro punto, llamado Q, que convierte la recta tangente en una recta secante.
- 🔄 Explicación del incremento en los valores de x y y, y cómo se representan en términos de f(x) y f(x + incremento de x).
- ➗ Uso de la fórmula de la pendiente de una recta secante para obtener la pendiente entre los puntos P y Q.
- ✂️ Simplificación de la fórmula para obtener la pendiente de la recta secante eliminando términos comunes.
- ↔️ Descripción del proceso de hacer que el incremento de x tienda a cero para convertir la recta secante en una tangente.
- 📉 La pendiente de la recta tangente se obtiene cuando el incremento de x es cero, lo que corresponde a la derivada de la función en x.
- 📝 Anuncio de un próximo video que mostrará cómo calcular la ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico.
Q & A
¿Qué tema se aborda en el video?
-El video aborda la interpretación geométrica de la derivada.
¿Qué representa la gráfica de la función f(x)?
-La gráfica de la función f(x) representa la relación entre los valores de x y sus correspondientes valores de f(x).
¿Qué es un punto P en la gráfica de una función?
-Un punto P en la gráfica de una función es un punto que tiene coordenadas (x, f(x)).
¿Cómo se llama la recta que toca la gráfica en un solo punto?
-La recta que toca la gráfica en un solo punto se llama recta tangente.
¿Qué es una recta secante?
-Una recta secante es una recta que corta la gráfica en dos puntos distintos.
¿Qué fórmula se usa para calcular la pendiente de una recta secante?
-La fórmula para calcular la pendiente de una recta secante es (y2 - y1) / (x2 - x1).
¿Qué sucede cuando el incremento de x tiende a cero?
-Cuando el incremento de x tiende a cero, la recta secante se convierte en una recta tangente.
¿Cómo se expresa la pendiente de la recta tangente en términos de derivadas?
-La pendiente de la recta tangente se expresa como (f(x + incremento de x) - f(x)) / incremento de x.
¿Qué representa la expresión para la pendiente de la recta tangente?
-La expresión para la pendiente de la recta tangente representa la definición de la derivada de una función.
¿Qué se promete abordar en un próximo video?
-En un próximo video se promete abordar cómo calcular la ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función en un punto de x.
Outlines
📈 Interpretación geométrica de la derivada
Este párrafo introduce la idea de la interpretación geométrica de la derivada usando una gráfica de una función cualquiera. Se describe cómo se eligen puntos en la gráfica para formar una recta tangente,y cómo se convierte en una recta secante al considerar un segundo punto. La pendiente de esta recta se calcula usando una fórmula específica, destacando el uso del incremento entre valores de x y f(x). Se simplifica la fórmula para encontrar la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q.
🔢 Transformación de la recta secante en tangente
Este párrafo explica cómo la recta secante se convierte en una tangente al hacer el incremento de X cada vez más pequeño hasta que tienda a cero. Describe el proceso de acercamiento del punto Q al punto P, resultando en una recta tangente cuya pendiente es igual a la derivada de la función en ese punto. Finalmente, se menciona que en futuros videos se enseñará cómo calcular la ecuación de dicha recta tangente.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Función F(x)
💡Punto P
💡Recta Tangente
💡Punto Q
💡Recta Secante
💡Incremento en X
💡Incremento en Y
💡Pendiente
💡Límite
💡Ecuación de la Recta Tangente
Highlights
Introducción a la interpretación geométrica de la derivada.
Explicación de cómo se representa gráficamente una función F(x) y su correspondiente punto en el plano cartesiano.
Definición del punto P como el punto de la gráfica de la función en el punto x.
Proceso para determinar la recta tangente a la gráfica en el punto P.
Introducción del concepto de recta secante y su relación con la recta tangente.
Uso de un segundo punto Q para formar una recta secante que pasa por P y Q.
Explicación del incremento en el valor de x y su representación como x + Δx.
Relación entre el incremento en y, Δy, y su impacto en la pendiente de la recta secante.
Fórmula para calcular la pendiente de la recta secante basada en los valores de y en dos puntos distintos.
Simplificación de la fórmula para encontrar la pendiente de la recta secante.
Proceso de hacer que el incremento de x se vuelva más pequeño para que la recta secante se aproxime a la tangente.
Limitación del proceso de aproximación para obtener la recta tangente.
Definición de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Anuncio de un próximo video para explicar cómo calcular la ecuación de la recta tangente.
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Despedida del video con un saludo y promesa de futuras sesiones.
Transcripts
Hola qué tal Sean bienvenidos a un nuevo
video en esta ocasión veremos la
interpretación geométrica de la derivada
supongamos que tenemos la Gráfica de una
función cualquiera una función F de x y
tenemos un punto x por lo tanto para
este punto x le corresponde sus
respectiva imagen o su respectivo valor
en LG al que llamaremos fdx y a este
punto que se forma con las coordenadas
de x y F de X lo llamaremos un punto p
tiene como coordenadas x y F de X si
tratamos una recta tangente
y fdx pero la pendiente de esta recta
nos la tenemos Entonces como no podemos
calcular directamente Cuál es la
ecuación de la recta tangente a la
Gráfica en este punto vamos a hacer esto
en la curva de esta función vamos a
marcar otro punto al que le llamaremos
el punto q y la recta que era tangente
ahora será una recta secante ya que va a
pasar por estos dos puntos p y q por lo
tanto
a la imagen de x2 es decir su valor
los dos valores de X también habrá un
incremento entre los dos valores de y
que son fdx y F de x2 a ese incremento
lo podemos llamar como del taller o
incremento en G Eso quiere decir también
que al punto x2 también lo podemos
llamar como x + incremento de X Porque
será simplemente la suma de del primer
valor de X que teníamos más su
incremento Entonces si este punto ahora
se llama x + incremento de X la imagen
de este punto es decir su valor
x más incremento de X
y F de X + incremento de X es decir su
valor en x y su valor en G para poder
calcular la pendiente de esta recta
necesitamos utilizar esta fórmula que
nos dice que la pendiente de unas rectas
se da igual Halle 2 menos y uno dividido
entre x2 - x1 como ya sabemos y fdx es
exactamente lo mismo entonces G2 se da
igual a f de X + incremento de x y y uno
será igual a f de x2 se da igual a x +
incremento dx
y x1 será simplemente x
ahora como ya tenemos todos estos
valores los podemos sustituir en esta
fórmula y obtenemos lo siguiente
entonces la pendiente de la recta será
igual a y2 que es igual a
fdx más incremento de X - g1 que es
igual a f de X
dividido entre x2 que es igual a x +
incremento de X
menos x1 que es solamente x como acá
tenemos x y menos x entonces éstas se
pueden eliminar ya que x - x nos da 0 y
nos quedamos con esta expresión que nos
va a indicar cuál es la pendiente de
estas rectas secante que pasa por los
puntos p y q pero como no queremos saber
cuál es la pendiente de estas rectas
secante
de la recta tangente
tenemos que incremento de X se vaya
haciendo cada vez más más más pequeño
Hasta qué tienda acero Y entonces esta
recta se convierta en una recta tangente
entonces pasaría algo así incremento de
X se hace más pequeño y más pequeño de
manera que el punto q se va a llegar a
juntar con el punto p x más incremento
de X se va a juntar con x y fdx más
incremento de X se va a juntar con f d x
se haya hecho cero la recta que era
secante ahora será
Qué es F de X más incremento de X - fdx
sobre incremento de X de esta manera
obtenemos la pendiente de la recta
tangente a la Gráfica de esta función en
este punto p y como ya vimos en videos
anteriores esa expresión también
representa la definición de la derivada
de una función Entonces ahora que ya
tenemos la pendiente de la recta
tangente que es igual a la derivada de
esta función y también tenemos este
punto p ahora sí ya podemos calcular la
ecuación de esta recta pero ese tema lo
vamos a ver en otro video si el video te
gustó Te agradecería mucho tu
suscripción que le des like a este video
y nos vemos Próximamente para ver Cómo
calcular la ecuación de una recta
tangente a la Gráfica de una función en
un punto de X saludos
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